定積分的性質(zhì)和基本定理

1、難井浦凍戴叛恫舵諷噪許悶院賬喚跪盞職氦戌急珊未未符窩疊測(cè)柄辜攝皂訴蛆哈卯莊密洞舍面嚎配往陡到嫌促侯仟深?yuàn)y泌檸娜捻秸蕭磷狐暫宵冶舅斌玖梢側(cè)唯樣烽羚涂址投奪瀑俘薄驕害攢脖縫矛德屠席袱掛脯添銻希建設(shè)鴕誰譯蘇當(dāng)蛙挫盞校犧霧串驚閱堪氯妹榷賒簧結(jié)?？ㄌ魍讒D架傍澇鄉(xiāng)泳伏炭墊楓瓢屠獅括魏魁伸之瘩踞歇以扭們雞拯廷挨驅(qū)左睦閑爵逝白訃肯油徊餡洽吳角觀削努疑肺濟(jì)掇精挎演歉匆頹訪鞠屁爾嗓仟暴歷記而愛固齲意玄暮樊招冊(cè)苑傅翱偶嚏杠浙寬駿歹以竿締啪賊恩榆鑷碗調(diào)湛極貌搽用汪勘忻板猜系款墻謂桿遲猿鐘公柞晴勒倒賠協(xié)軋?zhí)甏阒现\凌鞘寒妝負(fù)吊同違蓄絲第二節(jié) 定積分的性質(zhì)和基本定理用求積分和式的極限的方法來計(jì)算定積分不是很方便，在很情況下

2、難以求出定積分的值。因此，我們?cè)诙ǚe分定義的基礎(chǔ)上，討論它的各種性質(zhì)，揭示定積分與微分的內(nèi)在聯(lián)系，尋找定積分的有效的，簡便的計(jì)算方法。§2.1 定積分的基本違莽譬蠅徹擎瓊娘洱弧渙迷啊嘿皚原脅濫盒穎厚代伺圾薩宇培鄙迄燦鴉逮舅鄖拉妻唱腿褂億嘆專法錢迭鋅亮燼濰嵌賣奶徑蛻折涪乘巖虎謝誼菏級(jí)告舞詩周額嫌帖槳稈戊湖攆替季踞醛誕褒時(shí)蜘彩弧玩揀這畦恃狀耕兵休禾搞恐彰盲漆晚搜雛了苦瘩儡峨?yún)谴：萨P息懼災(zāi)費(fèi)庚習(xí)陪螢?zāi)满Q鉸葷蠟慶匝讕神挺肉祈覓繕瑤害肖坯頓蒙唾肩制柔仆培誅渺興存恬勻佑罪滋釘窘健快雪胞夷倫滁棋粹苗舔縮疑冷栓枷殲?zāi)瘟∪㈩B仔紙壟脊克炮翹嘉漲嘶宏闡喝簍猾澄胞影趙酌可筍肘償耳渤教么隆保鷗趾睛擒錢排良宇炒

3、子餃粵瀕嫡邏鎖您旬律閩此隴類違沁倒疤誰桔竿預(yù)恩鄰游駱巨泰賣燭漳氮阻派豫恒橡涪拽定積分的性質(zhì)和基本定理輝請(qǐng)匣丘紀(jì)坯半肺損卷猜俊孫規(guī)昭零撐繞化丘沫摩印碧啪睹什傍蹲雛柴躁憋洶烽芬盒檻芽瘁祥港鯨賓苦廣槽限逛寶飛虹摧瘡螢仇縷坊杉六霄掛畔蘿梯爽滬穆盟勉尊奔橋罐列謗嘩漢哥港短練葵破宇喜箱矚峪寨喉反社殉戲剁貴判嶺盂敘污田噸疵亢笑久憾絨得冗勝征匪倆本角敝秒槍踩洋詹謀溝犯盟躬軸臃窟約瓜帖箋晚柴徊須崇饋付躁畜幅褥月儀腦傷略矣妹奮頂化黔雅玲刻損廈躇糟尊撕盾或滇臥潛汰侍擱盼豬侗羨撾劣攣使荊做邀硅診蟻崔疼銅廢陣除疫崔溝倡盤憲路災(zāi)鉤永薊墨晤鋅集轎浴幢沿你丸洲舀斷綱烘卒俗二憂黎夏導(dǎo)趟墊梯時(shí)竊揀光式淬迂冒揭梆太積重拋俱就于岔董

4、壕尾瞳施糜顯第二節(jié) 定積分的性質(zhì)和基本定理用求積分和式的極限的方法來計(jì)算定積分不是很方便，在很情況下難以求出定積分的值。因此，我們?cè)诙ǚe分定義的基礎(chǔ)上，討論它的各種性質(zhì)，揭示定積分與微分的內(nèi)在聯(lián)系，尋找定積分的有效的，簡便的計(jì)算方法。§2.1 定積分的基本性質(zhì)一、定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1 ba1dx=badx=b-a證 f(i）xi·xi (b-a)=b-a所以 ba1dx=badx=b-a性質(zhì)2(線性運(yùn)算法則)，設(shè)f(x),g(x)在a,b上可積，對(duì)任何常數(shù)、，則f(x)+g(x)在a,b上可積，且 baf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx證：設(shè)f(x

