第七章 梁的位移-轉(zhuǎn)角、撓度

1、第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形1第七章第七章 梁的位移梁的位移- -轉(zhuǎn)角、撓度轉(zhuǎn)角、撓度7.1 工程中梁的變形工程中梁的變形 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓度撓度7.2 梁撓曲線的近似微分方程梁撓曲線的近似微分方程7.3 利用積分法求梁的位移利用積分法求梁的位移7.4 利用疊加法求梁的位移利用疊加法求梁的位移7.5 梁的剛度條件與校核梁的剛度條件與校核7.6 簡單超靜定梁的計算簡單超靜定梁的計算7.7 提高抗彎剛度的措施提高抗彎剛度的措施 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形2第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形3位移的度量y撓度轉(zhuǎn)角撓曲線撓曲線 梁變形后各截梁變形后各截面形心的連線面形心的連線Cl

2、FABCCABBxyy撓度向下為正，向上為負撓度向下為正，向上為負. .轉(zhuǎn)角繞截面中性軸順時針轉(zhuǎn)為正，轉(zhuǎn)角繞截面中性軸順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負。逆時針轉(zhuǎn)為負。7-2 7-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程1.1.基本概念基本概念第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形4變形過大第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形52.2.撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時，得到：推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響zEIxMx)()(1 7-2 7-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲

3、變變形形6ZEIxM)(13222)(11dxdydxyd ZEIxMdxdydxyd)()(132227-2 7-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形7xoyMM022dxydZEIxMdxyd)(22xoyMM022dxydZEIxMdxyd)(22梁撓曲線近似微分方程第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形81)(CdxEIxMdxdyZ21)(CxCdxdxEIxMyZZEIxMdxyd)(22CCABBxy在小變形情況下，任一截面的轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該截面處的切線斜率。dxdy tan第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形9通過積分求彎曲位移

4、的特征：u適用于細長梁在線彈性范圍內(nèi)、小變形情況下的對稱彎曲。u積分應(yīng)遍及全梁。在梁的彎矩方程或彎曲剛度不連續(xù)處，其撓曲線的近似 微分方程應(yīng)分段列出，并相應(yīng)地分段積分。u積分常數(shù)由位移邊界條件確定。第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形10AAAAAAAAAAAAAAAAAA0 Ay0 Ay0 A 位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件ARALyy ARAL 積分常數(shù)積分常數(shù)C C1 1、C C2 2由邊界和連續(xù)條件確定由邊界和連續(xù)條件確定第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形11Ay 例7-1 求圖所示懸臂梁A端的撓度與轉(zhuǎn)角。xyxAlABFFxxM1)(CdxEIxMdxdyZ1

5、CFxdxdxdyEIz2122CxCdxFxyEIz2136CxCFxyEIz122CFxEIz 邊界條件Lx 0BzEIFLC221Lx 0ByzEIFLC332zzEIFLEIFx2222zzzEIFLxEIFLEIFxy3263230 xzAEIFL22zAEIFLy33第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形12例7-2求圖所示懸臂梁B端的撓度與轉(zhuǎn)角。lABxyx 221xLqxM 221 xLqxMyEIz1361CxLqEIyEIzz 214241CxCxLqyEIz邊界條件0 x0zEIqLC6310 x0yzEIqLC2432336LxLEIqz434424LxLxLEIqyz

6、Lx zBEIqL63zBEIqLy84第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形13例7-3 求圖示簡支梁在集中荷載F的作用下（F力在右半跨）的最大撓度。xxyxlFBAbaCLFbLFa xLFbxM1ax 0 axFxLFbxM2LxaAC段 xLFbxMyEIz11 1212CxLFbEIz 11316DxCxLFbyEIzCB段 axFxLFbxMyEIz22 2222212CaxFxLFbEIz 22332616DxCaxFxLFbyEIz0 x 00 yLx 0Ly01Dax ayay21 aa21222132122CaaFaLFbCaLFb21CC 22331136166DaCaa

7、FaLFbDaCaLFb21DD 0616233LCaLFLLFbLEIZ22216bLLFbCCLbLFbxLFbEIz622221xLbLFbxLFbyEIz662231LbLFbaxFxLFbEIz621222222xLbLFbaxFxLFbyEIz661622332第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形14求圖示簡支梁在集中荷載F的作用下（F力在右半跨）的最大撓度。xxyxlFBAbaCLFbLFaLbLFbxLFbEIz622221xLbLFbxLFbyEIz662231LbLFbaxFxLFbEIz621222222xLbLFbaxFxLFbyEIz661622332最大轉(zhuǎn)角0 y

8、 0 xM0 xLx LEIbLFbzA622LEIbLFabz6LbLFbaLFLLFbEIBz62122222 LEIaLFabzB6 力靠近哪個支座，哪邊的轉(zhuǎn)角最大。最大撓度0y令x=aLbLFbaLFbEICz62222LbaFabC3轉(zhuǎn)角為零的點在AC段0622220LbLFbxLFb3220bLxLb21Lx2100bLx330L577. 0一般認為梁的最大撓度就發(fā)生在跨中第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形15第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形16討討 論論積分法求變形有什么優(yōu)缺點？積分法求變形有什么優(yōu)缺點？第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形17)(22xMEIydxy

