軸對稱綜合提高

1、一、知識脈絡(luò)圖二、知識點撥1. 非等腰三角形中邊角的不等關(guān)系：在一個三角形中，如果兩邊不相等，那么它們所對的角也不相等，大邊對大角；如果兩角不相等，那么它們所對的邊也不相等，大角對大邊可利用圖和圖證明這兩個事實2. 平面直角坐標系中，關(guān)于坐標軸夾角平分線對稱的點的坐標特征：如圖，如果點A的坐標是（a，b），那么點A關(guān)于一、三象限角平分線對稱的點B的坐標是（b，a），關(guān)于二、四象限角平分線對稱的點C的坐標是（b，a）點A在其他象限時這一規(guī)律仍然成立，只要兩點關(guān)于一、三象限角平分線對稱，其橫、縱坐標互換位置；關(guān)于二、四象限角平分線對稱，其橫、縱坐標變號后互換位置能力提升類例1 已知等腰ABC中，A

2、BAC，BAC30°，AD為BC邊上的高，P點在AC上，E點在AD上，若PEEC的最小值為4，則ABC的面積為（ ）A. 8 B. 16 C. 32 D. 64一點通：設(shè)點P關(guān)于AD的對稱點為點P，則點P一定在AB上，且CPAB時PEEC的值最小，即PEEC的值最小所以在RtACP中BAC30°，AC2CP8，所以AB8，CP4所以SABCAB·CP×8×416答案：B點評：線段最短問題一般與軸對稱有關(guān)，解答本題的關(guān)鍵是通過作某線段端點的對稱點，將兩條線段之和的最小問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題本題有兩種作法：一、作點P關(guān)于AD的對稱點P；二、作

3、點C關(guān)于直線AD的對稱點，由等腰三角形的對稱性可知，這個點就是點B，連結(jié)BE即可例2 已知點A（2，4）、B（2，4）、C（1，2）、D（1，2）、E（3，1）、F（3，1）是平面直角坐標系內(nèi)的6個點，選擇其中三個點連成一個三角形，剩下三個點連成另一個三角形，若這兩個三角形關(guān)于y軸對稱，就稱為一組對稱三角形，那么，坐標系中能找出_組對稱三角形一點通：本題考查平面直角坐標系中點的軸對稱問題，很明顯ACE和BDF關(guān)于y軸對稱本題的難點在于確定是否還有其他的對稱三角形，因為這6個點可以組成很多三角形，還應(yīng)注意，這樣的對稱三角形是把6個點分成兩組，兩組中不能有重復(fù)的點，如ABC和BAD雖然關(guān)于y軸對稱

4、，但不符合題意答案：4，如圖所示：點評：根據(jù)本題要求，解答時有一個規(guī)律：首先在y軸左側(cè)任選兩點，然后選第三點組成三角形，第三點只能是y軸左側(cè)剩下的那一點或它的對稱點，即ACE與BDF，ACF與BDE等，共6組，其中ACE與BDF重復(fù)出現(xiàn)3次，所以一共有4組對稱三角形如果不按規(guī)律，則很容易造成漏解綜合運用類例3 如圖所示，把正方形紙片ABCD對折后打開，折痕為MN，再把頂點D折到MN上的一點P上，折痕為CE，把頂點A折到MN上的同一點，折痕為BF，請回答下列問題：（1）線段PC、PB與正方形的邊長有什么關(guān)系？（2）CPB的度數(shù)是多少？（3）還能知道哪些角的度數(shù)？請指出來一點通：此題利用軸對稱圖形

5、的性質(zhì)，首先得到折痕（對稱軸）MN，又得到折痕EC、BF，它們所在的直線都是對稱軸，即CPE與CDE關(guān)于CE所在的直線對稱，ABF與PBF關(guān)于BF所在的直線對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得到對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，從而得出PBC是等邊三角形這個事實答案：（1）由折疊的性質(zhì)得：線段PC、PB均等于正方形的邊長，PCPB；（2）由（1）可知，PCPBBC，所以PBC是等邊三角形，所以CPB60°；（3）由（1）、（2）可知：123475°，5630°，7891015°，MFPMEP30°，EPF120°，NPFNPE120°，等等點評