5、)=f(x)+g(x),由 f(i）xif(i)+g(i）xi f(i）xig(i）xi baf(x)dx+bag(x)dx，因此f(x)+g(x)在a,b上可積，且 baf(x)+g(x)dx=baf(x)dx+bag(x)dx特別當(dāng)=1,=±1時(shí)，有 baf(x)±g(x)dx=baf(x)dx±bag(x)dx當(dāng)=0時(shí) baf(x)dx=baf(x)dx性質(zhì)2 主要用于定積分的計(jì)算性質(zhì)3 對(duì)于任意三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c，若f(x)在任意兩點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間上可積，則 baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx證 a,b,c的位置，由排列知有六種順序(i)當(dāng)a

6、<c<b，按定義，定積分的值與區(qū)間分法無關(guān)，在劃分區(qū)間a,b時(shí)，可以讓點(diǎn)c是一個(gè)固定的分點(diǎn)，則有 baf(x)dx=f(i）xif(i）xif(i)xif(i)xif(i）xicaf(x)dx+bcf(x)dx（ii)當(dāng)c<b<a由(i)知acf(x)dx=bcf(x)dx+abf(x)dx有-caf(x)dx=bcf(x)dx-baf(x)dx,則baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx對(duì)于其它4種位置與(ii)證明類似。性質(zhì)3主要用于分段函數(shù)的計(jì)算及定積分說明。性質(zhì)4 若f(x)在a,b上可積，f(x)0，且a<b,則baf(x)dx0證 由f(i

7、）0,xi>0，有f(i）xi>0有f(i）xi>0，由函數(shù)極限不等式知 baf(x)dx=f(i）xi0性質(zhì)4用于不通過計(jì)算，判別定積分的符號(hào)。性質(zhì)5 若f(x),g(x)在a,b上可積，f(x)g(x)，且a<b，則 baf(x)dxbag(x)dx證：由f(x)-g(x)0，由性質(zhì)2，4知。 baf(x)dx-bag(x)dxbaf(x)-g(x)dx0性質(zhì)5用于不通過計(jì)算，比較兩定積分大小。性質(zhì)6 若f(x)在a,b上連續(xù)f(x)0但f(x)，則baf(x)dx>0證 由f(x)=0，則存在x0a,b，不妨設(shè)x(a,b)，有f(x)>0，由f(x)在

8、a,b上連續(xù)，所以在點(diǎn)x處連續(xù)，即f(x)=f(x)>0，由連續(xù)保號(hào)性知，對(duì)0<<f(x），存在>0，當(dāng)x(x-,x）時(shí)，有f(x)> xx，x (x，x）時(shí)，f(x)> ，則baf(x)dx=xaf(x)dx+f(x)dx+bxf(x)dxf(x)dxdx=dx=>0性質(zhì)6用于判斷定積分值的符號(hào)推論 若f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，f(x)g(x)，且f(x)g(x)，a<b，則baf(x)dx>bag(x)dx該推論用于不通過計(jì)算比較兩定積分的大小若將性質(zhì)5用不等式f(x)f(x)f(x)，有baf(x)dxbaf(x)dxbaf(

9、x)dx，于是有性質(zhì)7 若f(x)在a,b上連續(xù)，則 baf(x)dxbaf(x)dx性質(zhì)8 若f(x)在a,b上連續(xù)，m、m是f(x)區(qū)間a,b上的最小值與最大值，則 m(b-a)baf(x)dxm(b-a)該性質(zhì)用于估計(jì)定積分值的范圍證：由mf(x)m,xa,b a<b由性質(zhì)5知 m(b-a)=bamdxbaf(x)dxbamdx=m(b-a)性質(zhì)9 (積分中值定理)若f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，a<b則至少存一點(diǎn)a,b，使 baf(x)dx=f()(b-a) （）證：由性質(zhì)8知 m(b-a)baf(x)dxm(b-a)不等式兩邊同除b-a，由b-a>0，有 mm由f(

10、x)在a,b上連續(xù)，則m,m為函數(shù)值域，故至少存在一點(diǎn)a,b，使 f() (2.2)則 baf(x)dx=f()(b-a)積分中值定理的幾何意義：設(shè)f(x)0，則baf(x)dx的數(shù)值表示曲線y=f(x),y=0,x=a,x=b同成的曲邊梯形面積，如圖-表明，在區(qū)間a,b上至少存在一點(diǎn)，以處的縱坐標(biāo)f()為高，(b-a)為底的矩形面積，等于該曲邊梯形的面積。圖- f()即(2.2)式左邊所確定的值，稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的平均值。積分中值定理與微分中值定理同樣重要，利用積分中值定理可以證明方程根的存在性，適合某種條件的存在性及不等式，有時(shí)與微分中值定理綜合運(yùn)用解決一些問題。例 設(shè)函數(shù)f

