超材料中的負折射率

1、超材料中的負折射率武漢大學 陳鋒 強雨摘要：早在上世紀60年代，前蘇聯(lián)理論物理學家Veselago就構(gòu)想出一種介電常數(shù)和磁導率同時為負值的介質(zhì)，在這種介質(zhì)中，波矢k，電場強度E和磁場強度H三者是滿足左手螺旋關(guān)系。本文章介紹了左手材料的概念，介質(zhì)及金屬的介電常數(shù)的正負特性和負折射率的原理，并且介紹這種具有負折射率的超材料的構(gòu)造。關(guān)鍵詞：左手材料、介電常數(shù)、負折射率、超材料Negative refractive index in metamaterialsAbstract: In 1960s, a Russian physicist named Veselago imagined a kind o

2、f dielectric with negative permittivity and negative magnetic permeability . In such dielectric, the wave vector k, the electric strength E and the magnetic strength H will satisfy the left-handed rule. This article introduces the concept of left-handed materials (LHM), the sign of permittivity of d

3、ielectric and metal and some basic principles of negative refractive index. Also, we introduce the configuration of such man-made metamaterials with negative refractive index.Keywords: left-handed materials, permittivity, negative refractive index, and metamaterials 推薦精選1. 引言在一般的介質(zhì)中，波矢k，電場強度E和磁場強度H，

4、三者是滿足右手螺旋關(guān)系的，那么能量的傳播方向S=E×H將會和波矢k的方向相同。那么，是否存在一種介質(zhì)，使得這三個矢量滿足左手螺旋關(guān)系，從而使得能量沿著波矢的反方向傳播呢？前蘇聯(lián)理論物理學家Veselago在1964年最早研究了這個問題，他假想了一種介電常數(shù)和磁導率同時為負值的介質(zhì)，能實現(xiàn)這個構(gòu)想，因此這種介質(zhì)被稱為“左手材料”。2. 左手坐標系由麥克斯韋方程組，假設(shè)電磁場滿足簡諧時變場：(E,H)=(E0,H0)eikre-it因此麥克斯韋方程組：×E=-Bt×H=Dt變成：k×E=Hk×H=-E于是對于>0, >0時，E,H,k三

5、者構(gòu)成右手系，如下圖（a）所示。但是，當對于<0, <0時，E,H,k三者構(gòu)成左手系，如下圖（b）所示。對于物質(zhì)的折射率：n=±22推薦精選在右手系中，折射率取正值。對于<0, <0的情況，波矢滿足：k=-E×H。（此處叉乘仍采用右手系中得定義）首先來看電磁波能量的傳播，即群速的方向。 這個方向由波印廷矢量S=E×H 決定。 在正常材料中k和S總是同方向，即相速和群速方向是一致的。但在左手材料中，這兩個方向卻正好相反，因此左手材料又被稱為“負群速度材料”。對于從正常介質(zhì)入射到左手介質(zhì)的情況，由邊值關(guān)系：Et1=Et2Ht1=Ht21En1=

6、2En21Ht1=2Ht2式中n表示法向方向，t表示切向方向。如下圖所示，當1是正常材料，而2是“左手材料”的時候，即<0, <0時，界面上E和H的平行分量的方向還是一致的，而垂直分量的方向卻反了過來，再加上在介質(zhì)2內(nèi)，k, E, H三者遵守左手定則，因而這時會發(fā)生反常的折射：折射光和入射光出現(xiàn)在界面法線的同一側(cè)，這時能流S和波矢k的傳播分別如圖(a)和圖(b)所示：3. 介質(zhì)中介電常數(shù)的正值性對于各向同性的電介質(zhì)，對于系統(tǒng)的自由能有：F-F0=12D2dV當變化時，電場強度也發(fā)生改變，因而，系統(tǒng)的自由能的改變?yōu)椋篎=DDdV-E22dV在現(xiàn)在的情況下，我們所研究的是外場不變的情況

7、，因而上式右端的第一項應(yīng)該等于0，于是我們可以得到以下表達式：F=-E22dV由熱力學的微擾理論可以證明，當電介質(zhì)移動到電場內(nèi)時，電介質(zhì)系統(tǒng)的總自由能的變化總是負值。把物體的自由能的變化看成是它的量子能級受到電場擾動的結(jié)果，我們得到：F-F0=Vnn-12n,mVnm2(m-n)En(0)-Em(0)-12kT(Vnn-Vnn)2式中En(0)是未受擾動的能級，Vnm是擾動能的矩陣元，而短線表示在吉布斯分布n=exp(F0-En(0)/kT下得到的平均值。上式中，Vnn項是場的線性項，只有在熱電體內(nèi)才不為零。但我們關(guān)心對場為二次的自由能的變化，它由上式中其余的項得出。于是可以看出，系統(tǒng)總自由能

8、的變化是負的。如果將自由能的變化看作是物體的介電常數(shù)逐漸地從0變化到的結(jié)果，那么只有當>0時，F(xiàn)的值才是負的。由此可見，介質(zhì)中的介電常數(shù)恒為正值，介質(zhì)并不能成為制作負折射率超材料的材料。4. 金屬中得介電常數(shù)由麥克斯韋方程組的第四條式子：×H=Dt+J推薦精選假設(shè)電磁場為簡諧的時變場，同時由歐姆定律：j=E于是上式變?yōu)椋?#215;H=-iD+E=-iD式中，=c+i/，一般情況下，c也為復數(shù)，因而把金屬中的復介電常數(shù)寫成：=2+i。對于各向同性的金屬介質(zhì)，對于系統(tǒng)的自由能同樣也有有：F-F0=Re12D2dV當變化時，電場強度也發(fā)生改變，因而，系統(tǒng)的自由能的改變?yōu)椋篎=ReD

