高數(shù)教材ppt課件

1、定義定義 2 11221(V,P,1,2, )nnniiiiikkkkkin 稱為向量12,n 的一個線性組合線性組合，或說是12,n 的線線性表示性表示. 記成記成 12,n ； 是是 P117 向量向量線性相關線性相關概念概念在一般在一般線性空間線性空間中中的推廣的推廣. 定義定義 3 3 12,r 與12,s 等價 12,r 12,s 且12,s 12,r . 記為記為 12,r 等價12,s . 定義定義 4 4 向量12,r (1r )線性相關線性相關 存在不全為零的數(shù)Pik (1,2,in )，使111111kkk 0成立；否則稱12,r 線性無關線性無關. 12,r 線性無關 設

2、設 1122120rrrkkkkkk0. 常用結論的推廣：共讀 P247. 1 3： 1) 線性相關（無關） ()00； 12,r 線性相關 j12,r ， j 111,jjr； 12,r 線性無關 j12,r ，不能由 該向量組中其余向量線性表示. 2) 12,r 線性無關；12,r 12,s rs. 3) 12,r 線性無關；12,r 線性相關 唯一表示 12,r . 4) n 元數(shù)組組成的線性空間中，至多有 n 個線性無關的向量，而任意 n1 個向量線性相關 （例如：幾何空間中至多 3 個向量線性無關，而任意 4 個向量線性相關）. 問題: 一般線性空間中至多有幾個向量線性無關？ 證明證

3、明： 題設 dimVn, 12,n 線性無關，V ，可由基12,n 線性標出. 只要證明121,(V)n 線性相關即可. 據(jù)題設， 12112,nn P247. 2. 性逆否 121,n 線性相關 據(jù)定義 5 可知dimVn ，又具定義 6 得12,n是基. 例例 1 ( )P ( )P ( ) nf xxf xxf xn0，f (x)=a0+a1x+an-1xn-1 f (x)可由 1, x, , xn-1線性標出；設 a0+a1x+an-1xn-1 = 0，由多項式相等的定義可知 01-10naaa 1, x, , xn-1線性無關，故P nx= n, 1, x, , xn-1是P nx的

4、基， 在該基下 f (x)=a0+a1x+an-1xn-1 的坐標是01-1,na aa. 若取P nx的另一組基：/1121,(),()nnxaxa 據(jù)泰勒展開式：(1)/1( )( )( )( )()()(1)!nnfaf xf afa xaxan 即：f (x)在基/12,n下的坐標是 (1)/( )( ),( ),(1)!nfaf afan ). 例例2 2 Pn中，向量12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n線性無關； n12( ,)Pna aa，顯然1 122nnaaa 1 定理 12,n 是 Pn的基，dimPnn, 12( ,)na aa是在基12,n 下的坐標.

5、設/12n(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) 顯然/12n, 是 Pn中 n 個線性無關的向量；n12( ,)Pna aa，有 /1 1212111121211()()( , ,)(0,)(0,0,0, )nnnnnaaaaaaaaaaaaaa /12n,是 Pn的基，在基/12n,下坐標是121-1( ,)nna aaaa. 例例3 3 復數(shù)域 K 是 K 上的線性空間 向量 1K，1 線性無關；而 Kabi向量，K,() 1abiabiabi ，即可由 1 線性表示 向量 1 是線性空間 K 的基， dimK1, abi在基 1 下的坐標是()abi . 復數(shù)域 K 是實數(shù)域

6、R 上的線性空間 向量1,Ki ，設10abi， 則推出0ab，即1,i線性無關；Kcdi，,R, 1c dcdi，即可由1,i線性表示 1,i是 K 的基， dimK2,cdi在基1,i下的坐標是( , )c d. 線性空間的維數(shù)與數(shù)域有關. 分析分析： 題設之加法，數(shù)乘易證是V( , )| ,Ra ba b上的代數(shù)運算，關鍵在于驗證 8 條算律成立.這里僅給出 2),3),4)的驗證，其它算律略. 2) 112233(,),(,),(,)Va ba ba b, 112233(,)(,)(,)a ba ba b 1212123312312123123(,)(,)(),()()aa bba aa baaabba abaa a 123123121323(,)aaa bbba aa aa a； 同理可得 11