第七章第三節(jié)

1、1第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系21平面的基本性質平面的基本性質公理公理1：如果一條直線上的：如果一條直線上的_在一個平面內，那么這在一個平面內，那么這條直線在這個平面內條直線在這個平面內公理公理2：過：過_的三點，有且只有一個平面的三點，有且只有一個平面公理公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們們_過該點的公共直線過該點的公共直線 兩點兩點不共線不共線有且只有一條有且只有一條32空間點、直線、平面之間的位置關系空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與直線直線與平面直線與平面平面與平面平

2、面與平面平行平行關系關系圖形圖形語言語言符號符號語言語言aba相交相交關系關系圖形圖形語言語言符號符號語言語言abAaAl獨有獨有關系關系圖形圖形語言語言符號符號語言語言a，b是異面是異面直線直線a4銳角或直角銳角或直角 平行平行 相等或互補相等或互補 51若直線若直線a 平面平面，直線，直線b 平面平面，則直線，則直線a，b是異是異面直線，這種說法正確嗎？面直線，這種說法正確嗎？【提示】【提示】此說法不正確，直線此說法不正確，直線a，b都不在平面都不在平面內，內，但可能都在平面但可能都在平面內內2若一條直線若一條直線l不在平面不在平面內，則直線內，則直線l與平面與平面是否一定是否一定平行？平

3、行？【提示】【提示】不一定直線不一定直線l與平面與平面可能平行，也可能相可能平行，也可能相交交 61(人教人教A版教材習題改編版教材習題改編)下列命題正確的個數(shù)為下列命題正確的個數(shù)為()梯形可以確定一個平面；梯形可以確定一個平面；若兩條直線和第三條直線若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；所成的角相等，則這兩條直線平行；兩兩相交的三條直線兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；最多可以確定三個平面；如果兩個平面有三個公共點，則如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合這兩個平面重合A0B1C2D3【解析】【解析】中兩直線可以平行、相交或異面，中兩直線可以平行、相交或異面，中若中

4、若三個點在同一條直線上，則兩個平面相交，三個點在同一條直線上，則兩個平面相交，正確正確【答案】【答案】C 72已知已知a、b是異面直線，直線是異面直線，直線c直線直線a，那么，那么c與與b()A一定是異面直線一定是異面直線 B一定是相交直線一定是相交直線C不可能是平行直線不可能是平行直線 D不可能是相交直線不可能是相交直線【解析】【解析】若若cb，ca，ab，與，與a，b異面矛異面矛盾盾c，b不可能是平行直線不可能是平行直線【答案】【答案】C83平行六面體平行六面體ABCDA1B1C1D1中，既與中，既與AB共面也與共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為共面的棱的條數(shù)為()A3 B4 C5 D6【解析

5、】【解析】與與AB平行，平行，CC1相交的直線是相交的直線是CD、C1D1；與與CC1平行、平行、AB相交的直線是相交的直線是BB1，AA1；與；與AB、CC1都相都相交的直線是交的直線是BC，故選，故選C.【答案】【答案】C 94(2013寧波模擬寧波模擬)若直線若直線l不平行于平面不平行于平面，且，且l ，則，則()A內的所有直線與內的所有直線與l異面異面B內不存在與內不存在與l平行的直線平行的直線C內存在唯一的直線與內存在唯一的直線與l平行平行D內的直線與內的直線與l都相交都相交【解析】【解析】由題意知，直線由題意知，直線l與平面與平面相交，則直線相交，則直線l與平與平面面內的直線只有相

6、交和異面兩種位置關系，因而只有選項內的直線只有相交和異面兩種位置關系，因而只有選項B是正確的是正確的【答案】【答案】B 105(2012四川高考四川高考)如圖如圖731，在，在正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M、N分分別是棱別是棱CD、CC1的中點，則異面直線的中點，則異面直線A1M與與DN所成的角的大小是所成的角的大小是_【解析】【解析】如圖，取如圖，取CN的中點的中點K，連接，連接MK，則，則MK為為CDN的中位線，所以的中位線，所以MKDN.11【答案】【答案】90121314151解答本題的關鍵是平行四邊形、中位線性質的應解答本題的關鍵是平行四邊形、中位線性質的應用用2證明