9、DdV-D22222+2dV在現(xiàn)在的情況下，我們所研究的是外場不變的情況，因而上式右端的第一項應(yīng)該等于0，于是我們可以得到以下表達式：F=-D22222+2dV=-E2222+222-222+222dV=-E2224-422+222dV同樣地，系統(tǒng)總自由能的變化是負的。如果將自由能的變化看作是物體的介電常數(shù)逐漸地從0變化到的結(jié)果， 當22<2時， 即金屬折射率的實部比虛部要小的時候， 那么當<0時，F(xiàn)的值是負的。由此可見，金屬中的介電常數(shù)可以為負值，金屬可以成為制作負折射率超材料的材料。但是，由于介電常數(shù)的虛部比實部要大，光在金屬中傳播時會呈指數(shù)衰減。5. 超材料構(gòu)造6. 金屬導體

10、中的介電常數(shù)與電介質(zhì)中不同，金屬中存在自由電子，在電磁場的作用下自由電子會產(chǎn)生漂移，相比較電介質(zhì)中電子在電磁場的作用下在晶格周圍振動，自由電子漂移產(chǎn)生的電偶極矩更大，自由電子在電磁場的作用下收到一個驅(qū)動力，而同時漂移過程中與原子實的接連碰撞會導致電子收到一個周期阻力，設(shè)這個阻力與電子漂移速度成正比，則運動方程為：，設(shè)其解形式為：，帶入得：，由此得極化強度P為：，（式中N為單位體積中金屬原子的個數(shù)，而f為每個金屬原子中自由電子的數(shù)量。由此得: ，（）推薦精選當時，此時對應(yīng)于周期阻力遠小于電磁驅(qū)動力。在紫外波段，只有在微波波段，此條件才能滿足。負介電常數(shù)在金屬結(jié)構(gòu)中的實現(xiàn)左手材料首先要求材料中的，

11、。根據(jù)金屬中的色散關(guān)系：當時，如果，則可知對于適當?shù)念l率范圍，金屬的介電常數(shù)小于零。而上述公式只能在介電常數(shù)不太大時成立，也即意味著在只能略小于，而只有在微波波段，傳播過程中的損耗才較小，即在微波波段才滿足，因此必須讓處于微波波段，而對于一般的純金屬材料位于紫外區(qū)，因此必須構(gòu)造一種結(jié)構(gòu)讓其值變小，由于，因此必須減小N或者增大m（有效質(zhì)量），處于這種目的，我們構(gòu)造這種周期結(jié)構(gòu)材料: 首先自由電子只存在于金屬線中因此整個系統(tǒng)的原子數(shù)密度變?yōu)椋╝為金屬線間距），相比較N減小了7個數(shù)量級。對于結(jié)構(gòu)中電子的有效質(zhì)量，電子的有效動量，我們假設(shè)在半徑滿足的范圍內(nèi)磁場滿足一個無限長導線產(chǎn)生的電場，而在此之外磁

12、場為零，由，得，而，因此（上式中的R為金屬線的半徑）相比較m可以有幾個數(shù)量級的增長（通過調(diào)整與R的大小，此外為了避免金屬原子的布拉格衍射對結(jié)構(gòu)整體造成過大影響，金屬線半徑R必須足夠細）因此上述結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)微波波段的負介電常數(shù)。（3）SRR結(jié)構(gòu)實現(xiàn)左手材料自然界中絕大多數(shù)物質(zhì)的都大于零，而且磁導率關(guān)于頻率的響應(yīng)具有高頻截止特性，在GHz及更高頻率已不顯示磁性，因此我們想到構(gòu)造一個交流電路微結(jié)構(gòu)來達到負磁導率的效果，這個結(jié)構(gòu)由兩個金屬諧振環(huán)（實際上是兩個柱殼，圖為其橫截面）構(gòu)成，當電磁場垂直橫截面入射時，金屬環(huán)上會產(chǎn)生感應(yīng)電流，因此會存在電感，而兩個金屬環(huán)之間有一定間隔，產(chǎn)生電容，因此整個系統(tǒng)會產(chǎn)生推薦精選LC諧振，電容與電感以及簡諧頻率的大小都與結(jié)構(gòu)的幾何尺寸有關(guān)。經(jīng)計算得，諧振環(huán)結(jié)構(gòu)的共振頻率為(l為結(jié)構(gòu)間距，r為內(nèi)環(huán)半徑，d為內(nèi)外環(huán)間距此時磁導率的頻率響應(yīng)為：，為微結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)面積占比，為損耗參數(shù)，我們假設(shè)，即我們忽略分母上的虛數(shù)項，此時在的范圍內(nèi)，這種結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)也存在與金屬線陣列類似的形式，也即在一定頻率范圍內(nèi)滿足。在微波波段的入射波其波長遠大于微結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸，因此在此程度上可以認為其為均勻介質(zhì)7. 結(jié)論自然界中并沒有磁導率與介電常數(shù)都小于零的物質(zhì)，因此所謂的左手材料必須靠人工構(gòu)造的微結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)，必須說明這些微結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)與磁導率是建立在等效基礎(chǔ)上也即宏觀上的概念（這里的宏