高三理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題整合高頻突破習(xí)題：專(zhuān)題五 立體幾何 專(zhuān)題能力訓(xùn)練15 Word版含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專(zhuān)題能力訓(xùn)練15立體幾何中的向量方法能力突破訓(xùn)練1.如圖,正方形abcd的中心為o,四邊形obef為矩形,平面obef平面abcd,點(diǎn)g為ab的中點(diǎn),ab=be=2.(1)求證:eg平面adf;(2)求二面角o-ef-c的正弦值;(3)設(shè)h為線(xiàn)段af上的點(diǎn),且ah=23hf,求直線(xiàn)bh和平面cef所成角的正弦值.2.如圖,在四棱錐a-efcb中,aef為等邊三角形,平面aef平面efcb,efbc,bc=4,ef=2a,ebc=fcb=60°,o為ef的中點(diǎn).(1)求證:aobe;(2)求二面角f-ae-b的余弦值;(3)若be平面aoc,求a的值.

2、3.(20xx山東,理17)如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形abcd(及其內(nèi)部)以ab邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的,g是df的中點(diǎn).(1)設(shè)p是ce上的一點(diǎn),且apbe,求cbp的大小;(2)當(dāng)ab=3,ad=2時(shí),求二面角e-ag-c的大小.4.如圖,在長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1中,aa1=ad=1,e為cd的中點(diǎn).(1)求證:b1ead1;(2)在棱aa1上是否存在一點(diǎn)p,使得dp平面b1ae?若存在,求ap的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.5.(20xx北京,理16)如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd為正方形,平面pad平面abcd,點(diǎn)m在線(xiàn)段pb上,pd平

3、面mac,pa=pd=6,ab=4.(1)求證:m為pb的中點(diǎn);(2)求二面角b-pd-a的大小;(3)求直線(xiàn)mc與平面bdp所成角的正弦值.6.如圖,ab是半圓o的直徑,c是半圓o上除a,b外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),dc垂直于半圓o所在的平面,dceb,dc=eb,ab=4,taneab=14.(1)證明:平面ade平面acd;(2)當(dāng)三棱錐c-ade體積最大時(shí),求二面角d-ae-b的余弦值.思維提升訓(xùn)練7.如圖甲所示,bo是梯形abcd的高,bad=45°,ob=bc=1,od=3oa,現(xiàn)將梯形abcd沿ob折起成如圖乙所示的四棱錐p-obcd,使得pc=3,e是線(xiàn)段pb上一動(dòng)點(diǎn).(1)證明

4、:de和pc不可能垂直;(2)當(dāng)pe=2be時(shí),求pd與平面cde所成角的正弦值.8.如圖,平面pad平面abcd,四邊形abcd為正方形,pad=90°,且pa=ad=2;e,f,g分別是線(xiàn)段pa,pd,cd的中點(diǎn).(1)求證:pb平面efg.(2)求異面直線(xiàn)eg與bd所成的角的余弦值.(3)在線(xiàn)段cd上是否存在一點(diǎn)q,使得點(diǎn)a到平面efq的距離為45?若存在,求出cq的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案專(zhuān)題能力訓(xùn)練15立體幾何中的向量方法能力突破訓(xùn)練1.解依題意,of平面abcd,如圖,以o為原點(diǎn),分別以ad,ba,of的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可

5、得o(0,0,0),a(-1,1,0),b(-1,-1,0),c(1,-1,0),d(1,1,0),e(-1,-1,2),f(0,0,2),g(-1,0,0).(1)證明依題意,ad=(2,0,0),af=(1,-1,2).設(shè)n1=(x,y,z)為平面adf的法向量,則n1·ad=0,n1·af=0,即2x=0,x-y+2z=0.不妨設(shè)z=1,可得n1=(0,2,1),又eg=(0,1,-2),可得eg·n1=0,又因?yàn)橹本€(xiàn)eg平面adf,所以eg平面adf.(2)易證oa=(-1,1,0)為平面oef的一個(gè)法向量.依題意,ef=(1,1,0),cf=(-1,1,

6、2).設(shè)n2=(x,y,z)為平面cef的法向量,則n2·ef=0,n2·cf=0,即x+y=0,-x+y+2z=0.不妨設(shè)x=1,可得n2=(1,-1,1).因此有cos<oa,n2>=oa·n2|oa|·|n2|=-63,于是sin<oa,n2>=33.所以,二面角o-ef-c的正弦值為33.(3)由ah=23hf,得ah=25af.因?yàn)閍f=(1,-1,2),所以ah=25af=25,-25,45,進(jìn)而有h-35,35,45,從而bh=25,85,45,因此cos<bh,n2>=bh·n2|bh|