7、共面問題的依據(jù)是公理證明共面問題的依據(jù)是公理2及其推論，包括線共及其推論，包括線共面，點共面兩種情況，常用方法有：面，點共面兩種情況，常用方法有：(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面(2)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內此平面內(3)輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面，再證，再證明其余元素確定平面明其余元素確定平面，最后證明平面，最后證明平面、重合重合161718 (1)如圖如圖734，在正方體，在正方體ABCDA1B1C1D1中，

8、中，M，N分別是分別是BC1，CD1的的中點，則下列判斷錯誤的是中點，則下列判斷錯誤的是()AMN與與CC1垂直垂直BMN與與AC垂直垂直CMN與與BD平行平行DMN與與A1B1平行平行 19(2)在圖中，在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱的頂點或所分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號填上所有正確答案的序號) 20【思路點撥】【思路點撥】(1)連接連接B1C，則點，則點M是是B1C的中點，根的中點，根據(jù)三角形的中位線，證明據(jù)三角形的中位線，證明MNB1D1.(2)先判斷直線先判斷直線GH、

9、MN是否共面，若不共面再利用異是否共面，若不共面再利用異面直線的判定定理判定面直線的判定定理判定【嘗試解答】【嘗試解答】(1)連接連接B1C，B1D1，則點，則點M是是B1C的中的中點，點，MN是是B1CD1的中位線，的中位線，MNB1D1，CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1，MNCC1，MNAC，MNBD.又又A1B1與與B1D1相交，相交，MN與與A1B1不平行，故選不平行，故選D.21(2)圖圖中，直線中，直線GHMN；圖圖中，中，G、H、N三點共面，但三點共面，但M面面GHN，因此直線因此直線GH與與MN異面；異面；圖圖中，連接中，連接MG，GMHN，因此因此GH與與MN共面；

10、共面；圖圖中，中，G、M、N共面，但共面，但H 面面GMN，因此因此GH與與MN異面異面所以圖所以圖、中中GH與與MN異面異面【答案】【答案】(1)D(2) 221判定空間兩條直線是異面直線的方法判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點判定定理：平面外一點A與平面內一點與平面內一點B的連線和平的連線和平面內不經過該點面內不經過該點B的直線是異面直線的直線是異面直線(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面能共面，從而可得兩線異面2對于線線垂直，往往利用線面垂直的定義，由線面對于線線垂直，往往利用線

11、面垂直的定義，由線面垂直得到線線垂直垂直得到線線垂直3畫出圖形進行判斷，可化抽象為直觀畫出圖形進行判斷，可化抽象為直觀23如圖如圖736所示，正方體所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M、N分別為棱分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結論：的中點，有以下四個結論：直線直線AM與與CC1是相交直線；是相交直線；直線直線AM與與BN是平行直線；是平行直線；直線直線BN與與MB1是異面直線；是異面直線；直線直線MN與與AC所成的角為所成的角為60.其中正確的結論為其中正確的結論為_(注：把你認為正確的結論注：把你認為正確的結論序號都填上序號都填上)24【解析】【解析】由圖可知由圖可知A

12、M與與CC1是異面直線，是異面直線，AM與與BN是異面直線，是異面直線，BN與與MB1為異面直線因為為異面直線因為D1CMN，所以，所以直線直線MN與與AC所成的角就是所成的角就是D1C與與AC所成的角，且角為所成的角，且角為60.【答案】【答案】 25【思路點撥】【思路點撥】 (1)直接根據(jù)錐體的體積公式求解直接根據(jù)錐體的體積公式求解(2)取取PB的中點，利用三角形的中位線平移的中點，利用三角形的中位線平移BC得到異面得到異面直線所成的角直線所成的角(或其補角或其補角)262728直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1中，若中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線，則異面直線BA1與與AC1