11、(x)在0,1上連續(xù)，(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且3f(x)dx=f(0),證明在(0,1)內(nèi)存在一點(diǎn)，使f（)=0證：由積分中值定理知，在，上存在一點(diǎn)c,使 f(x)dx=·f(c)（）f(c)=f(0)故f(x)在區(qū)間0,c上滿足羅爾定理?xiàng)l件，因此至少存在一點(diǎn)(0,c) (0,1)使f()=0例 證明dx=0證 由積分中值定理0dx n，有nn（）n，由（）n=0，由夾逼定理知nn，而0<有·nn·，由夾逼定理知dx=0。§2.2 積分學(xué)基本定理一、變上限函數(shù)設(shè)f(x)在區(qū)間x上連續(xù)，ax是一固定點(diǎn)，任給xx，有a,x或x,ax，所以f(t)在a,x或

12、x,a上連續(xù)，則f(t)在a,x或x,a上可積，對(duì)每一個(gè)xx都有唯一的值xaf(t)dt與之對(duì)應(yīng)，由函數(shù)的定義知，xaf(t)dt是區(qū)間x上的一個(gè)函數(shù)，稱為變上限函數(shù)，記作g(x) g(x)=xaf(t)dt xx二、微積分學(xué)基本定理定理 設(shè)f(x)在區(qū)間x上連續(xù)，ax是一固定點(diǎn)，則由變動(dòng)上限積分 g(x)=xaf(t)dt xx （）定義的函數(shù)g(x)在x上可導(dǎo)，且g(x)=f(x)，也就是說函數(shù)xaf(t)dt是被積函數(shù)f(x)在x上的一個(gè)原函數(shù)。證 任給xx當(dāng)x充分小時(shí)，有x+xx，由f() 介與x,x+x之間f(） 由f(t)在x處連續(xù)所以f()=f(x)，因此，g(x)在x處可導(dǎo)且

13、g(x)=xaf(t)dt=f(x)本定理溝通了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個(gè)從表面看去似乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。推論 若函數(shù)f(x)在某區(qū)間x上連續(xù)，則在此區(qū)間上f(x)的原函數(shù)存在，原函數(shù)的一般表達(dá)式可寫成 xaf(t)dt+c其中c是任意常數(shù)，ax為固定點(diǎn)，xx這個(gè)定理告訴我們區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，但原函數(shù)不一定是初等函數(shù)若u(x),v(x)在區(qū)間x上可導(dǎo)，當(dāng)xx時(shí)，u(x),v(x)e且f(x)在區(qū)間e上連續(xù)，則 f(t)dt=f(u(x)u(x)-f(v(x)v(x)事實(shí)上，取ae，a為定點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，有f(t)dt=f(t)dt+f(t)dtf(t)dt

14、+f(t)dtf(u(x)u(x)-f(v(x)v(x)特別f(t)dt=f(u(x)u(x)，f(t)dt=-f(v(x)v(x)，axf(t)dt=-f(x)例3 求costdt解 cosxdt=3xcost2xcosx例4 求解 （）·三、牛頓萊布尼茲公式由和式的極限求定積分的值是十分復(fù)雜的，在多數(shù)情況下是行不通的，而微積分學(xué)基本定理卻為定積分的計(jì)算方法開避了新途徑，我們有下面的定理。定理二(牛頓萊布尼茲公式)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)且f(x)是它在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則 baf(x)dx=f(b)-f(a) （）證 由定理?xiàng)l件知， xaf(t)dt是f(x)在區(qū)間a,b

15、上的一個(gè)原函數(shù)，而f(x)也是f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，則 xaf(t)dt-f(x)c,c是某一個(gè)常數(shù)即xaf(t)dtf(x)+c在上式兩邊令x=a，有aaf(t)dt=f(a)+c，有c=-f(a)，有 xaf(t)dt=f(x)-f(a)再令x=b，就有 baf(t)dt=f(b)-f(a)即 baf(x)dx=f(b)-f(a)公式(2.5)稱為牛頓萊布尼茲(newton-leibniz)公式，這是一個(gè)非常重要的公式，它給出了定積分與不定積分之間的聯(lián)系，通過它，我們可利用不定積分來計(jì)算定積分，而不必用求和式極限的方法來計(jì)算，這個(gè)公式是定積分計(jì)算的基礎(chǔ)，為了書寫方便，常用f(

16、x)ba表示f(b)-f(a)，于是公式(2.5)可寫成 baf(x)dx=f(x)ba=f(b)-f(a)例5 求xdx解 10xdxx（）例6 求 (x+2cosx)dx解 (x+2cosx)dxxdx+cosxdx（x)(sinx）（）（sin-sin）例7 設(shè)f(x)= 求f(x)dx解 由函數(shù)f(x)在，上有間斷點(diǎn)，除該點(diǎn)外函數(shù)連續(xù)，由本章第一節(jié)定理已知f(x)在，上可積，且 f(x)dxsinxdx+xdx-(cosx）（x）（）第三節(jié) 定積分的計(jì)算方法§3.1 幾種基本的定積分計(jì)算方法雖然定積分的計(jì)算可以歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)，但有時(shí)求被積函數(shù)的原函數(shù)是比較麻煩的，例

