第十二章第9節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、1方程常系數(shù)非齊次線性微分第九節(jié)型一、)()(xpexfmx型二、xxpxxpexfnlxsin)(cos)()(三、小結(jié)及作業(yè)三、小結(jié)及作業(yè)2第九節(jié)第九節(jié) 常系數(shù)線性非齊次微分方程常系數(shù)線性非齊次微分方程方程)(xfyqypy qp ,(為常數(shù) )叫做二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 .根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法:根據(jù) f (x) 的特殊形式 , 給出特解*y的待定形式 ,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) .3)(xqex )()2(xqp)()(2xqqp)(xpemx一一. )(xfyqypy qp ,(為常數(shù) )()(xpexfmx

2、型為實(shí)數(shù) ,)(xpm設(shè)特解形式為, )(*xqeyx其中 為待定多項(xiàng)式 , )(xq, )(*xqeyx)()(*xqxqeyx)()(2)(*2xqxqxqeyx 將代入原方程 , 得 )(xq (1) 若,02qp則取 q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式),(xqm從而得到特解形式為. )(*xqeymx)()2(xqp)()(2xqqp)(xpm為 m 次多項(xiàng)式 .不是特征方程的根 , 即4)(xpeyqypymx qp ,(為常數(shù) ) (4)設(shè)特解為,)(*xqeyx(2) 若,02qp但,02 p則)(xq是一個(gè)待定系數(shù)的 m 次多項(xiàng)式 ,這時(shí)特解形式為;)(*xmexqxy(3

3、) 若,02qp且,02 p則)(xq 是一個(gè)待定系數(shù)的 m 次多項(xiàng)式 ,這時(shí)特解形式為;)(*2xmexqxy小結(jié)小結(jié)對(duì)方程(4), 當(dāng))2, 1,0()(*kexqxyxmk此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程)(xq )()2(xqp)(xpm)()(2xqqp是特征方程的單根 , 即是特征方程的重根 , 即是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè)特解為5例例1. 求方程1332 xyyy的一個(gè)特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù) , 得330 b13210bb31,1,10bb于是所求特解為

4、.31*xy0,06例例2. 求方程xexyyy265 的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xxececy3221設(shè)非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數(shù) , 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)121(*2xexxy3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxececy3221.)21(22xexx ,27特解特解求求例例xexyyy31963)( :解解特征方程為0962 rr其根為321 rr方程特解為xebaxxy32)(*代入方程得比較系數(shù) , 得2161ba,xexxy322161)(*8例例4. 求

5、解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題而特征方程為,02323rrr其根為設(shè)非齊次方程特解為*y代入方程得12b故,21*xy 0321ccc21322cc,2,1,0321rrr故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為1cy xec2xec23原方程通解為x211cy xec2xec23由初始條件得0432cc,0,xb9于是所求解為xeeyxx2141432原方程通解為解得)423(412xxeexx211cy xec2xec2341 143321ccc10的的特特解解形形式式寫寫出出例例54352 xxyy練習(xí)練習(xí)通解形式通解形式寫出寫出例例xexxyy)(3262 )(*cbxa

6、xxy2xxecbxaxeccy)(222111解：設(shè)解：設(shè) 的特解為的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根22, 1 rcbxaxy 2*1xedxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy cbxax 2.22xedx 例例7 寫出微分方程寫出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 12 *xkexyxrmcosxrmsin其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0 , 1 ) , ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形 。方程)(x

7、fyqypy qp ,(為常數(shù) )xxpxxpexfnlx sin)(cos)()(二二、可以證明可以證明xxxf212cos)()(如如xexfx35sin)(13xxpxxpexfnlxsin)(cos)()( *xkexyxrmcosxrmsinlnm,max例例8. 求方程xxyy2cos 的一個(gè)特解. 解解: 本題 特征方程,0所以可設(shè)原方程xdxcxbxay2sin)(2cos)(*由于 不是特征方程的根 ,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,2,)(xxpl,0)(xpn1m特解為比較系數(shù) , 得0 94,31cbda.2

8、sin942cos31*xxxy于是求得一個(gè)特解13 a043cb03 c043ad14例例9. 求方程xxyy3sin303cos189 的通解. 解解: 特征方程為,092r其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為xcxcy3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù) , 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程得xaxb3sin63cos6所求通解為xcxcy3sin3cos21由于 為特征方程的單根 ,因此設(shè)非齊次方程特解為i30)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos1815例例10. 設(shè)出下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形

9、式xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程,01224rr即,0)1(22r有二重根, ir所以設(shè)非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程,024 rr即0)1(22rr有根,04,32, 1irrxexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx16思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 求方程xaeyyy 44的通解 .提示提示:0442rr221 rr對(duì)應(yīng)齊次方程通解xexccy221)(1) 當(dāng)2a時(shí),設(shè)特解xaeay 2) 當(dāng)2a時(shí), 設(shè)特解xaexby2答案答案: 原方程的通解為y

10、2a,)2(1)(2221xaxeaexcc2a,)21(2221xexxcc172 . (填空填空) 設(shè)1) 當(dāng) 時(shí)可設(shè)特解為 xxxfcos)(2) 當(dāng)xexxxf22cos)( *xy xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 時(shí)可設(shè)特解為 xxpxxpexfnlxsin)(cos)()( *xkexyxrmcosxrmsinlnm,max提示提示:xdcxsin)(18三、小結(jié)三、小結(jié))(xfyqypy 1. xmexpxf)()(為特征方程的重根 ,)2, 1 ,0(kxmkexqxy)(*則設(shè)特解為2.sin)(cos)()(xxpxxpe

11、xfnlx為特征方程的i重根 ,)1 ,0(kxkexy*則設(shè)特解為sin)(cos)(xxrxxrmmnlm,max19作業(yè)作業(yè)12-9326p總習(xí)題十二總習(xí)題十二p317 1 (1) (5) (6) (8) (10) , 2 (2) (4) ; 3, 67 , 5),4)(2(4),8)(7)(6)(4)(1 (3),1 (220一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解: :1

12、1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .練練 習(xí)習(xí) 題題21三、三、 含源含源在在clr,串聯(lián)電路中串聯(lián)電路中, ,電動(dòng)電動(dòng)e勢為勢為的電源對(duì)的電源對(duì)電電充電充電容器容器 c. .已已20 e知知伏伏, ,微法微法2 . 0 c, ,亨亨1 . 0 l, ,歐歐1000 r, ,試求合上開試求合上開后后關(guān)關(guān) k的電的電及及流流)(ti)(tuc電電壓壓 . .四、四、 設(shè)設(shè))(x 函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù), ,且滿足且滿足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .22練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、2211sincosaeaxcaxcyx ； 2 2、)323(2221xxeececyxxx ； 3 3、xxxxcxcysin92cos312sin2cos21 ； 4 4、212cos10121 xececyxx. .二、二