2020-2021學(xué)年山東省淄博市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題及答案解析

1、絕密啟用并使用完畢前高三復(fù)習(xí)階段性診斷考試試題理科數(shù)學(xué)(解析版)本試卷分第I卷和第卷兩部分，共4頁.滿分150分，考試用時120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生務(wù)必用 0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區(qū)和科 類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上 .2 .第I卷每小題選出答案后， 用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答案寫在試卷上無效.3 .第H卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案， 然后再寫上新的答案；

2、不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效4 .填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟參考公式：1.如果事件A, B互斥，那么P(A B) P(A) P(B);如果事件A, B獨(dú)立，那么 P(AB) P(A) P(B).4 _32.球的體積公式V R ,其中R表示球的半徑.3第I卷(共50分)一、選擇題：本大題共 10小題，每小題 5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)已知復(fù)數(shù)41 i,z2 1 i ,則純等于i(A) 2i(B) 2i(C) 2 i(D)2 i【答案】：B(2)設(shè)集合Ax x22x 3 0 ,By

3、y ex, x R ,則 AI B(A) 0,3(B) 0,2(C) 0, 1(D)1, 2(3)已知函數(shù)f(x)2sin(2x)(1-)的圖象過點(diǎn)(0, J3),則f (x)的圖象的一個對稱中心是(A) ( ,0)3(B)(6,0)(C)(6，0)(D)(了0)(4)下列四個結(jié)論:R,xln x0”x R,xqln xQ0 ” ；命題“若xsin x0Mx0”的逆否命題為“若 x0,則 x sin x 0“命題p q為真”是“命題q為真”的充分不必要條件;若x 0,則x sinx恒成立.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(A) 1 個(B) 2 個(C) 3 個(D) 4 個(5)已知函數(shù) f-x2 co

4、sx, f4x是函數(shù)f x的導(dǎo)函數(shù)，則f x的圖象大致(A)(B)(C)(D)【答案】：A開始(6)如圖是一個算法的流程圖.若輸入x的值為2 ,則輸出y的值是(A) 0(B)1(C)2(D)3【答案】：C已知函數(shù)fx x 1 x2 a 1 x a b 1的三個容點(diǎn)值分.別可以作為拋物線、橢圓、雙曲線的離心率，則a2 b2 的取值范圍是A. J5, B. . 5, C. 5,D. 5,【答案】：D(8)用1, 2, 3, 4, 5, 6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足 1不在左右兩端，2, 4, 6三個偶數(shù)中有且只有兩個偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為(A), 2(B),0(C) 0,2(D)2,0

5、(A) 432(B) 288(C) 216(D) 144【答案】：B;法一：從2, 4, 6三個偶數(shù)中任意選出 2個看作一個 整體”，方法有C；A； 6種.先排3個奇數(shù)：若1排在左端，方法有 片種；則將 整體”和另一個偶數(shù)C1中選出一個插在1的左邊，方法有 C2種，另一個偶數(shù)插在 2個奇數(shù)形成的3個空中，方2116 A2c2c3 72 種,若 1C1,法有C3種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得此時滿足條件的六位數(shù)共有2排在右端，同理求得滿足條件的六位數(shù)也有72種，若1排在中間，方法有 A2種，則將整體”和另一個偶數(shù)插入 3個奇數(shù)形成的4個空中，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得此時滿足條件22的六位數(shù)共有6A2 A4

6、 144種.綜上，滿足條件的六位數(shù)共有72+72+144=288種，故選B;法二：CfA2(A3A4 2&A2) 288.x 2x 3x 0(9)已知f x,不等式fxa f 2a x在a, a 1上恒成2x 4x 3,x 0立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】：A(10)已知雙曲線2、1 a 0,b 0的半焦距為c,過右焦點(diǎn)且斜率為1的直線與 b雙曲線的右支交于兩點(diǎn),若拋物線y2 4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的弦長是述be2(e為 3雙曲線的離心率)，則e的值為(A) . 3 (B) 22(C) 2 或3(D) 日或V3【答案】：B第II卷(共100分)二、填空題：本大題共5小題，每小題5分