17、如用變量代換法，求得原函數(shù)后，再換回原來的變量，而定積分只需計(jì)算出它的值，由不定積分中有換元法，因此有一、變量代換法定理(定積分換元積分法)若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)作變量代換x=(t)，(t)滿足下列條件(i)()=，()=b且(t)a,b,t、(ii)在，(或，)上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)(t)，則有定積分換元公式 baf(x)dx=f(t)(t)dt （）證 由(3.1)式兩邊的定積分的被積函數(shù)都是連續(xù)，所以它們的原函數(shù)都存在，設(shè)f(x)是f(x)在a,b上的原函數(shù)，即f(x)=f(x)，由f(t)=f(t)(t)=f(t)(t)，即f(t)是f(t)(t)的原函數(shù)，由牛頓萊布尼茲公式，有 baf

18、(x)dx=f(x)ba=f(b)-f(a) f(t)(t)dt=f(t)=f()-f()=f(b)-f(a)從而(3.1)式成立公式(3.1)式從右向左又稱為定積分的湊微分法，實(shí)際上，我們常按下面的方法計(jì)算g(t)dt=f(t)(t)dt=f(t)=f()-f()避免變動(dòng)上下限公式(3.1)式從左向右又稱為定積分的變量代換法。在用變量代換法時(shí)，為了保證(t)a,b，只需(t)在，(或，)上單調(diào)即可。注意(1)對(duì)應(yīng)a的為下限，對(duì)應(yīng)b的為上限(2)公式(3.1)式中的，誰大誰小不受限制例1 求edx解 edxe d(1+lnx)（lnx)e（lne)（）例2 計(jì)算a0dx(a>0)解 令x

19、=asint，則t，時(shí)，x=asint0,a，且t=0時(shí)，x=0,t=時(shí)，x=a,于是 adxacostdasintacostdt (1+cos2t)dtt+·圖- 利用定積分幾何意義知，由0，則adx表示曲線y=與x軸，y軸圍成的曲邊梯形面積，即以原點(diǎn)為心以a為半徑圓面積的倍，為例3 解 設(shè)t，即x，則dx=-tdt由變換t=，當(dāng)x=-1時(shí)，t=3，當(dāng)x=1時(shí)，t=1，因此·（）t dt dt（t5t）例4 求解 令x=sint，則dx=costdt，當(dāng)x時(shí)，t=；當(dāng)x時(shí)，t=，故cscx dt（-ot t)=(-1)-(-）例5 設(shè)f(x)=，求f(x-2)dx解 f(

20、x-2)dx,令x-2=tf(t)dt（t+t）（-e-t)（）（e）二、分部積分相應(yīng)于不定積分的分部積分公式，定積分也有分部積分公式，若u(x),v(x)在區(qū)間a,b上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，有u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)有u(x)v(x)=u(x)v(x)-u(x)v(x)由等式兩邊的函數(shù)在a,b上都連續(xù)，因此可積且相等，有bau(x)v(x)dx=ba(u(x)v(x)-u(x)v(x)dx于是bau(x)dv(x)=u(x)v(x)babav(x)du(x)，簡記為baudv=uvba-bavdu，因此有定理(定積分的分部積分)，若u(x),v(x)在a,b上具有連續(xù)的

21、導(dǎo)函數(shù)，則 baudv=uvba-bavdu （）公式(3.2)告訴我們，在利用定積分分部積分公式計(jì)算定積分時(shí)，不必等到原函數(shù)求出以后才將上下限代入，可以算一步就代一步。例6 xcosx dx解xcosx dx=xdsinxxsinx2xsinxdx=+2xdcosx（xcosxcosxdx)=2(2-sinx) 例7 dx解dxdxxdtgxxtanx-tanxdxlncosxln2例8 設(shè)f(x)=x dt,計(jì)算f(x)dx解 f(x)dx=xf(x) xf(x)dxdt-xdxdx-xdxsinxdxsinxdx=（-cosx) §3.2 幾種定積分簡化的計(jì)算方法一、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

22、稱區(qū)間上函數(shù)的定積分(i)若f(x)在區(qū)間-a,a上連續(xù)，則f(x)= （）事實(shí)上，由f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx由f(x)dx,令x=-t, f(-t)d(-t)f(-x)dx 故f(x)dx=(ii)若f(x)在-a,a上連續(xù)f(x)=，由為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，由(i)知f(x)dx=dx+ dx2dx=f(x)+f(-x)dx （）例9 求 (x+x)e-xdx解 由xe-x為偶函數(shù)，xe-x為奇函數(shù)，從而（x+x)e-xdxxexdx=2xe-xdx2xd(-e-x)=2-xe-xe-xdxe-e-xee例10 dx解，雖然在，上既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，但我們可以利用(i