6、：此題提供了一種通過折疊裁剪等邊三角形的方法，要記住喲！例4 已知：如圖所示，ABC是等邊三角形，P是三角形外的一點，且ABPACP180°求證：PBPCPA一點通：欲證PBPCPA，可考慮將BP、PC轉(zhuǎn)移到同一條直線上，將問題轉(zhuǎn)化為證明線段相等，由條件ABPACP180°，此題較適合補短，即延長PC到D，使CDBP，連結(jié)AD，證明APPD即可也可以延長BP到點D，使PDPC，連結(jié)CD答案：延長PC到點D，使CDBP，連結(jié)ADABPACP180°，ACPACD180°，ABPACD在ABP和ACD中，ABPACD（SAS），APAD，BAPCADBAPP

7、AC60°，CADPAC60°，即PAD60°，PAD是等邊三角形PCCDPDPAPBPCPA點評：求多條線段間的長度關(guān)系時有兩條主要的思路，一是找出與所求線段相等的線段，等量代換；二是利用截長補短法思維拓展類例5 如圖所示，在ABC中，ABAC，F(xiàn)是AC上一點，在BA延長線上取一點E使AEAF，連結(jié)EF并延長，交BC于D，求證：EFBC一點通：證明兩線垂直，可證明其夾角為90°，已知條件中沒有與90°有關(guān)的條件，本題解法較多，可分為兩類：一是不添加輔助線，利用平角或三角形內(nèi)角和通過計算求BDE的度數(shù)二是構(gòu)造出直角作等腰三角形的對稱軸，如圖和圖

8、，可構(gòu)造直角；如圖、，其原理一樣，都是先作垂直，再證明有關(guān)線段的位置關(guān)系；如圖，把DE構(gòu)造成一個等腰三角形的對稱軸答案：證法1：ABAC，BC，EAF2BAEAF，EAFE，BAC2EEAFBAC180°，2E2B180°，EB90°，BDE90°，即EFBC證法2：過點A作AGBC于G，如圖所示AEAF，AFEE，BACAFEE2AFE在等腰三角形ABC中，AGBC，BAC2GAC，GACAFE，AGED，AGBC，EFBC證法3：過點A作AHEF于H，如圖所示AEAF，AHEF，EAHEAFABAC，BC，又EAFBC，BEAFEAHB，AHBC，A

9、HEF，EFBC證法4：過點C作MCBC于C，交BA的延長線于M，如圖所示MB90°，ACBACM90°，又BACB，MACMAEFAFE，且AEFAFEMACM180°MAC，MAEFEFMC，EFBC證法5：過E作ENEF于E，交CA的延長線于N，如圖所示ENEF，NEAAEF90°，NEFN90°，AEFAFE，NNEA又BC，且BCNNEA180°BAC，NC，NEBC，NEEF，EFBC證法6：過點E作EPAC，交BC的延長線于點P，如圖所示EPAC，PACB，BACB，BPPEFAFE，AFEAEF，PEFAEF，EDBP

10、，即EFBC點評：本題用多種方法證明了EFBC，這些方法可分成兩類：一是由角之間的關(guān)系利用三角形內(nèi)角和來證；二是利用等腰三角形的軸對稱性構(gòu)造具有垂直關(guān)系的線段例6 如圖所示，ABC的邊BC在直線l上，ACBC，且ACBC；EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EFFP，EFFP（1）在圖1中，請你通過觀察測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連結(jié)AP、BQ，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；（3）將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連結(jié)

11、AP、BQ，你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由一點通：第（1）問易解，第（2）、（3）問先猜測結(jié)論再證明，因為圖2和圖3是平移變換過程中兩個不同的狀態(tài)，所以其結(jié)論和證明方法應(yīng)該類似從圖2和圖3來看，BQ和AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系比較容易猜測，是相等且垂直的關(guān)系關(guān)鍵是如何證明，BQ和AP相距較遠，可考慮利用三角形全等來證；線段BQ和AP不相交，可延長BQ與AP相交，利用角之間的關(guān)系證明其夾角是90°答案：（1）ABAP，ABAP（2）BQAP；BQAP證明：由已知得EFFP，EFFP，EPF45°，又ACBC，