7、，共25分.(11)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 【答案】：6第11題圖(12)若a 1 ,函數(shù)f xx2 2x 2a與g x x 1 x a有相同的最小值，則af x dx128 【答案】：283r rb c的最大值為r r rr(13)設(shè)a,b,c是單位向量，且a(14)在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算CC”，對任意a,b R, a b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì):(i)對任意 ra R , a 0 a ；(n)對任意 a,b R, a b ab (a 0) (b 0) . v 1關(guān)于函數(shù)f(x) (ex)二的性質(zhì)，有如下說法：函數(shù)f(x)的最小值為3；函數(shù)f(x) e為偶函數(shù)；函

8、數(shù) f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,0.其中所有正確說法的序號為【答案】：2(15)已知函數(shù)f x ，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) An n, f n n N ，向量 x 1urmuur ur0,1 , n是向量OAn與m的夾角，則cos 1 sin 1cos 2cos 3sin 2sin 3CoS 2015sin 2015412 6的值為【答案】20151008三、解答題：本大題共 6小題，共75分.(16)(本小題滿分12分)irr設(shè)向量 m (sin 2 x,cos 2 x) , n (cos ,sin ), 其中 一，0 ,函數(shù)2ir rf (x) m n的圖象在 y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)(即函數(shù)取

9、得最大值的點(diǎn))為P(,1),在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個交點(diǎn)為 6(I)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(n)在 ABC中，角A, B, C的對邊分別是且a b 2石，求邊長c.ir r解：解：(I)因?yàn)?f (x) mgn sin(2 x ),分由題意T1 ,%0).uuu uuu3a,b,c,若 f(C) 1,CAgCB-,213分將點(diǎn) p(,1)代入 y sin(2x ),得 sin(2 66所以 2k ,(k),又因?yàn)?即函數(shù)的表達(dá)式為 f(x) sin(2x6),( x(II)由 f(C)即 sin(2C ) 6又Q0 Cc 23urn uuu 由 CAgDB,知 abcosC10所以ab 3由

10、余弦定理知,2八，八 ,b 2abcosC (ab)22ab 2ab cosC(2 .3)212 3 2 3 (-)212(17)(本小題滿分12分)在四麴t P ABCD中,PA 平面ABCD , E是PD的中點(diǎn),ABC = ACD 90 ,BAC= CAD 60 , ACAP 2.(I)求證：PC AE(n)求二面角 A CEP的余弦值.解：(I)取PC的中點(diǎn)F ,連接EF , AF ,則 EF /CD .因?yàn)锳CAP 2所以PCAF .因?yàn)镻A平面 ABCD , CD平面ABCD所以PA CD又 AC CD所以CD，平面PAC因?yàn)镻C平面PAC,所以CD ± PC ;又 EF

11、/CD ,所以EFPC ；又因?yàn)?PC AF , AF I EF F ;所以PC，平面AEF因?yàn)锳E 平面AEF ,所以PC AE(注：也可建系用向量證明)(n)以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B 0,0,0A 0,1,03,0,02 3,3,0 ,E3,2,1 , P 0,1,2uuur .AC、3, 1,0uuu,CE 0,2,1 .6分設(shè)平面ACE的法向量為n1 (x, y,z)8分uuurAC 則 uuuCEn10,n10.所以 3x y 0, 2y z 0.令 x 1.所以 n1(1,73, 2>/3).由(I)知CD，平面PAC , AF 平面PAC,所以CD

12、77; AF .同理PC ± AF .所以AF 平面PCE所以平面PCE的一個法向量uuur3 1n2 AF (3,2,1).10分所以 cos,；n1,n2,：11分由圖可知，二面角 A CEP為銳角,所以二面角A CE P的余弦值為號.12分(18 J (本小題滿分12分)某單位要從甲、乙、丙、丁四支門球隊(duì)中選拔兩支參加上級比賽，選拔賽采用單循環(huán)制(即每兩個隊(duì)比賽一場)，并規(guī)定積分r前兩名的隊(duì)出線，其中勝一場積 3分，平一場積1分，負(fù)一場積0分.在經(jīng)過三場比賽后，目前的積分狀況如下：甲隊(duì)積 7分,乙隊(duì)積1分，丙和丁隊(duì)各積 0分.根據(jù)以往的比賽情況統(tǒng)計(jì)：乙隊(duì)勝的概率乙隊(duì)平的概率乙隊(duì)