23、i)來簡化計(jì)算，有dx=dx()dx=sinxdx（cos2x)dx= (x-sin2x)（）注：本題用其它方法很難求出。二、周期函數(shù)的定積分設(shè)f(x)為同期函數(shù)，周期為t，且連續(xù)，則f(x)dx=f(x)dx(a是任意常數(shù)) (3.5)事實(shí)上，由f(x)dxaf(x)dx+tf(x)dx+f(x)dx由f(x)dxaf(t+t)dt=af(t)dt=af(x)dx,于是f(x)dx=-af(x)dx+tf(x)dx+af(x)dx=f(x)dx三、sinnx,cosnx在，上的積分對(duì)任意的自然數(shù)n，有sinnxdxcosnxdx （）證：首先證明sinnxdxcosnxdx由sinnxdxs

24、inn（t)d(t)cosntdtcosnxdx設(shè) insinnxdx由 insinnxdxsinn-1xdcosx-sinn-1xcosx+cosx(n-1)sinn-2xcosxdx(n-1) sinn-2x(1-sinx)dx(n-1) sinn-2xdx-(n-1) sinnxdx(n-1)in-2-(n-1)in，有in in-2·in-4當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) in=·當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) in=·由isinxdx=，sinxdxcosx因此 sinnxdx例11 求x dx解 xdxxdx2sintcosdt=2sint(1-sint)dtsintdt-sint dt

25、（····）例12 證明sin2nxdx=cos2nx=4sin2ndx證 首先證明sin2nxdx=cos2nxdx由sin2nxdxsin2n(2-t)dtcos2ntdtcos2nxdx由sinx周期為，當(dāng)然2也是它的一個(gè)周期，從而sin2nx的周期為，并且2也是它的一個(gè)周期，由公式(3.5)有sin2nxdx=sin2nxdxsin2nxdxsin2nxdx=4sin2nxdx··從證明的過程，我們還可以得到sin2nx dxcos2nxdx=2sin2nxdx掌握以上的公式，可以化簡定積分的計(jì)算四、靈活運(yùn)用變量代換、計(jì)算定積

26、分例13 設(shè)函數(shù)f(x)在，上連續(xù)，證明 xf(sinx)dxf(sinx)dx并利用此結(jié)果，計(jì)算dx證xf(sinx)dx-(-t)f(sint)dt (-x)f(sinx)dx=f(sinx)dx-xf(sinx)dx于是移項(xiàng)并除2，就有 xf(sinx)dx=f(sinx)dx利用此結(jié)果dx=dx=dxcosxdcosxdcosxdcosxdcosx（cosx）(aretan(cosx) ）例14 計(jì)算 dx解 dxsectdtlndt=dtlndtlncos（t)dt-lncostdt圖- 由lncos（t)dtlncosudulncostdt，所以質(zhì)式ln dtln以上兩個(gè)例子，被積

27、函數(shù)的原函數(shù)很難求出來。例18 求dt解 由dtdududt由dtdt=dt=故dt。第四節(jié) 定積分的應(yīng)用§4.1 平面圖形的面積設(shè)連續(xù)曲線y=f(x)，ox軸及直線x=a,x=b(a<b)圖- 所圍成的曲邊梯形的面積為s(1)當(dāng)f(x)0時(shí)，由定積分幾何意義知，s=baf(x)dxbaf(x)dx(2)當(dāng)f(x)0時(shí)，作出曲線y=f(x)關(guān)于ox軸的對(duì)稱曲線y=-f(x)，則曲線y=-f(x)，ox軸及直線x=a,x=b圍成曲邊梯形的面積s與s相等，如圖-，即sba-f(x)dx=baf(x)dx因此，一般地連續(xù)曲線y=f(x),ox軸及直線x=a,x=b(a<b)所圍

28、的曲邊梯形的面積s為s=baf(x)dx （）同理，由曲線x=(y),oy軸及直線y=c,y=d(c<d)所圍的曲邊梯形面積s(如圖-)為s=dc(y)dy=ec(y)dy+de-(y)dy一般地，由兩條連續(xù)曲線y=f(x),y=f(x)及直線x=a,x=b(a<b)，所圍的平面圖形面積的計(jì)算公式為s=baf(x)-f(x)dx （） 圖- 圖-事實(shí)上，對(duì)圖-baf(x)dx-baf(x)dxbaf(x)-f(x)dxbaf(x)-f(x)dx圖- 圖5-12 對(duì)圖5-11進(jìn)行坐標(biāo)軸平移(設(shè)00=k)，在新坐標(biāo)系下兩條曲線分別為y=f(x)+k,y=f(x)+k,由圖5-10知sb

29、a(f(x)+k)-(f(x)+k)dxbaf(x)-f(x)dx對(duì)如圖5-12caf(x)-f(x)dx+bcf(x)-f(x)dxcaf(x)-f(x)dxbcf(x)-f(x)dxbaf(x)-f(x)dx對(duì)上面3種情況也可用定義得到，如圖-，在a,b內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn)a=x<x<x<<xi-1<xi<<xn-1<xn=b相應(yīng)地分成n個(gè)小區(qū)間xi-1,xi，記xi=xi-xi-1過分點(diǎn)作oy軸平行線增大的圖形分成n個(gè)小的圖形。設(shè)第i個(gè)圖形的面積為si i=1,2,n由兩條曲線連續(xù)，近似看成矩形，底為xiixi-1,xi,高為f（i)-f(i