12、CQPCPQ45°，CQCP，又BCAC，BCQACP90°，RtBCQRtACP，BQAP；延長BQ交AP于點M，RtBCQRtACP，CBQCAP，又CBQCQB90°，CQBAQM，CAPAQM90°，BQAP；（3）成立，證明：EPF45°，CPQ45°，又ACBC，CQPCPQ45°，CQCP，又BCAC，BCQACP90°，RtBCQRtACP，BQAP；延長QB交AP于點N，則PBNCBQ，BQCCBQ90°，APCPBN90°，BQAP點評：這是一道與平移變換有關(guān)的圖形探索問題，

13、解答這類問題時，應(yīng)重點分析變換過程中變化的量和不變的量在本題中RtBCQRtACP是一種始終不變的關(guān)系，它也正是BQAP、BQAP的原因一、等腰三角形中常用到的輔助線1. 通常作底邊的高、中線或頂角平分線；2. 底邊有中點時，常常連底邊上的中線；3. 截長補短法在證明多條線段的和差關(guān)系時常用此法，特別是在已知條件中有角平分線時，一般是在長邊上截取短邊，構(gòu)造全等三角形以上添加輔助線的最終目的是：通過等腰三角形、角平分線、線段的垂直平分線、全等三角形把分散的邊角關(guān)系進行集中二、幾何證明題的分析方法從已知條件入手，運用定義、定理、公理逐步推出結(jié)論的方法叫做綜合法從要證明的結(jié)論出發(fā)，根據(jù)定義、性質(zhì)、定

14、理、公理，尋找能使結(jié)論成立的條件，一直追溯到能使結(jié)論成立的條件與已知條件吻合的方法叫做分析法在解幾何問題時，兩種方法常結(jié)合使用，使問題順利解決在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半（1）該性質(zhì)揭示了30°角直角三角形的邊的數(shù)量關(guān)系的特殊性（2）此性質(zhì)的前提是“在直角三角形中”在解題時，如果只知道一個三角形有一個角為30°，就說這個角的對邊等于某鄰邊的一半，是錯誤的（3）該性質(zhì)主要應(yīng)用于計算和證明線段的倍分關(guān)系（4）該性質(zhì)的逆命題也是真命題，即：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30°（

15、答題時間：60分鐘）一、選擇題1. 一個人站在平面鏡前，哪一面鏡子里是他的像？（ ）2. 如圖所示，在RtABC中，B90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E已知BAE10°，則C的度數(shù)為（ ）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°3. 等腰三角形中，有一個角是50°，則它的一條腰上的高與底邊的夾角是（ ）A. 25° B. 40°C. 25°或40° D. 以上都不對*4. 在平面直角坐標系內(nèi)，有等腰三角形AOB，O是坐標原點，點A的坐標是（a，b）

16、，底邊AB的中線在第一、三象限的角平分線上，則點B的坐標為（ ）A. （b，a） B. （a，b） C. （a，b） D. （a，b）5. 如圖，B是線段AC的中點，過點C的直線l與AC成60°的角，在直線l上取一點P，使得APB30°，則滿足條件的點P的個數(shù)是（ ）A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 不存在6. 如圖所示，ABP與CDP是兩個全等的等邊三角形，且PAPD有下列四個結(jié)論：PBC15°；ADBC；直線PC與AB垂直；四邊形ABCD是軸對稱圖形其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個二、填空題7. 小明把一張長方形

17、的紙對折2次，描上一個四邊形，再剪去這個圖形（鏤空），展開長方形紙，得到如下圖案，設(shè)折痕為l1、l2、l3，觀察圖形并填空：四邊形與四邊形關(guān)于_成軸對稱；折痕l2既是_與_的對稱軸；又是_與_的對稱軸；從整體看也是_與_的對稱軸8. 在平面直角坐標系中，點A、B、C、D的坐標分別為（1，3）、（2，4）、（1，3）、（2，4），則線段AB與CD的位置關(guān)系是_9. 如圖所示，直線AB、CD相交于點O若OMONMN，那么APQCQP_10. 如圖所示，在ABC中，BC，F(xiàn)DBC于D，DEAB于E，AFD158°，則EDF等于_三、綜合運用11. 如圖所示，AD是ABC中BAC的平分線，P