13、負(fù)的概率與內(nèi)隊(duì)比111賽44來源：2與.隊(duì)比賽111333注：各隊(duì)之間比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(I )選拔賽結(jié)束，求乙隊(duì)積 4分的概率；(n)設(shè)隨機(jī)變量X為選拔賽結(jié)束后乙隊(duì)的積分，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(出)在目前的積分情況下，M同學(xué)認(rèn)為：乙隊(duì)至少積 4分才能確保出線，N同學(xué)認(rèn)為：乙隊(duì)至少積5分才能確保出線.你認(rèn)為誰的觀點(diǎn)對？或是兩者都不對？(直接寫結(jié)果，不需證明)解析：(I)設(shè)乙隊(duì)勝、平、負(fù)丙隊(duì)為事件A1、A2、A3,乙隊(duì)勝、平、負(fù)丁隊(duì)為事件 B1、B、區(qū).111.則 P(A)=P(A2) = 一，P(A3)=一 ； P(B1)=P(B2) = P(B3)=； 2 分423設(shè)乙隊(duì)最后積4

14、分為事件C,14 _ _ _ _1111則 P(C) P(A1)P(B3)P(B)P(A)= 一4 3 2 3(n)隨機(jī)變量 X的可能取值為：7, 5, 4, 3, 2, 1.1 11P(X 7) P(A)P舊)4 3 方11111P(X 5) P(A1)P(B2) P(A2尸 4 3 4 36P(X111114) P(A1)P(B3) P(A3)P(B1) 4 3 2 3 4P(X3) P(A2)P(B2)11°4 3 12P(X2) P(A2)P(&) P(A3)P(B2)111114 3 2 3 4P(X 1)P(A3)P(B3)1112 3 6隨機(jī)變量X的分布列為:X

15、754321P112161411214168分1111.1110八E(X) 7 5 43 2 1 10分126412463(出)N同學(xué)的觀點(diǎn)對，乙隊(duì)至少積5分才可以出線. 12分當(dāng)乙隊(duì)積5分時，丙隊(duì)或丁隊(duì)的得分可能為4, 3, 2, 1,乙隊(duì)為小組第2出線;當(dāng)乙隊(duì)積4分時，丙隊(duì)或丁隊(duì)均有可能為6分或4分，不能確保乙隊(duì)出線；(19)(本小題滿分12分)a,1科,2%3科,4K卜表是一個有正數(shù)組成的數(shù)表，數(shù)表中各列依次成等差數(shù)列，各行依次成等比數(shù)列， 且公比都相等.已知a2,38, a3,26.(i)求數(shù)列a2,n的通項(xiàng)公式;(n)設(shè) bna2,na2,1a2,2a2,3a2,4Ka3,1a3,2

16、a3,3a3,4Ka4,1a4,2a4,3a4,4KKKKKKa1,11(a2,n1)(a2,n 11)(1)，,1,求數(shù)列bn的前n和Sn .解：(I)設(shè)第一列依次組成的等差數(shù)列的公差為設(shè)第一行依次組成的等比數(shù)列的公比為q(qa23則2,3a3,2解得:a2,n(D)所以(2nSn(10)，2a2,1q(1a3,1q(1d)q2 82d)q 6n a2,1q74£d 8因?yàn)榈炔顢?shù)列是正數(shù)數(shù)列,所以2n因?yàn)閍n,1ai,i(n1)dbn2na2,n(a2,n 1)(a2,n 1 1)(1)nn1)2n(1)n1 an,1_12n 1n1) n11-)(331111) (1 -) L7