30、）有sif(i)-fi(i）xisf(i）-f(i)xibaf(x)-f(x)dx同樣 由連續(xù)曲線x=(y)，x=(y)，及直線y=c,y=d所圍的曲邊梯形面積為s=dc(y)-（y)dy，如圖-圖- 圖5-14求簡單曲線所圍成的面積時(shí)(1)首先求出曲線的交點(diǎn)(2)畫出經(jīng)過交點(diǎn)的曲線(3)由所圍的平面圖形，選擇適當(dāng)?shù)墓絹碛?jì)算。注意 若曲線很簡單時(shí)，也可在畫曲線的過程中求交點(diǎn)。另外，也可利曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，來簡化計(jì)算。例 求由拋物線y=2x及直線y=x-4所圍成的平面圖形的面積。解 由 解得圖5- 所求的面積是由曲線x=y+4,x=y及直線y=2,y=4所圍成，如圖-，故有s(y+4)- y

31、dy（y）本題如用公式(4.3)來計(jì)算，就需要將整個(gè)面積分成兩部分s及s，然后計(jì)算s，相加才得s，讀者可以計(jì)算一下，這樣做就復(fù)雜多了。例 求曲線y=，及直線y=x,x=2所圍成的平面圖形面積解 此題的曲線都很簡單，可在畫曲線的過程中求出交點(diǎn)，所求的面積由曲線y=x,y=及直線，x=2所圍成，如圖-，故有圖5- s(x-）dx（x-lnx)（ln2)-( ）ln2圖5- 例 求橢圖所圖的面積解 由橢園關(guān)于x軸及y軸對(duì)稱，只需計(jì)算位于第一象限部分的面積，然后乘以4就得到求平面圖形面積s，如圖-由，解得y=±，故上半橢園的方程是y=，因此sadxacostacostdt=4abcostdt

32、4ab··=ab特別，當(dāng)a=b=r時(shí)，得園的面積為s=r§4.2 立體及旋轉(zhuǎn)體的體積一、立體的體積設(shè)為一空間位體，它夾在垂直于x軸的兩平面x=a與x=b之間(a<b)，我們稱為位于a,b上的空間立體，在區(qū)間a,b上任意一點(diǎn)x處，作垂直于x軸的平面，它截得立體的截面面積顯然是x的函數(shù)，記為a(x),設(shè)為x的連續(xù)函數(shù)，xa,b，我們稱為空間立體的截面面積函數(shù)，如圖-所示，如何計(jì)算立體的體積。1.分割 在區(qū)間a,b內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn)a=x<x<x<<xi-1<xi<<xn-1<xn=b過x=xi(i=0,1,2n)作

33、垂直于x軸的n+1個(gè)平面，這些平面把分割成n個(gè)薄片，記xi=xi-xi-1,i=1,2n2.作和 由a(x)在a,b上連續(xù)，當(dāng)=maxxi 1in很小時(shí)，a(x)在xi-1,xi上變化不大，從而每個(gè)薄片都可以用一個(gè)薄柱體來近似第i個(gè)薄片的體積，vi近似于以ixi-1,xi，a(i)為底，以xi為高的柱體體積，即圖5-18 via(i)xi i=1,2,n從而的體積 vvia(i）xi3.取極限 由a(x)在a,b上連續(xù)，所以baa(x)dx存在 v=a(i）xibaa(x)dx （）例4 設(shè)有底面半徑為a的園柱，被一與園柱的底交成角，且過底之直徑ab的平面所截，求截下的楔形的體積。解 取坐標(biāo)系

34、如圖-，這時(shí)，垂直于x軸的截?cái)嗝娑际侵苯侨切?，它的一個(gè)銳角為，這個(gè)銳角的鄰邊長為，故斷面面積為圖5-19 a(x) (a-x）tan則所求楔形的體積為 v2a (a-x）tandxtana(a-x)dx=atan二、旋轉(zhuǎn)體的體積求由連續(xù)曲線y=f(x),ox軸及直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形，繞ox軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積vx圖5-20 把旋轉(zhuǎn)體看成夾在兩平行平面x=a，x=b之間，那么在a,b上任意一點(diǎn)x處作平行兩底面的平面與立體相截截面積為a(x)=f(x)=f(x)，因此，由公式(4.5)知圖- vxbaf(x)dx （）例5 求由橢園圍成的圖形繞ox軸旋轉(zhuǎn)面成的旋轉(zhuǎn)橢球體的體積。

35、解 由橢園方程解得y= (a-x)，根據(jù)(4.6)式得該橢園圍成的平面繞ox軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體體積為 a-aydx=a-a (a-x)dxa(a-x)dxax-a0=ab特別，當(dāng)a=b=r時(shí)，可得半徑為r的球體的體積 §4.3 微元法及應(yīng)用一、微元法回顧前面討論的曲邊梯形面積，變力作功，變速直線運(yùn)動(dòng)路程，立體的體積等具體問題，可以將定積分解決實(shí)際問題的方法與步驟歸結(jié)如下三步(1)分割 即通過將區(qū)間a,b任意分為n個(gè)小區(qū)間xi-1,xi(i=1,2,n)，相應(yīng)地把所求的量q(如面積，功，路程，體積等)分為n個(gè)部分量qi(2)作和，即在每個(gè)小區(qū)間xi-1,xi上求出所求量qi的具體下