7、83;|n2|=-721.所以,直線(xiàn)bh和平面cef所成角的正弦值為721.2.(1)證明因?yàn)閍ef是等邊三角形,o為ef的中點(diǎn),所以aoef.又因?yàn)槠矫鎍ef平面efcb,ao平面aef,所以ao平面efcb,所以aobe.(2)解取bc中點(diǎn)g,連接og.由題設(shè)知efcb是等腰梯形,所以ogef.由(1)知ao平面efcb,又og平面efcb,所以oaog.如圖建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz,則e(a,0,0),a(0,0,3a),b(2,3(2-a),0),ea=(-a,0,3a),be=(a-2,3(a-2),0).設(shè)平面aeb的法向量為n=(x,y,z),則n·ea=0,n&#

8、183;be=0,即-ax+3az=0,(a-2)x+3(a-2)y=0.令z=1,則x=3,y=-1.于是n=(3,-1,1).平面aef的法向量為p=(0,1,0).所以cos<n,p>=n·p|n|p|=-55.由題知二面角f-ae-b為鈍角,所以它的余弦值為-55.(3)解因?yàn)閎e平面aoc,所以beoc,即be·oc=0.因?yàn)閎e=(a-2,3(a-2),0),oc=(-2,3(2-a),0),所以be·oc=-2(a-2)-3(a-2)2.由be·oc=0及0<a<2,解得a=43.3.解(1)因?yàn)閍pbe,abbe,

9、ab,ap平面abp,abap=a,所以be平面abp,又bp平面abp,所以bebp,又ebc=120°.因此cbp=30°.(2)解法一:取ec的中點(diǎn)h,連接eh,gh,ch.因?yàn)閑bc=120°,所以四邊形behc為菱形,所以ae=ge=ac=gc=32+22=13.取ag中點(diǎn)m,連接em,cm,ec,則emag,cmag,所以emc為所求二面角的平面角.又am=1,所以em=cm=13-1=23.在bec中,由于ebc=120°,由余弦定理得ec2=22+22-2×2×2×cos120°=12,所以ec=2

10、3,因此emc為等邊三角形,故所求的角為60°.解法二:以b為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以be,bp,ba所在的直線(xiàn)為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意得a(0,0,3),e(2,0,0),g(1,3,3),c(-1,3,0),故ae=(2,0,-3),ag=(1,3,0),cg=(2,0,3),設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面aeg的一個(gè)法向量.由m·ae=0,m·ag=0,可得2x1-3z1=0,x1+3y1=0.取z1=2,可得平面aeg的一個(gè)法向量m=(3,-3,2).設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面acg的一個(gè)法向量.由n·ag=0,n&#

11、183;cg=0,可得x2+3y2=0,2x2+3z2=0.取z2=-2,可得平面acg的一個(gè)法向量n=(3,-3,-2).所以cos<m,n>=m·n|m|n|=12.因此所求的角為60°.4.解以a為原點(diǎn),ab,ad,aa1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).設(shè)ab=a,則a(0,0,0),d(0,1,0),d1(0,1,1),ea2,1,0,b1(a,0,1),故ad1=(0,1,1),b1e=-a2,1,-1,ab1=(a,0,1),ae=a2,1,0.(1)證明ad1·b1e=-a2×0+1×1

12、+(-1)×1=0,b1ead1.(2)假設(shè)在棱aa1上存在一點(diǎn)p(0,0,z0),使得dp平面b1ae,此時(shí)dp=(0,-1,z0).又設(shè)平面b1ae的法向量n=(x,y,z).n平面b1ae,nab1,nae,得ax+z=0,ax2+y=0.取x=1,得平面b1ae的一個(gè)法向量n=1,-a2,-a.要使dp平面b1ae,只要ndp,有a2-az0=0,解得z0=12.又dp平面b1ae,存在點(diǎn)p,滿(mǎn)足dp平面b1ae,此時(shí)ap=12.5.(1)證明設(shè)ac,bd交點(diǎn)為e,連接me.因?yàn)閜d平面mac,平面mac平面pdb=me,所以pdme.因?yàn)閍bcd是正方形,所以e為bd的中點(diǎn)

