第二章7函數(shù)的連續(xù)性

1、二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 2.8 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 第二章第二章 現(xiàn)實(shí)世界中很多變量是連續(xù)不斷的現(xiàn)實(shí)世界中很多變量是連續(xù)不斷的.如如氣溫氣溫、時(shí)間時(shí)間、物體的運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)等等，都是等等，都是連續(xù)變化的連續(xù)變化的.這種現(xiàn)象反映在這種現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)上就是就是連續(xù)性連續(xù)性，函數(shù)的連續(xù)性是微積分的又一重要概念！函數(shù)的連續(xù)性是微積分的又一重要概念！可見可見 , 函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x定義定義:)(xfy 在在0 x的的某鄰域內(nèi)有定義某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1

2、) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件:存在存在 ;且且有定義有定義 ,存在存在 ;一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義若若)(xf在在某開區(qū)間內(nèi)某開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)每一點(diǎn)都連續(xù)都連續(xù) , 則稱則稱它在該它在該開區(qū)間內(nèi)連續(xù)開區(qū)間內(nèi)連續(xù) , 或稱它為該開區(qū)間內(nèi)的或稱它為該開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) .continue)()(lim, ),(000 xpxpxxx. ,bac例如例如,nnxaxaaxp10)(在在),(上連續(xù)上連續(xù) .( 有理整函數(shù)有理整函數(shù)

3、)又如又如, 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù))()()(xqxpxr在其在其定義域定義域內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要只要,0)(0 xq都有都有)()(lim00 xrxrxx對(duì)自變量對(duì)自變量x0的增量的增量,0 xxx有有函數(shù)的增量函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)0()()0(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù),0,0當(dāng)當(dāng)xxx0時(shí)時(shí), 有有yxfxf)()(0函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn) x0連續(xù)連續(xù)

4、有下列有下列等價(jià)命題等價(jià)命題:)()(lim00 xfxfxx函數(shù)函數(shù) y = = f ( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x0 連續(xù)連續(xù)的兩種的兩種等價(jià)定義等價(jià)定義:假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) f ( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某臨域內(nèi)有定義的某臨域內(nèi)有定義.0lim0yx的充要條件是的充要條件是的充要條件是的充要條件是)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx問題：?jiǎn)栴}：什么樣的函數(shù)什么樣的函數(shù) y = = f ( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x0 連續(xù)連續(xù) ？例例1. 證明函數(shù)證明函數(shù)xysin在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin(2cos2sin2xxx2cos2sin2xxxy122x

5、x0 x即即0lim0yx這說明這說明xysin在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) .同樣可證同樣可證: 函數(shù)函數(shù)xycos在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) .0, )()(lim00 xfxfxx知知連續(xù)連續(xù)在在由由0)(xxf00limxxxx而而)()(lim00 xfxfxx所以，所以，)lim(0 xfxx這說明，對(duì)于這說明，對(duì)于連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)，極限符號(hào)極限符號(hào)與與函數(shù)符號(hào)函數(shù)符號(hào)可以交換可以交換.例如例如10cos)limcos(coslim00 xxxx注意注意：對(duì)于：對(duì)于非非連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)，極限符號(hào)極限符號(hào)與與函數(shù)符號(hào)函數(shù)符號(hào)不一定不一定可以交換可以交換.若函數(shù)若函數(shù) f (x)在在開區(qū)間開區(qū)間

6、(a, b)內(nèi)內(nèi)每一點(diǎn)每一點(diǎn)都連續(xù)都連續(xù) , 而且而且 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x)在在在點(diǎn)在點(diǎn) x=a 右右連續(xù)，連續(xù)，在點(diǎn)在點(diǎn) x=b 左左連續(xù)連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) .閉區(qū)間閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù).在在在在(1) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 ,但但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù)不連續(xù) :0 x設(shè)設(shè)0 x在點(diǎn)在點(diǎn))(xf的的某去心鄰域內(nèi)某去心鄰域內(nèi)有定義有定義 , 則則這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn)0 x下列情形下列情形之一之一函

7、數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為函數(shù)稱為函數(shù) f ( x )的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在在無定義無定義 ;二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)0(0 xf及及)0(0 xf均存在均存在 , )0()0(00 xfxf若若稱稱0 x, )0()0(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):)0(0 xf及及)0(0 xf中中至少一個(gè)不存在至少一個(gè)不存在 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為振蕩振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn)為

8、跳躍間斷點(diǎn) .為無窮間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn) .為為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .xytan) 1 (2x為其為其無窮無窮間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) .0 x為其為其振蕩振蕩間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為為可去可去間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin0例如例如:1) 1 (1)(lim1fxfx顯然顯然1x為其為其可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .1,211,)(xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)00(f1)00(f0 x為其為其跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) .1. 討論函數(shù)討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類