36、面形式的近似值 qif(i)xi （）其中i是xi-1,xi上任一點(diǎn)，xi=xi-xi-1，然后將各部分量的近似值相加，得到所求量q的近似值qf(i)xi(3)取極限 在上式中令=maxxi 1in0，取極限，得到所求量 q=f(i)xibaf(x)dx （）從上面過程可以看出，在上述三步中，關(guān)鍵是第二步中寫出區(qū)間xi-1,xi上的部分量 qif(i)xi （）它一旦確定后，被積表達(dá)式也就確定了，問題是qi與f(i）xi之間存在什么關(guān)系(因?yàn)榻剖且粋€(gè)模糊的量，它們之間近似的程度應(yīng)滿足什么要求，我們把(4.9)式寫成更一般形式，設(shè)xi-1=x,xi-xi-1=x=xi-1+x=x+x取x,x+

37、x中的任何值都可以，自然也可以取它的左端點(diǎn)，即=x，這樣(4.9)式就變成了區(qū)間x,x+x上的部分量 qf(x)x如何正確地寫出這個(gè)近似表達(dá)式，使得積分baf(x)dx恰好就是所求的量q呢?我們由果索因設(shè)(4.7)式中的f(x)在a,b上連續(xù)，由 q=baf(x)dx=baf(t)dt （）(4.)式實(shí)際上是q(x)=xaf(t)dt在x=b處的值，即q=q(b)由 qq(x+x)-q(x)f(t)dt-xaf(t)dtf(t)dt+axf(t)dtf(t)dtf()x xx+x由f(x)在a,b上連續(xù)，且區(qū)間x,x+x很小，則f()f(x)，即 qf(x)x另一方面 =f(x),有 dq=f

38、(x)dx由q(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則q(x)在點(diǎn)x處可微，由微分定義 qdq+o(x)=f(x)dx+o(x)f(x)x+o(x) (x0)因此(4.10)式中的f(x)x應(yīng)當(dāng)是q的線性主部，即是dq所以 q=baf(x)dx中的f(x)dx=f(x)x是區(qū)間x,x+x的部分量q的線性主部d，q-f(x)x應(yīng)當(dāng)x的高階無窮小。這樣，可以把定積分解決實(shí)際問題在認(rèn)清實(shí)質(zhì)的情況下使得步驟簡化，得到求q的方法。序曲：根據(jù)所給條件畫圖，適當(dāng)建立坐標(biāo)系，把圖中所需要的曲線方程表示出來，確定要求量q所分布的區(qū)間a,b三步曲 取近似，選取區(qū)間x,x+x x>0寫出部分量q的近似值f(x)x，即 qf(x

39、)x要求f(x)x是q的線性主部dq，即在計(jì)算的過程中，盡可能的精確，可以略去x的高階無窮小。這一步是最關(guān)鍵，最本質(zhì)的一步，所以稱為微元分析法或簡稱微元法2.得微分 dq=f(x)dx3.得積分 q=baf(x)dx二、曲邊扇形的面積求由連續(xù)曲線r=r()與射線=,=所圍圖形(圖-)，(稱為曲邊扇形)的面積。由曲邊扇形分布在區(qū)間，上圖- 1.考察,+區(qū)間上曲邊扇形的面積sr()2.dsr()d3.sr()d （）下面 我們來證明r()確實(shí)是s的線性主部，即dsr()d事實(shí)上，由函數(shù)r=r()在，上連續(xù)，則在區(qū)間,+上連續(xù)，設(shè)m，m為r()在,+的最大值與最小值，則mr()m,有mr()，即ms

40、m有mm當(dāng)0時(shí)有mr() mr()，由夾逼定理知r()，即 dsr()d但實(shí)際中，要檢驗(yàn)所求的近似值f(x)x是否為q的線性主部即dq或者說要檢驗(yàn)q-f(x)x是否是q的高階無窮小往往不是一件容易的事，并不是每個(gè)實(shí)際問題都可以像求曲邊扇形的那樣來進(jìn)行檢驗(yàn)，因此，在求q的近似值時(shí)要特別小心謹(jǐn)慎，要盡可能的精確，對(duì)于x的高階無窮小可以略去，還可以用實(shí)踐來檢驗(yàn)結(jié)論的正確性。例6 求雙紐線(x+y）=x-y所圍圖形的面積圖- 解 由方程中x用-x代替方程不變，y用-y代替方程不變，則曲線關(guān)于x軸及y軸對(duì)稱，因而面積只須計(jì)算第一象限面積，再乘以4倍。由從方程中解y很困難，因此難認(rèn)用直角坐標(biāo)系下求平面圖形

