平面的基本性質(zhì)

1、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)一一. .平面的概念：平面的概念：光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉的光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們熟悉的平面形象，數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽平面形象，數(shù)學(xué)中的平面概念是現(xiàn)實(shí)平面加以抽象的結(jié)果。象的結(jié)果。二二. .平面的特征：平面的特征：平面沒(méi)有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是平面沒(méi)有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無(wú)限延伸的。無(wú)限延伸的。觀(guān)察思考觀(guān)察思考三三. .平面的表示方法：平面的表示方法：ABCD平面可以用小寫(xiě)的希臘字母或大寫(xiě)的英文字平面可以用小寫(xiě)的希臘字母或大寫(xiě)的英文字母表示，也可以用三個(gè)或三個(gè)以上字母表示。母表示，也可以用三個(gè)或三個(gè)以上字母表示。如

2、：平面如：平面，平面，平面，平面，平面ABCD等。等。四四. .平面的畫(huà)法：平面的畫(huà)法：（1）水平放置的平面：）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：）垂直放置的平面：通常把表示平面的平行四邊形的銳角畫(huà)成通常把表示平面的平行四邊形的銳角畫(huà)成450（3）在畫(huà)圖時(shí)，如果圖形的一部分被另一部分遮住，）在畫(huà)圖時(shí)，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫(huà)成虛線(xiàn)，也可以不畫(huà)?？梢园颜谧〔糠之?huà)成虛線(xiàn)，也可以不畫(huà)。五五. .用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系：用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系：A AB Ba a 點(diǎn)點(diǎn)A A在直線(xiàn)在直線(xiàn)a a上：上： 記為：記為：AaAa點(diǎn)點(diǎn)B B不在直線(xiàn)

3、不在直線(xiàn)a a上：上：記為：記為：BaBa點(diǎn)點(diǎn)A A在平面在平面上：上：記為：記為：AA點(diǎn)點(diǎn)B B不在平面不在平面上：上： 記為：記為：B B A AB B(1)(1)點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：(2)(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：(3)(3)直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系： 直線(xiàn)直線(xiàn)a a上的所有點(diǎn)都在平面上的所有點(diǎn)都在平面上，稱(chēng)直線(xiàn)上，稱(chēng)直線(xiàn)a a在平面在平面內(nèi)，或稱(chēng)平面內(nèi)，或稱(chēng)平面通過(guò)直線(xiàn)通過(guò)直線(xiàn)a.a.記為：記為：a a 直線(xiàn)直線(xiàn)a a與平面與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn)A A時(shí)，稱(chēng)直時(shí)，稱(chēng)直線(xiàn)線(xiàn)a a與平面與平面相交。記為：相交。記為：aa

4、A Aa aA Aa a例例1.1.把下列語(yǔ)句用集合符號(hào)表示，并畫(huà)出直觀(guān)圖。把下列語(yǔ)句用集合符號(hào)表示，并畫(huà)出直觀(guān)圖。（1 1）點(diǎn)）點(diǎn)A A在平面在平面內(nèi)，點(diǎn)內(nèi)，點(diǎn)B B不在平面不在平面內(nèi)，點(diǎn)內(nèi)，點(diǎn)A A，B B 都在直線(xiàn)都在直線(xiàn) a a上；上；（2 2）平面）平面與平面與平面相交于直線(xiàn)相交于直線(xiàn) m m，直線(xiàn)，直線(xiàn) a a 在平在平 面面內(nèi)且平行于直線(xiàn)內(nèi)且平行于直線(xiàn) m.m.maA AB Ba六六. .平面性質(zhì)研究平面性質(zhì)研究問(wèn)題問(wèn)題1 泥匠如何檢查墻面是否平整？泥匠如何檢查墻面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？問(wèn)題問(wèn)題2 如圖，兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，是嗎？如圖，

5、兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，是嗎？問(wèn)題問(wèn)題3 照相機(jī)架為什么只有三只腳？自行車(chē)只用照相機(jī)架為什么只有三只腳？自行車(chē)只用一只撐腳？一只撐腳？觀(guān)觀(guān)察察思思考考?公理一公理一：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)那么這條直線(xiàn)上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)ABl應(yīng)用：應(yīng)用：1 1. .判斷點(diǎn)或直線(xiàn)在平面內(nèi)的依據(jù)判斷點(diǎn)或直線(xiàn)在平面內(nèi)的依據(jù); ;2 2. .判斷點(diǎn)或直線(xiàn)共面的依據(jù)判斷點(diǎn)或直線(xiàn)共面的依據(jù)如果直線(xiàn)如果直線(xiàn)l 上所有點(diǎn)都在平面上所有點(diǎn)都在平面內(nèi)就說(shuō)直線(xiàn)內(nèi)就說(shuō)直線(xiàn)l在平在平面面內(nèi)，或者說(shuō)平面內(nèi)，或者說(shuō)平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l,否則，就說(shuō)直否