13、.所以m為pb的中點(diǎn).(2)解取ad的中點(diǎn)o,連接op,oe.因?yàn)閜a=pd,所以opad.又因?yàn)槠矫鎝ad平面abcd,且op平面pad,所以op平面abcd.因?yàn)閛e平面abcd,所以opoe.因?yàn)閍bcd是正方形,所以oead.如圖建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz,則p(0,0,2),d(2,0,0),b(-2,4,0),bd=(4,-4,0),pd=(2,0,-2).設(shè)平面bdp的法向量為n=(x,y,z),則n·bd=0,n·pd=0,即4x-4y=0,2x-2z=0.令x=1,則y=1,z=2.于是n=(1,1,2),平面pad的法向量為p=(0,1,0).所以co

14、s<n,p>=n·p|n|p|=12.由題知二面角b-pd-a為銳角,所以它的大小為3.(3)解由題意知m-1,2,22,c(2,4,0),mc=3,2,-22.設(shè)直線(xiàn)mc與平面bdp所成角為,則sin=|cos<n,mc>|=|n·mc|n|mc|=269.所以直線(xiàn)mc與平面bdp所成角的正弦值為269.6.(1)證明因?yàn)閍b是直徑,所以bcac.因?yàn)閏d平面abc,所以cdbc.因?yàn)閏dac=c,所以bc平面acd.因?yàn)閏dbe,cd=be,所以四邊形bcde是平行四邊形,所以bcde,所以de平面acd.因?yàn)閐e平面ade,所以平面ade平面a

15、cd.(2)解依題意,eb=ab×taneab=4×14=1.由(1)知vc-ade=ve-acd=13×sacd×de=13×12×ac×cd×de=16×ac×bc112×(ac2+bc2)=112×ab2=43,當(dāng)且僅當(dāng)ac=bc=22時(shí)等號(hào)成立.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則d(0,0,1),e(0,22,1),a(22,0,0),b(0,22,0),則ab=(-22,22,0),be=(0,0,1),de=(0,22,0),da=(22,0,-1).設(shè)平面dae的法向

16、量為n1=(x,y,z),則n1·de=0,n1·da=0,即22y=0,22x-z=0,取n1=(1,0,22).設(shè)平面abe的法向量為n2=(x,y,z),則n2·be=0,n2·ab=0,即z=0,-22x+22y=0,取n2=(1,1,0),所以cos<n1,n2>=n1·n2|n1|n2|=12×9=26.可以判斷<n1,n2>與二面角d-ae-b的平面角互補(bǔ),所以二面角d-ae-b的余弦值為-26.思維提升訓(xùn)練7.解如題圖甲所示,因?yàn)閎o是梯形abcd的高,bad=45°,所以ao=ob.

17、因?yàn)閎c=1,od=3oa,可得od=3,oc=2,如題圖乙所示,op=oa=1,oc=2,pc=3,所以有op2+oc2=pc2.所以opoc.而obop,obod,即ob,od,op兩兩垂直,故以o為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),則p(0,0,1),c(1,1,0),d(0,3,0),(1)設(shè)e(x,0,1-x),其中0x1,所以de=(x,-3,1-x),pc=(1,1,-1).假設(shè)de和pc垂直,則de·pc=0,有x-3+(1-x)·(-1)=0,解得x=2,這與0x1矛盾,假設(shè)不成立,所以de和pc不可能垂直.(2)因?yàn)閜e=2be,所以e23,0,13.設(shè)

18、平面cde的一個(gè)法向量是n=(x,y,z),因?yàn)閏d=(-1,2,0),de=13,-3,13,所以n·cd=0,n·de=0,即-x+2y=0,23x-3y+13z=0.令y=1,則n=(2,1,5),而pd=(0,3,-1),所以|cos<pd,n>|=pd·n|pd|n|=315.所以pd與平面cde所成角的正弦值為315.8.解平面pad平面abcd,且pad=90°,pa平面abcd,而四邊形abcd是正方形,即abad.故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則a(0,0,0),b(2,0,0),c(2,2,0),d(0,2,0),p(0,0,2),e(0,0,1),f(0,1,1),g(1,2,0).(1)證明:pb=(2,0,-2),fe=(0,-1,0),fg=(1,1,-1),設(shè)pb=sfe+tfg,即(2,0