9、dEI 設(shè)梁上有設(shè)梁上有n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為y，則有：，則有： )(xMEIyii 若梁上只有第若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩個載荷單獨作用，截面上彎矩為為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為 ，則有：，則有：i iy)(xMi由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMyEIyEIniinii7-47-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形18故故 )( 1niiyy由于梁的邊界條件不變，因此由于

10、梁的邊界條件不變，因此,1nii niiyy1重要結(jié)論：重要結(jié)論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是這就是計算彎曲變形的疊加原理計算彎曲變形的疊加原理。第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形19疊加法計算位移的條件：疊加法計算位移的條件：1、梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是微小的；、梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是微小的；2、材料在線彈性范圍內(nèi)工作，梁的位移與荷載呈線、材料在線彈性范圍內(nèi)工作，梁的位移與荷載呈線性關(guān)系；性關(guān)系；第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形2

11、02lFBAqC2lzEI 試用疊加原理求圖示彎曲剛度為試用疊加原理求圖示彎曲剛度為EIz的簡支梁的跨的簡支梁的跨中截面撓度中截面撓度c和梁端截面的轉(zhuǎn)角和梁端截面的轉(zhuǎn)角A，B.2lBAqC2lzEI2lFBAC2lzEIFcqccyyyzqcEIqLy38454zFcEIFLy483zzcEIFLEIqLy48384534FAqAAzqAEIqL243zFAEIFL162zzAEIFLEIqL162423B例例 7-4 第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形21 30Lq60LqlBAC0qZEILq384540ZCEILq38452140ZEILq768540例例7-5第七章第七章 梁的彎曲

12、梁的彎曲變變形形22 已知：已知：懸臂梁受力如圖懸臂梁受力如圖示，示，q q、l、EIEI均為已知。均為已知。求求C C截面的撓度截面的撓度y yC C和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C C 1 1）首先，將梁上的載荷）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形變成有表可查的情形 為了利用梁全長承受均為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效了不改變原來載荷作用的效果，在果，在AB AB 段還需再加上集段還需再加上集度相同、方向相反的均布載度相同、方向相反的均布載荷。荷。 7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的

13、變形例例7-6aL2CABaL2qCABqaL2CABaL2qq第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形23,841EIqlyC,248128234222lEIqlEIqllyyBBCEIqlC631EIqlC4832EIqlyyiCiC384414213 3）將結(jié)果疊加）將結(jié)果疊加 EIqliCiC4873212 2）再將處理后的梁分解為簡單）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自載荷作用的情形，計算各自C C截截面的撓度和轉(zhuǎn)角。面的撓度和轉(zhuǎn)角。 7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形aL2CABaL2qqCABq第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形24討討 論論疊加

14、法求變形有什么優(yōu)缺點？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？7-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形257-5 7-5 梁的剛度條件梁的剛度條件1.1.剛度條件剛度條件建筑鋼梁的許可撓度建筑鋼梁的許可撓度：1000250ll混凝土梁的許可撓度：混凝土梁的許可撓度：300l7-5lylymax,maxmax yy第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形26aL2BACaL2q1.1.按強度選擇按強度選擇 maxMW 232qa36 .140 cm34141,1130cmWcmIzzaL2BACaL2qqBACq321maxBBByyyyZBEIaqy8241Z

15、EIqa42CByy2ZEIqa84ayCB 3aEIqaZ63ZEIqa64ZEIqa24414ZEIqaLy48413max5001LyEqaIZ2425041343050cm34309,3400cmWcmIzz例例7-7第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形27ABql0BwqABFRBR()()BBB qBFwwwR()()0BB qBFww7-67-6 靜不定梁的解法靜不定梁的解法第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形28 ()B qwR()BBFwqAB 4()8B qqlwEI R3R()3BBBFFlwEIBAFRBqABFRB第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形2943R0

16、83BFlqlEIEIR38BFqlqABFRBFRAMAR58BFql218AMql()B qwR()BBFwqABBAFRB第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形300A ABqlABqlMA第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形31ZmaxmaxWM1. 1. 增大增大 WZ 合理設(shè)計截面合理設(shè)計截面合理放置截面合理放置截面2. 2. 降低降低 Mmax 合理安排支座合理安排支座合理布置載荷合理布置載荷7-7 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形326-7ZEIxMdxyd)(2221)(CxCdxdxEIxMyZ7-6 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形33第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形34 縮小跨度，采用超靜定結(jié)構(gòu)縮小跨度，采用超靜定結(jié)構(gòu)第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形35第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形36合理布置載荷合理布置載荷F第七章第七章 梁的彎曲梁的彎曲變變形形372lF2l+Fl41llFq 2125. 0ql合理布置