6、則，就說(shuō)直線(xiàn)線(xiàn)l在平面在平面外外AABB六六. .平面性質(zhì)研究平面性質(zhì)研究問(wèn)題問(wèn)題1 泥匠如何檢查墻面是否平整？泥匠如何檢查墻面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？問(wèn)題問(wèn)題2 如圖，兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，是嗎？如圖，兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，是嗎？問(wèn)題問(wèn)題3 照相機(jī)架為什么只有三只腳？自行車(chē)只用照相機(jī)架為什么只有三只腳？自行車(chē)只用一只撐腳？一只撐腳？觀(guān)觀(guān)察察思思考考?公理二公理二：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條們還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)。經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)。

7、如果兩個(gè)平面有一條公共如果兩個(gè)平面有一條公共直線(xiàn)，則稱(chēng)這兩個(gè)平面相直線(xiàn)，則稱(chēng)這兩個(gè)平面相交，這條公共直線(xiàn)叫做這交，這條公共直線(xiàn)叫做這兩個(gè)平面的兩個(gè)平面的交線(xiàn)交線(xiàn)。AlA應(yīng)用應(yīng)用：判定兩個(gè)平面有交線(xiàn)及交線(xiàn)位置的依據(jù)：判定兩個(gè)平面有交線(xiàn)及交線(xiàn)位置的依據(jù)1 1. .判定兩個(gè)平面相交判定兩個(gè)平面相交: :如果兩個(gè)平面有一個(gè)公如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)共點(diǎn), ,那么它們相交那么它們相交; ;2 2. .判定點(diǎn)在直線(xiàn)上判定點(diǎn)在直線(xiàn)上: :點(diǎn)若是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)若是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)點(diǎn), ,那么這點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上那么這點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上; ;3 3. .兩平面兩個(gè)公共點(diǎn)兩平面兩個(gè)公共點(diǎn)的連線(xiàn)就

8、是它們的交的連線(xiàn)就是它們的交線(xiàn)線(xiàn)ABCDA1B1C1D1O例例2 2在長(zhǎng)方體在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，畫(huà)出平面中，畫(huà)出平面A1C1D與平面與平面B1D1D的交線(xiàn)的交線(xiàn). . DABCE例例3：如圖畫(huà)出平面：如圖畫(huà)出平面 與平面與平面ADE的交線(xiàn)的交線(xiàn) 畫(huà)出畫(huà)出DE與平面與平面 的交點(diǎn)的交點(diǎn)PA變式：如圖，已知變式：如圖，已知ABC三邊所在的三邊所在的直線(xiàn)分別交平面直線(xiàn)分別交平面 于點(diǎn)于點(diǎn)P、Q、R，求，求證：證：P、Q、R三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上。三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上。BCQPR例例4：已知：空間四邊形：已知：空間四邊形ABCD，平面四，平面四 邊形邊形EFGH的頂點(diǎn)分別在空間四邊的頂點(diǎn)分別在空

9、間四邊 形的各邊形的各邊AD,AB,BC,CD上上,若若EF與與 GH不平行，求證：三條直線(xiàn)不平行，求證：三條直線(xiàn) EF,GH,BD共點(diǎn)。共點(diǎn)。方法小結(jié)方法小結(jié)六六. .平面性質(zhì)研究平面性質(zhì)研究問(wèn)題問(wèn)題1 泥匠如何檢查墻面是否平整？泥匠如何檢查墻面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？木匠如何檢查桌面是否平整？問(wèn)題問(wèn)題2 如圖，兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，是嗎？如圖，兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，是嗎？問(wèn)題問(wèn)題3 照相機(jī)架為什么只有三只腳？自行車(chē)只用照相機(jī)架為什么只有三只腳？自行車(chē)只用一只撐腳？一只撐腳？觀(guān)觀(guān)察察思思考考?公理公理3.3.經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)的三點(diǎn)有且只有有且只有一個(gè)