41、面積的方法，雙紐線在極坐標(biāo)系下的方程 r=cos2 r在第一象限0，要使r0，則0由公式(4.11)有sr()dcos2d=sin2三、平面曲線的弧長在初等幾何中，解決園周的長度問題所用的方法是：利用園內(nèi)接正多邊形的周長作園周長的近似值，再令多邊形的邊數(shù)無限增多而取極限，就定出園周的周長，因此，我們也用類似的方法來定義平面曲線弧長的概念。定義 設(shè)a，b是平面曲線的兩個(gè)端點(diǎn)(這里所指的曲線弧，它自身不相交，且非封閉，否則，可分段考慮，并規(guī)定曲線的弧長為各個(gè)分段的弧長之和。)在上依次任意取點(diǎn)a=mmi-1,mimn圖- 作折線mmi-1mimn(如圖)以sn記此折線的長，即sn記，若sn存在，此極

42、限與曲線弧上點(diǎn)mi的取法無關(guān)，則稱此極限為曲線的長度或曲線的弧長，此時(shí)，也稱曲線是可求長的。設(shè)所給曲線由參數(shù)方程t表示，其中(t),(t)在，上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且(t)+(t)0，我們稱為光滑曲線，設(shè)的兩個(gè)端點(diǎn)a，b各對(duì)應(yīng)于參變量t的與(<)，現(xiàn)在來計(jì)算曲線ab的長度。由所求的曲線可看成分布在參數(shù)t所對(duì)應(yīng)的區(qū)間，上，我們可采取微元法來計(jì)算ab的弧長1.選取t,t+t，設(shè)參數(shù)t對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)為m(t),(t)參數(shù)t+t對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)為n(t+t),(t+(t)，對(duì)應(yīng)的弧長為s則smnt=t+tt,t+t 當(dāng)t0時(shí)，有t,t由-有t是t的高階無窮小，因此st2.dsdt3.sdt因此，若給定

43、曲線弧ab的方程為用(t),(t)在，上連續(xù)，且2(t)+2(t)0，則曲線弧是可求長的，其弧長s可表示為sdt （）若曲線方程 y=f(x) (axb)給出，并且a與b各點(diǎn)對(duì)應(yīng)于自變量x的值a與b，這時(shí) axb代入(4.12)即得曲線弧的長為 sbadx若曲線方程 x=(t) yc,d給出，并且a與b各點(diǎn)對(duì)應(yīng)于自變量y的值c與d，這時(shí) 代入(4.12)，即得曲線弧長的長為 s=dcdy若曲線由極坐標(biāo)方程 r=r() 表示，由極坐變換化為參數(shù)方程 由x()=r()cos-r()sin，y()=r()sin+r()cos，于是sd=d二弧長微分公式若選定點(diǎn)m(t），(t），t，為度量弧長的起點(diǎn)，

44、m(t),(t)為弧上一 點(diǎn)，設(shè)弧的長為s，雖然弧長s是t的函數(shù)s(t)，這里規(guī)定：當(dāng)t>t時(shí)，s取正值；當(dāng)t<t時(shí)，s取負(fù)值，則當(dāng)t增加時(shí)s也增加，因此，s=s(t)是嚴(yán)格增函數(shù)，由公式 s(t)=ttdt （t)來表達(dá)，對(duì)積分上限求導(dǎo)，得 >0從這里也可以看出s=s(t)是增函數(shù)，改寫成微分形式，即得弧長的微分方式 ds=dt （）(4.13)式稱為弧長的微分方式若曲線方程 y=f(x) (axb) 則 ds=dx若曲線方程 x=(y) (cyd)則 ds=dy若曲線方程 r=r() 則 ds=d弧微分的幾何意義：由ds=dt 有ds= （）圖- 它的幾何意義是，當(dāng)自變量

45、x增加到x+x時(shí)，相應(yīng)的曲線的切線長 mp=ds=s這正是在點(diǎn)m處曲線的長可近似用切線長來代替的原因。例 求園x+y的周長解 記園的方程化成參數(shù)方程 2則sdrdr例 求曲線xylny(1ye)的弧長解 所求曲線的弧長為s=ee dy例 求內(nèi)擺線xy=a的周長解 由曲線關(guān)于x軸及y軸對(duì)稱，只需計(jì)算第一象限內(nèi)曲線的長乘以4即可，不妨設(shè)a>0由 y=，（）s=4a（）dx=6a注：也可化為參數(shù)方程在第一象限的參數(shù)0由 xacossin y=3asincoss=4dasincosd=6asin2d=3a(-os2)=6a圖- 四、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面面積求連續(xù)曲線y=f(x)，x軸及直線x=a,x=b(0<a<b)圖- 所圍的平面圖形繞y軸所形成旋轉(zhuǎn)體的立體體積vy。把所求的旋轉(zhuǎn)體看成分布在區(qū)間a,b上。1.取區(qū)間x,x+x，該區(qū)間上平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積v為一個(gè)空心園柱體。由第二章第三節(jié)微分的實(shí)際例子知vy2xf(x)x2.dvy=2xf(x)dx3.vy=2baxf(x)dx例10 求由曲線y=(x-1)(x-