數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題——絕對值不等式(新課標(biāo))

1、精品資料歡迎下載典型例題一例 1 解不等式 x 1 2x 3 2a( a0)分析： 解含有絕對值的不等式，通常是利用絕對值概念a，將不等式中的a(a0)絕對符號去掉，轉(zhuǎn)化成與之同解的不含絕對值的不等式（組），再去求解去絕對值符號的關(guān)鍵是找零點(diǎn)（使絕對值等于零的那個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)） ，將數(shù)軸分成若干段，然后從左向右逐段討論解：令 x 10，x1 ，令 2x30， x3，如圖所示21x1時原不等式化為( x1)( 2x 3)2（ ）當(dāng) x 2 與條件矛盾，無解（ 2）當(dāng)1x3x1(2 x3) 2時，原不等式化為23 x0，故 0x32（ 3）當(dāng) x時，原不等式化為23x 1 2x 3 2 x 6 ，

2、故x 6 2綜上，原不等式的解為x 0x6 說明： 要注意找零點(diǎn)去絕對值符號最好畫數(shù)軸，零點(diǎn)分段，然后從左向右逐段討論，這樣做條理分明、不重不漏典型例題二例 2 求使不等式x4x3a 有解的 a 的取值范圍分析： 此題若用討論法，可以求解，但過程較繁；用絕對值的幾何意義去求解十分簡便解法一： 將數(shù)軸分為,3 ,3,4, (4,) 三個區(qū)間當(dāng) x3 時，原不等式變?yōu)?a7 a，即(4 x) (3 x) a, x有解的條件為322a 1；當(dāng) 3 x 4 時，得 (4 x) ( x 3) a ，即 a 1 ；精品資料歡迎下載當(dāng) x 4 時，得 (x 4) (x 3) a ，即 xa 7 ，有解的條件

3、為a74 a 1 22以上三種情況中任一個均可滿足題目要求，故求它們的并集，即仍為a1解法二： 設(shè)數(shù)x ，3， 4 在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A， B，如圖，由絕對值的幾何定義，原不等式PAPBa 的意義是P 到A、 B 的距離之和小于a 因?yàn)锳B1 ，故數(shù)軸上任一點(diǎn)到A、 B 距離之和大于（等于1），即x4x31 ，故當(dāng)a1時，x4x3a 有解典型例題三例 3 已知 xa,0y b, y (0, M ) ，求證 xy ab2M2 a分析： 根據(jù)條件湊 xa, yb 證明： xyab xyyayaaby( x a) a( y b)y x a a y b Ma2M2 a說明： 這是為學(xué)習(xí)極限證明

4、作的準(zhǔn)備，要習(xí)慣用湊的方法典型例題四例 4求證a2b2aba分析： 使用分析法證明 a0 ，只需證明a2b2a 2a b ，兩邊同除 b2，即只需證明a2b22aa，即b22bb( a )21( a )2abbb當(dāng) a1 時， ( a )21 ( a) 21 ( a )2a ；當(dāng) a1時，bbbbbb精品資料歡迎下載a b 0 ，原不等式顯然成立原不等式成立說明： 在絕對值不等式的證明，常用分析法本例也可以一開始就用定理：a2b222babaabaa（ 1）如果（ 2）如果a，則 a b0 ，原不等式顯然成立1bbbb ，利用不等式的傳遞性知 aba b ，原1，則， baaa不等式也成立典型

5、例題五abab例5求證b1 a1 a1 b分析： 本題的證法很多，下面給出一種證法：比較要證明的不等式左右兩邊的形式完全相同，使我們聯(lián)想利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再用單調(diào)性去證明證明： 設(shè) f ( x)x1 x1111x1x1x定義域?yàn)?xxR ，且 x1 ， f (x) 分別在區(qū)間 (, 1)，區(qū)間 ( 1,) 上是增函數(shù)又 0 a bab ， f ( ab )f ( ab )即a ba bababa b 1 a b 1 a b 1 a b 1 a 1 b1原不等式成立說明： 在利用放縮法時常常會產(chǎn)生如下錯誤： a b a b ， 1 a b0 ，a bababab1a b 1 a b 1 a b

6、 1 a b 1 a 1 b錯誤在不能保證1ab1a ，1ab1b 絕對值不等式abab 在運(yùn)用放縮精品資料歡迎下載法證明不等式時有非常重要的作用，其形式轉(zhuǎn)化比較靈活放縮要適度，要根據(jù)題目的要求，及時調(diào)整放縮的形式結(jié)構(gòu)典型例題六例 6關(guān)于實(shí)數(shù) x 的不等式 x( a1) 2( a 1)2與 x23( a1)x 2(3a 1)0 ( a R) 的22解集依次為 A 與 B ，求使 AB 的 a 的取值范圍分析： 分別求出集合A、 B ，然后再分類討論解： 解不等式( a1) 2(a1) 2，x22( a 1) 2x(a 1)2(a 1) 2，222 A x 2a x a 21, a R解不等式

