材料力學(xué)--圓軸扭轉(zhuǎn)

1、第第6 6章章 圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn) 主要內(nèi)容主要內(nèi)容: :2.2.扭轉(zhuǎn)內(nèi)力扭轉(zhuǎn)內(nèi)力: :扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖3.3.扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分析與計(jì)算扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分析與計(jì)算1.1.圓軸扭轉(zhuǎn)的概念圓軸扭轉(zhuǎn)的概念 4.4.圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計(jì)算 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件: :圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度要求仍是最大工作圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度要求仍是最大工作切應(yīng)力切應(yīng)力maxmax不超過材料的許用切應(yīng)力不超過材料的許用切應(yīng)力 。pTWMmaxmax 對于對于階梯軸階梯軸，因?yàn)榭古そ孛嫦禂?shù)，因?yàn)榭古そ孛嫦禂?shù)W Wp p不是常量，不是常量，最最大工作應(yīng)力不一定發(fā)生在最大扭

2、矩所在的截面上。大工作應(yīng)力不一定發(fā)生在最大扭矩所在的截面上。要綜合考慮扭矩和抗扭截面系數(shù)要綜合考慮扭矩和抗扭截面系數(shù)W Wp p，按這兩個因，按這兩個因素來確定最大切應(yīng)力。素來確定最大切應(yīng)力。 應(yīng)用扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，可以解決圓軸強(qiáng)度計(jì)算的三類問題：校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面和確定許校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷?？奢d荷。 圓軸扭轉(zhuǎn)時的許用切應(yīng)力 值是根據(jù)試驗(yàn)確定的，可查閱有關(guān)設(shè)計(jì)手冊。它與許用拉應(yīng)力 有如下關(guān)系： l 塑性材料塑性材料 (0(05 50 06) 6) 脆性材料脆性材料 (0(08 81 10) 0) llM MA A = 9550 x 20/180 = 9550 x 20/180 = 1

3、061 N.m = 1061 N.m例例1 1：如圖所示直徑：如圖所示直徑d=50mmd=50mm的等截面圓軸，主動輪功率的等截面圓軸，主動輪功率P PA A=20kW=20kW，軸的轉(zhuǎn)速，軸的轉(zhuǎn)速n=180r/minn=180r/min，齒輪，齒輪B B、C C、D D的輸出的輸出功率分別為功率分別為P PB B=3kW=3kW，Pc=10kWPc=10kW，P PD D=7kW=7kW，軸的許用切應(yīng)，軸的許用切應(yīng)力力 =38M Pa =38M Pa，試校核該軸的強(qiáng)度。，試校核該軸的強(qiáng)度。 ABCD解：求各輪的外力偶矩：解：求各輪的外力偶矩：M MB B = 9550 x 3/180 = 1

4、59 N.m = 9550 x 3/180 = 159 N.mM MC C = 9550 x 10/180 = 531 N.m = 9550 x 10/180 = 531 N.mM MD D = 9550 x 7/180 = 371 N.m = 9550 x 7/180 = 371 N.mABCDM MA A = 1061 N.m = 1061 N.mM MB B = 159 N.m = 159 N.mM MC C = 531 N.m = 531 N.mM MD D = 371 N.m = 371 N.mM MAB AB = 159 N.m= 159 N.mM MAC AC = 902 N.m

5、= 902 N.mM MCD CD = 371 N.m= 371 N.m用截面法可得：用截面法可得：則：則：max所以，軸的強(qiáng)度足夠。所以，軸的強(qiáng)度足夠。= = M MTmaxTmax / W/ WP P = = 902 x 10 / 0.2 x 50902 x 10 / 0.2 x 50 = 14.4 Mpa 38 MPa= 14.4 Mpa 38 MPa33例例2 2：某拖拉機(jī)輸出軸的直徑：某拖拉機(jī)輸出軸的直徑d=50mmd=50mm，其轉(zhuǎn)速，其轉(zhuǎn)速n=250r/minn=250r/min，許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力 =60 =60MPaMPa，試按強(qiáng)度條件計(jì)算該軸能傳遞的，試按強(qiáng)度條件計(jì)算該軸

6、能傳遞的最大功率。最大功率。 解：由解：由M MTmaxTmax = 9550P= 9550Pmax / n / n max則則：P Pmax = (60 x250 x50 )/(9550 x10 ) (60 x250 x50 )/(9550 x10 ) = 196 kW = 196 kW33= = 10 10 M Mtmaxtmax / W/ WP P = 10 x 9550 = 10 x 9550 P Pmax /n. /n. W WP P 60 MPa60 MPa33例3：P7.5kW,n=100r/min,軸的許用切應(yīng)力40M Pa,空心圓軸的內(nèi)外徑之比 = 0.5。: 實(shí)心軸的直徑d