13、所成的角等于所成的角等于()A30B45C60D90 【答案】【答案】C29異面直線的判定方法：異面直線的判定方法：(1)判定定理：平面外一點判定定理：平面外一點A與平面內一點與平面內一點B的連線和平的連線和平面內不經過該點的直線是異面直線面內不經過該點的直線是異面直線(2)反證法：證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線反證法：證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面，從而可得兩直線異面不可能共面，從而可得兩直線異面 301.公理公理1的作用：的作用：(1)檢驗平面；檢驗平面；(2)判斷直線在平面內；判斷直線在平面內；(3)由直線在平面內判斷直線上的點在平面內；由直線在平面內判斷直線上

14、的點在平面內；(4)由直線的由直線的直刻畫平面的平直刻畫平面的平2公理公理2的作用：公理的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面及其推論給出了確定一個平面或判斷或判斷“直線共面直線共面”的方法的方法3公理公理3的作用：的作用：(1)判定兩平面相交；判定兩平面相交；(2)作兩平面相作兩平面相交的交線；交的交線；(3)證明多點共線證明多點共線31空間點、直線、平面的位置關系是立體幾何的理論基空間點、直線、平面的位置關系是立體幾何的理論基礎，高考常設置選擇題或填空題，考查直線、平面位置關系礎，高考常設置選擇題或填空題，考查直線、平面位置關系的判斷和異面直線所成的角的求法在判斷線、面位置關系的判斷和異

15、面直線所成的角的求法在判斷線、面位置關系時，有時可以借助常見的幾何體做出判斷時，有時可以借助常見的幾何體做出判斷. 32思想方法之十三借助正方體判定線面位置關系思想方法之十三借助正方體判定線面位置關系 (2012四川高考四川高考)下列命題正確的是下列命題正確的是() A若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行直線平行 B若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行則這兩個平面平行 C若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的

16、交線平行兩個平面的交線平行 D若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行行 33 【解析】【解析】如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，A1D與與D1A和平面和平面ABCD所成的角都是所成的角都是45，但，但A1D與與D1A不平不平行，故行，故A錯；在平面錯；在平面ABB1A1內，直線內，直線A1B1上有無數(shù)個點到平面上有無數(shù)個點到平面ABCD的距離相等，但平面的距離相等，但平面ABB1A1與平面與平面ABCD不平行，故不平行，故B錯；平面錯；平面ADD1A1與與平面平面DCC1D1和平面和平面ABCD都垂直，但兩個平面相交，都

17、垂直，但兩個平面相交，故故D錯，從而錯，從而C正確正確 【答案】【答案】C 34易錯提示：易錯提示：(1)盲目和平面內平行線的判定定理類比，從盲目和平面內平行線的判定定理類比，從而誤選而誤選A.(2)不會利用正方體作出判斷，考慮問題不全面，從而誤不會利用正方體作出判斷，考慮問題不全面，從而誤選選B或或D.35防范措施：防范措施：(1)對公理、定理的條件與結論要真正搞清對公理、定理的條件與結論要真正搞清楚，以便做到準確應用，類比得到的結論不一定正確，要想楚，以便做到準確應用，類比得到的結論不一定正確，要想應用，必須證明；應用，必須證明；(2)點、線、面之間的位置關系可借助長方體為模型，以點、線、

18、面之間的位置關系可借助長方體為模型，以長方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系，長方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系，準確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面準確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直平行、面面垂直361(2013鄭州模擬鄭州模擬)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面共面Dl1，l2，l3共點共點l1，l2，l3共面共面37【解析】【解析】如圖長方體如圖長方體ABCDA1B1C1D1中，中，ABAD，CDAD但有但有ABCD，因此，因此A不正確；不正確；又又ABDCA1B1，但三線不共面，因此，但三線不共面，