7、x 23(a1) x2(3a1)0 ， x(3a1)( x2)0 當(dāng) a13a12 時），得 Bx2x3a1, a1時（即33當(dāng) a1 時（即 3a12 時），得 Bx 3a1x2 , a133當(dāng) a1AB ，必須2a2,故1a3；時，要滿足a213a31,當(dāng) a1B ，必須2a3a1,a1,時，要滿足 A2a21;1a1,3 a1 所以 a 的取值范圍是aRa1或 1 a3說明：在求滿足條件AB 的 a 時，要注意關(guān)于 a 的不等式組中有沒有等號，否則會導(dǎo)致誤解典型例題七例 6 已知數(shù)列通項(xiàng)公式ansin asin 2asin 3asin na對于正整數(shù)m 、 n ，當(dāng)222232nm n

8、時，求證： am an12n精品資料歡迎下載分析：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的前n項(xiàng)和， 它的任意兩項(xiàng)差還是某個數(shù)列的和，再利用不等式 aaana1a2an，問題便可解決12證明： mn aansin(n1)asin(n2) asin mam2n12n 22msin( n1) asin(n2) asin ma2n 12n22m111112n 1(12m n )2 n 12n22m11211111) 2n (12m n )2n ( 0 12m n說明：111是以1為首項(xiàng)，以1為公比，共有 mn 項(xiàng)的等比數(shù)列的2n 12n 22m2n 12和，誤認(rèn)為共有 mn1項(xiàng)是常見錯誤正余弦函數(shù)的值域，即sin

9、1， cos1，是解本題的關(guān)鍵本題把不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、 n 個變量的絕對值不等式問題連在一起，是一個較為典型的綜合題目如果將本題中的正弦改為余弦，不等式同樣成立典型例題八例 8 已知 f ( x)x2x13， xa1 ，求證： f ( x) f (a)2( a1)分析： 本題中給定函數(shù)f (x) 和條件 xa1，注意到要證的式子右邊不含x ，因此對條件 xa 1 的使用可有幾種選擇：(1) 直接用； (2) 打開絕對值用 a1 xa1 ，替出 x ； (3)用絕對值的性質(zhì) xaxa1x a1 進(jìn)行替換證明： f ( x)x2x13 ，f (a)a2a 13 ， x a 1 ， x a x

10、 a1 x a 1， f ( x)f (a)x2a 2ax( xa)( xa)(xa)精品資料歡迎下載( x a)( xa1)xaxa1xa1x a 1 a 1 a 1 2( a 1) ，即 f ( x)f (a)2( a 1) 說明： 這是絕對值和函數(shù)的綜合題，這類題通常要涉及絕對值及絕對值不等式的性質(zhì)等綜合知識的運(yùn)用分析中對條件xa1使用時出現(xiàn)的三種可能是經(jīng)常碰到的，要結(jié)合求證，靈活選用典型例題九x0例9不等式組 3x2x 的解集是（）3x2xA x0x2Bx0x2.5C x 0 x6D x 0 x 3分析：本題是考查含有絕對值不等式的解法，由 3x2x ，知 3x0 ，3x 3 ，3x2

11、x3x又 x0， 0x3 ，解原不等式組實(shí)為解不等式3x2x （0x 3）3x2x解法一： 不等式兩邊平方得： ( 3x) 2 (2x)2(3x) 2 ( 2x) 2 ( x2x6) 2(x 2x6)2 ，即 ( x2x6x2x6)( x2x6x2x6)0 ， x(6x2 ) 0 ，又 0 x 3 x 26 0 0 x6選C0x3解法二： x0 ，可分成兩種情況討論：(1)當(dāng) 0x2 時，不等式組化為3x2x （ 0x2）3x2x解得 0x2 (2)當(dāng) x2時，不等式組可化為3xx2 （ x2 ），3x2x精品資料歡迎下載解得 2x6 綜合 (1) 、(2)得，原不等式組的解為0x6 ，選 C

12、說明： 本題是在 x0 的條件下，解一個含絕對值的分式不等式，如何去絕對值是本題的關(guān)鍵所在，必須注意，只有在保證兩邊均為非負(fù)數(shù)時，才能將不等式兩邊同時平方另一種方法則是分區(qū)間討論，從而去掉絕對值符號當(dāng)然本題還可用特殊值排除法求解典型例題十例 10 設(shè)二次函數(shù)f (x)ax2bx c ( a 0 ，且 b0 )，已知 ba ， f (0)1 ， f ( 1)1，f (1) 1 ，當(dāng) x1 時，證明f ( x)54分析：從 a0 知，二次函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線；從 x1 且 f ( 1)1 ， f (1)1知，要求證的是f ( x)5 ，所以拋物線的頂點(diǎn)一定在x 軸下方，取絕對值后，圖像翻到x 軸4上方因此拋物線的頂點(diǎn)的取值非常重要，也是解這道題的關(guān)鍵所在證明： 2b(abc)(abc)abcabcf (1)f ( 1)112 ， b 1 又 ba ， b1 ab112a2又 cf (0)1， f (b4ac b2b2)4ac，2a4a f (bcb2cb 2)4a4a2ac1b b11 1 15 4a44而 f (x)