7、1和空心軸的外徑D2。解：解：M MT T=Me=T=9550=Me=T=9550n nP P=9550 =9550 x x 7.57.5100100= 716.3= 716.3(N.m) max=W Wp1p1= 40 = 40 ( ( M Pa)M Pa)1000M1000MT T7163007163000.20.2d d1 13= 45 mmd1=716300 40 0.23對于軸對于軸1 1：對于空心軸對于空心軸2 2： max=W Wp2p2= 40 = 40 ( ( M Pa)M Pa)1000M1000MT T7163007163000.20.2D D2 2 (1-(1- ) )

8、34= 46 mmD2 =716300 0.2(1- 0.5 4) 40 d 2 = 0.5D2=23 mmA A1 1A A2 2= =d d1 12 2D D2 22 2(1- (1- 2 2) )=1.28=1.28圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度計(jì)算 1.1.圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 圓軸扭轉(zhuǎn)時，任意兩橫截面產(chǎn)生相對角位移，稱為扭角扭角。扭角是扭轉(zhuǎn)變形的變形度量。扭角是扭轉(zhuǎn)變形的變形度量。 等直圓軸的扭角等直圓軸的扭角 的大的大小與扭矩小與扭矩MTMT及軸的長度及軸的長度L L成正比，與橫截面的成正比，與橫截面的極慣性矩極慣性矩IpIp成反比，引成反比，引入比例

9、常數(shù)入比例常數(shù) G G，則有，則有 :pTGILM( (radrad ) )切變模量切變模量(M pa)抗扭剛度抗扭剛度2.2.扭轉(zhuǎn)時的剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)時的剛度計(jì)算 LmaxpTGIMmax(rad(rad/m)/m)剛度條件：剛度條件：最大單位長度扭角最大單位長度扭角 小于或等于許小于或等于許用單位長度扭角用單位長度扭角 。 maxmaxmax180TpMGI或或( ( / /m)m) max注：注：對于階梯軸，因?yàn)闃O慣性矩不對于階梯軸，因?yàn)闃O慣性矩不是常量，所以最大單位長度扭角不是常量，所以最大單位長度扭角不一定發(fā)生在最大扭矩所在的軸段上。一定發(fā)生在最大扭矩所在的軸段上。要綜合考慮扭矩和極慣性

10、矩來確定要綜合考慮扭矩和極慣性矩來確定最大單位長度扭角。最大單位長度扭角。 根據(jù)扭轉(zhuǎn)剛度條件，可以解決剛度根據(jù)扭轉(zhuǎn)剛度條件，可以解決剛度計(jì)算的三類問題，即計(jì)算的三類問題，即校核剛度、設(shè)校核剛度、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷計(jì)截面和確定許可載荷。 例例1 1：如圖所示階梯軸，直徑分別為：如圖所示階梯軸，直徑分別為 ， ，已知，已知C輪輸入轉(zhuǎn)矩輪輸入轉(zhuǎn)矩 ，A輪輸出轉(zhuǎn)矩輪輸出轉(zhuǎn)矩 ，軸的轉(zhuǎn)速，軸的轉(zhuǎn)速 ，軸材料的許用切應(yīng)力，軸材料的許用切應(yīng)力 ，許用單位長度扭角許用單位長度扭角 ，切變模量，切變模量 ，試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。 mmd401mmd552mNMec5 .1432mN

11、MeA8 .620min/200rn MPa60m/2GPaG80CBACBA解解 : :1.1.求個段扭矩：求個段扭矩：mNMMeAT8.620121432.5TecMMN m由于各段半徑不同，危險(xiǎn)截面可能發(fā)生在由于各段半徑不同，危險(xiǎn)截面可能發(fā)生在ABAB段的截面段的截面 處，也可能發(fā)生在處，也可能發(fā)生在BCBC段段 。1d2.2.校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度 31131620.8 1048.50.2 40TpMMPaMPaWAB322321432.5 1043.10.2 55TpMMPaMPaWBCMPa5 .481max AB所以，強(qiáng)度所以，強(qiáng)度滿足要求。滿足要求。 3.3.校核剛度校核剛度 3311341180620.8 1018010/1.737 /80 100.1 40TpMmmGIAB33223421801432.5 1018010/1.121 /80 100.1 55TpMmmGIBCm/737. 11maxAB所以，軸的剛度也滿足要求。所以，軸的剛度也滿足要求。 結(jié)論結(jié)論：1.1.無正應(yīng)力。無正應(yīng)力。 2 2.有切應(yīng)力存在，方向與有切應(yīng)力存在，方向與截面半徑方向垂直。截面半徑方向垂