18、是AD上的任一點，且ABAC，求證：ABACPBPC12. 一艘輪船由西向東航行，在A處測得小島P的方位是北偏東75°，又航行7海里后，在B處測得小島P的方位是北偏東60°，若小島周圍3.8海里內(nèi)有暗礁，問該船一直向東航行有無觸礁的危險13. 已知：如圖，ABC中，BC邊中垂線ED交BC于E，交BA延長線于D，過C作CFBD于F，交DE于G，DFBC，試證明：FCBB14. 如圖所示，ABC中，ABAC，A100°，BD平分ABC，求證：BCBDAD四、拓展探索15. （1）已知ABC中，A90°，B67.5°，請畫一條直線把這個三角形分割成兩

19、個等腰三角形（請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來，只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數(shù)）（2）已知ABC中，C是其最小的內(nèi)角，過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請?zhí)角驛BC與C之間的關(guān)系一、選擇題1. B 解析：注意觀察褲子上的圖案，在抱球的那一側(cè)2. B 解析：由題意可知，BAE2C90°，所以C40°3. C 解析：如果這個角是頂角，那么底角是（180°50°）65°，此時一腰上的高與底邊的夾角是90°65°25°；如果這個角是底角，那么一腰上的高與底邊的

20、夾角是90°50°40°4. A 解析：利用本講專家點撥中的規(guī)律方法可求5. B 解析：如圖所示，過點B作BP1AB交直線l于點P1，則AP1B30°作AP2l于點P2，則AP2B30°P1、P2是滿足條件的點6. D 解析：根據(jù)題意，PBC15°易證；可通過同旁內(nèi)角互補證得ADBC；延長CP交AB于點Q，可通過三角形內(nèi)角和證明CQB90°，即PCAB；因為ADBC，所以過點P與AD垂直的直線必與BC垂直，這條直線也同時平分AD和BC，所以有四邊形ABCD是軸對稱圖形二、填空題7. l1； ； ； 和 和8. 關(guān)于y軸對稱9

21、. 240° 解析：因為OMONMN，所以O(shè)MN是等邊三角形，所以MON60°，所以AOM120°APQ、CQP、AOM是OPQ的三個外角，其和是360°，所以APQCQP360°120°240°10. 68° 解析：在RtBDE和RtCFD中，BC，所以BDECFD180°AFD22°，所以EDF90°22°68°三、綜合運用11. 證明：在AB上取一點E，使AEAC，連結(jié)PE，易得AEPACP，所以PEPC在BEP中，BEPEPB，即（ABAC）PCPB，所以A

22、BACPBPC12. 解：依題意畫圖，則AB7海里，過點P作PCAB于C，則由題意可知PBC30°，APBPBCPAB30°15°15°，PABAPB，PBAB7（海里）PCPB×73.5（海里）PC3.8海里，該船一直向東航行有觸礁的危險13. 證明：如圖，連結(jié)CD，DE垂直平分BC，CEBC，DFBC，CEDF由CFBD，DEBC得DFGCEG90°，又FGDEGC，F(xiàn)GDEGC（AAS）EGFG，DGCG，DGEGCGFG，即DECF在BCF和BDE中，BFCBED（AAS），BDBCDFBCBD，CF是BD的中垂線，BCFBCD又DE是BC的中垂線，BBCD，BCFB或連結(jié)BG，如圖，證得FGDEGC，有FGEG，BG是DBC的平分線，GBCDBC又DE是BC的中垂線，GBCFCB，即FCBDBC14. 證明：本題可采用“截長”或“補短”兩種方法如圖，在BC上截取BFBA，BEBD在ABC中，A100°，ABAC，ABCC40°BD平分ABC，在ABD和FBD中，ABDFBD（SAS）ADDF，DBFABC20°，BFDA100°在BDE中，BDBE，DBC20°，BED（180°2