17、7 15_1 2n 12 3 4 5 L ( 1)nn1A 12 3 4 5 L(1)nn10當(dāng)n為偶數(shù)時Sn2n11當(dāng)n為奇數(shù)時Sn112n 112分(20)(本小題滿分13分)22M作傾斜角已知橢圓 C:，+ '= 1 (a>b>0)經(jīng)過點(diǎn) M (-2, 1),離心率為互補(bǔ)的兩條直線分別與橢圓 C交于異于M的另外兩點(diǎn)P、Q.(I )求橢圓C的方程；(n)證明：直線PQ的斜率為定值，并求這個定值；(出)/ PMQ能否為直角？證明你的結(jié)論.41解：由題設(shè)，得ab2：1,由、解得a2 = 6, b2= 3,22橢圓C的方程為+巳=1.(n)記P(X1, y> Q(X2,

18、 y2),由題意知，直線 MP、MQ的斜率存在.設(shè)直線MP的方程為y+1 = k(x + 2),與橢圓C的方程聯(lián)立，得(1 + 2k2)x2+ (8k2-4k)x+ 8k2-8k-4 = 0,8k2-8k- 4-4k2+4k+22, X1是該方程的兩根，貝1_2x1 =2-, X1 =21 + 2k1 + 2k設(shè)直線MQ的方程為y+1= k(x+2), 4k2 4k+2同理得x2=21+ 2k因 1= k(xd2), y2+1 = k(xz+2),8k2上 yi y2 k(xi+2)+k(x2+2) k(xi+x2+4) 1 + 2k kpQ= = 1,xi x2xi x2xi x28k1 +

19、 2k2因此直線PQ的斜率為定值.（出）（方法一）設(shè)直線 MP的斜率為k,則直線MQ的斜率為一k,假設(shè)/PMQ為直角，則 k （-k）=- i, k=±i.若k= i,則直線 MQ方程y+i = （x+2）,與橢圓C方程聯(lián)立，得x2+4x+4=0,該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根- 2,不合題意；同理，若k= i也不合題意.故/PMQ不可能為直角. ,9分ii分i3分（方法二）由（2）直線PQ的斜率為i,設(shè)其方程為y x m22xy由63y x m得 3x2 4mx 2m2 6 04m2m2 6xi x2, xix2 33UULTULU!QMP (x 2,y i),MQ %2» i

20、)luut uuluMP MQ (x 2)(x2=2xx2 (m 3)( xi=22m2 63(m2) (y 曲 i)2x2) m 2m 5c、 3m 2 c3) m 2m3=m2 2m i假設(shè) PMQ為直角，則由m2 2m i 0得m i11分所以直線PQ的方程為y x i因?yàn)辄c(diǎn)M （-2, -i ）在直線y x i上，即點(diǎn)P或點(diǎn)Q中有一點(diǎn)與點(diǎn)M重合,不符合題意.所以 PMQ不可能為直角.i3分(21)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)ax(i )證明：當(dāng) a 1 , x 0時，f(x) 0 ；(n)若a 1,討論f(x)在(0,)上的單調(diào)性;(m)設(shè) n。與n ln(1

21、n)的大小，并加以證明. n 1解：(I )當(dāng)a 1時,x1f(x)=ln(1+x)f(x尸以(x 1) x(x 1)1 22 x x (x 1)2)上單調(diào)遞增,所以 x 0 時，f (x) 0, f (x)在(0, 又 f (0)=0, f (x) f (0) 0；結(jié)論得證. 4分x x a 2a(n)由題設(shè)，x 0, f x 5分x 1 x a當(dāng)a 3n+1 2a 0,即1 a 2時,則f x 0, f x在0,上是增函數(shù).7分當(dāng)a2 2a 0 ,即a> 2時，有x 0 , a22a時，fx0, f x在0, a2 2a上是減函數(shù)；x a2 2a, 時，fx0, f x在a2 2a,上是增函數(shù).9分綜上可知，當(dāng)1 a 2時，f x在0,上是增函數(shù)；當(dāng) a> 2時，f x在0 , a2 2