10、平面一個(gè)平面. .ACB觀(guān)察下列問(wèn)題，你能得到什么結(jié)論？觀(guān)察下列問(wèn)題，你能得到什么結(jié)論？BCA應(yīng)用：確定平面的依據(jù)應(yīng)用：確定平面的依據(jù)判定點(diǎn)或線(xiàn)的共面判定點(diǎn)或線(xiàn)的共面; ;推論推論1.1.一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面。一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面。aABC.AaAa直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面 ，使得，數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示:已知：點(diǎn)已知：點(diǎn)Aa 求證：過(guò)點(diǎn)求證：過(guò)點(diǎn)A和直線(xiàn)和直線(xiàn)a有且只有一個(gè)平面有且只有一個(gè)平面.aA 過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)A,B,C有一個(gè)平面有一個(gè)平面 （公理（公理3） B ，C a（公理（公理1） 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A和直線(xiàn)和直線(xiàn)a有一個(gè)平面有一個(gè)平面證明證明:

11、（存在性）（存在性）（唯一性）（唯一性）, 在在a上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn)B、C，又由公理又由公理3,經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C的平面的平面只有一個(gè)只有一個(gè)經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)a和點(diǎn)和點(diǎn)A的平面只有一個(gè)的平面只有一個(gè).a ABC推論2.兩條相交直線(xiàn)唯一確定一個(gè)平面。Cab數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示:.abCab直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面 ，使得，推論推論3.3.兩條平行直線(xiàn)唯一確定一個(gè)平面。兩條平行直線(xiàn)唯一確定一個(gè)平面。ACBab數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示:/.abab直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面 ，使得，思考1：不共面的四點(diǎn)可以確定多少個(gè)平面？思考2：四條相交于同一點(diǎn)的直線(xiàn)a,b,c,d并且任意三條都不在同一

12、平面內(nèi)，有它們中的兩條來(lái)確定平面，可以確定多少個(gè)平面。例例1：如圖，直線(xiàn)：如圖，直線(xiàn)AB、BC、CA兩兩相交，交點(diǎn)兩兩相交，交點(diǎn)分別為分別為A、B、C，判斷這三條直線(xiàn)是否共面，判斷這三條直線(xiàn)是否共面，并說(shuō)明理由并說(shuō)明理由. ABC共面共面證明：證明：ABAC=A直線(xiàn)直線(xiàn)AB、AC確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 BAB ,CAC ,C BBC (推論推論2)(公理公理1)直線(xiàn)直線(xiàn)AB、BC、CA都在平面都在平面 內(nèi)內(nèi)即它們共面即它們共面 ABC證法證法2：A 直線(xiàn)直線(xiàn)BC過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A和直線(xiàn)和直線(xiàn)BC確定平面確定平面 A , BBC B ,AB 同理同理AC AB、AC、BC共面共面 ABC A、B、C三

13、點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上三點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上證法證法3：過(guò)過(guò)A、B、C三點(diǎn)可以確定平面三點(diǎn)可以確定平面 (公理公理3) A , B AB (公理公理1)同理同理BC , AC AB、AC、BC共面共面 ABC練練1.1.直線(xiàn)直線(xiàn)l l 與過(guò)點(diǎn)與過(guò)點(diǎn)P P的三條直線(xiàn)的三條直線(xiàn)a a1 1 , a, a2 2 , a, a3 3 分別分別交于交于 A A，B B，C C三點(diǎn)（三點(diǎn)（A A，B B，C C異于點(diǎn)異于點(diǎn)P P），求證：），求證：這四條直線(xiàn)共面。這四條直線(xiàn)共面。a3ACPa1a2B例例2圖圖條直線(xiàn)共面。條直線(xiàn)共面。四四，E E，F(xiàn) F三點(diǎn)，求證這三點(diǎn)，求證這a a，b b，c c分別交于分別交于D D與直線(xiàn)與直線(xiàn)，c c互相平行，直線(xiàn)互相平行，直線(xiàn)l l練練2.2.已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)a a，b blDabcEF例例3圖圖1.如圖找平面如圖找平面BA 1C 1與平面與平面B 1AC的交線(xiàn)的交線(xiàn) 練習(xí)：練習(xí)：ABCDA1B1C1D12.P、Q分別是正方體分別是正方體ABCDA 1B 1C 1D 1的的棱棱AA1、CC1上的點(diǎn)，畫(huà)出過(guò)上的點(diǎn)，畫(huà)出過(guò)B、P、Q三點(diǎn)三點(diǎn)的截面的截面C1D1QABCDA1B1P小結(jié)小結(jié)1、平面的概念、平面的畫(huà)法及其表示方法平面的概念、平面的畫(huà)法及其表示方法 2、空間圖形的點(diǎn)、線(xiàn)、面的基本位置關(guān)系空間圖形的點(diǎn)、線(xiàn)、面的基本位置關(guān)系及表示及表示 3、平面的