9、無窮間斷點(diǎn)是第二類無窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型.2. 設(shè)設(shè)0,0,1sin)(2xxaxxxxf_,a時(shí)時(shí)提示提示:,0)00(f )00(f)0(fa0)(xf在在x =0連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn)是第一類可去間斷點(diǎn) ,練習(xí)題練習(xí)題 3 確定函數(shù)確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型.xxexf111)(解解: 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為為無窮無窮間斷點(diǎn)間斷點(diǎn);,1 時(shí)當(dāng)x xx1,0)(xf,1 時(shí)當(dāng)x xx1,1)(xf故故1x為跳躍間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn). ,1,0處在x.)(連續(xù)xf內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xf

10、xfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一左右極限至少有一個(gè)不存在個(gè)不存在在點(diǎn)在點(diǎn)間斷的類型間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式連續(xù)的等價(jià)形式一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 第二章第二章 定理定理2. 連續(xù)單調(diào)

11、遞增連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)定理定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)有限個(gè)函數(shù)經(jīng)函數(shù)經(jīng)有限次有限次和和 , 差差 , 連續(xù)的函數(shù)連續(xù)的函數(shù). ( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明利用極限的四則運(yùn)算法則證明)連續(xù)xx cos,sin積積 , 商商 (分母不為分母不為 0) 運(yùn)算的結(jié)果運(yùn)算的結(jié)果, 仍是一個(gè)在該點(diǎn)仍是一個(gè)在該點(diǎn)例如例如,例如例如,xysin在在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin(遞減遞減). (證明略證明略)在在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.單調(diào)遞增單調(diào)遞增(遞減遞

12、減)也連續(xù)也連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則xey 在在),(上連續(xù)單調(diào)上連續(xù)單調(diào) 遞增遞增,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如又如, 定理定理3. （連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的）)(xu,)(00ux)(uf若函數(shù)若函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 連續(xù)，且連續(xù)，且函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) u0 連續(xù)，連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn) x0 連續(xù)，即連續(xù)，即)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx)(0 xf定理定理3可修改為下面求復(fù)合函數(shù)極限的定理可修改為下面求復(fù)合函數(shù)極限的定理定理定理4 （復(fù)合函數(shù)求極限）（復(fù)合

13、函數(shù)求極限）)(xu,)(lim0axxx若函數(shù)若函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 有極限，即有極限，即又函數(shù)又函數(shù) f (x)點(diǎn)點(diǎn) a 連續(xù)，連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的的)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx)(af),(0 xa但但或者或者 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 無定義無定義(即即 x0 是可去間斷點(diǎn)是可去間斷點(diǎn)) )(x極限存在，為極限存在，為若函數(shù)若函數(shù) f (x) 連續(xù)，則連續(xù)，則 f (x) 一定連續(xù)一定連續(xù).反之，若反之，若 f (x) 連續(xù)，函數(shù)連續(xù)，函數(shù) f (x)不一定連續(xù)不一定連續(xù)., 1,1)(xf x 為有理數(shù)為有理數(shù) x 為無理數(shù)為無理數(shù)例如例如,xy1

14、sin是由連續(xù)函數(shù)鏈?zhǔn)怯蛇B續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu 0 x因此因此xy1sin在在0 x上連續(xù)上連續(xù) .復(fù)合而成復(fù)合而成 ,xyoxy1sin補(bǔ)例補(bǔ)例 .設(shè)設(shè))()(xgxf與均在均在,ba上連續(xù)上連續(xù), 證明函數(shù)證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上連續(xù)上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()(21)(xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 , 可知可知)(, )(xx也在也在,ba上連續(xù)上連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在基本初等函數(shù)在定義區(qū)間定義

15、區(qū)間內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù)端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閦nnx,2因此它無連續(xù)點(diǎn)因此它無連續(xù)點(diǎn)而而例例1. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealog例例2. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat則則, )1 (logtxa原式原式)1 (

16、loglim0ttataln說明說明: 當(dāng)當(dāng), ea 時(shí)時(shí), 有有0 x)1ln(x1xe, xx利用連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性求極限利用連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性求極限xxx1)1 (lim0alog例例3. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 若若,0)(lim0 xuxx則有則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2limx例例4. 求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinl

17、im211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin11,41,)(xxxxx例例5.5. 設(shè)設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù)討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時(shí)連續(xù)故此時(shí)連續(xù); 而而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故故 )(xfx = 1為為第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn) .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時(shí)xfx在點(diǎn)在點(diǎn) x = 1 不連續(xù)不連續(xù) , 思考與練習(xí)思考與練習(xí),)(0連續(xù)在點(diǎn)若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續(xù)續(xù)? 反例反例, 1,1)(xf x 為