高中數(shù)學(xué)搞定空間幾何體地外接球與內(nèi)切球?qū)W生版

1、實(shí)用文檔 文案大全 八個(gè)有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球 當(dāng)講到付雨樓老師于2018年1月14日 總第539期微文章，我如獲至寶.為有了教學(xué)的實(shí)施，我以付老師的文章主基石、框架，增加了我個(gè)人的理解及例題，形成此文，仍用文原名，與各位同行分享.不當(dāng)之處，敬請大家批評指正. 一、有關(guān)定義 1球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡稱球. 2外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球. 3內(nèi)切球的定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多

2、面體的內(nèi)切球. 二、外接球的有關(guān)知識與方法 1性質(zhì)： 性質(zhì)1：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等； 性質(zhì)2：經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大圓； 性質(zhì)3：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面（類比：圓的垂徑定理）； 性質(zhì)4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心； 性質(zhì)5：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）. 實(shí)用文檔 文案大全 c ab初圖2初圖1NOO1PEFOO1D1C1B1DCA1O2ABM 2結(jié)論： 結(jié)論1：長方體的外接球的球心在體對角線的交點(diǎn)處

3、，即長方體的體對角線的中點(diǎn)是球心； 結(jié)論2：若由長方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長方體的外接球相同； 結(jié)論3：長方體的外接球直徑就是面對角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓； 結(jié)論4：圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點(diǎn)處； 結(jié)論5：圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對角線（外接圓直徑）是球的直徑； 結(jié)論6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球； 結(jié)論7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上； 結(jié)論8：圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角

4、形的外接圓直徑是球的直徑； 結(jié)論9：側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球. 3終極利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求線段長度）； 三、內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法 1若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）. 2內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.（類比：與多邊形實(shí)用文檔 文案大全 的內(nèi)切圓）. 3正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合. 4正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合. 5基本方法： （1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理； （2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）. 四、與臺

5、體相關(guān)的，此略. 五、八大模型 第一講 柱體背景的模型 類型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑） b圖1-AB ac圖1-CBA c圖1-CPA c圖1-4 PCBA 方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式2222)2(cbaR?，即2222 cbaR ?，求出R 例1 （1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（ ） A?16 B?20 C?24 D?32 （2）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是 實(shí)用文檔 文案大全 （3）在正三棱錐SABC?中，MN、分別是棱SCBC、的中點(diǎn)，且MNAM?, 若側(cè)棱

6、23SA?,則正三棱錐ABCS?外接球的表面積是 . 解：引理：正三棱錐的對棱互相垂直.證明如下：如圖（3）-1， 取BCAB,的中點(diǎn)ED,，連接CDAE,，CDAE,交于H，連接SH， 則H是底面正三角形ABC的中心， ?SH平面ABC，?ABSH?， ?BCAC?，BDAD?，?ABCD?，?AB平面SCD， ?SCAB?，同理：SABC?，SBAC?，即正三棱錐的對棱互垂直， 本題圖如圖（3）-2， ?MNAM?，MNSB/， ?SBAM?，?SBAC?，?SB平面SAC， ?SASB?，SCSB?，?SASB?，SABC?， ?SA平面SBC，?SCSA?， 故三棱錐ABCS?的三棱條

7、側(cè)棱兩兩互相垂直， ?36)32()32()32()2(2222?R，即3642?R，?正三棱錐ABCS?外接球的表面積是?36. （4）在四面體SABC?中，ABCSA平面?，,1,2,120?ABACSABAC則該四面體的外接球的表面積為（ ） ?11.A ?7.B ?310.C ?340.D （5）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是 (3)題-1(引理） HEDBACS(3)題-2 （解答圖）NBCS實(shí)用文檔 文案大全 （6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為 類型二、

8、對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體） 題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（CDAB?，BCAD?，BDAC?） 第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱； 第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為cba,，xBCAD?， yCDAB?，zBDAC?，列方程組， (6) 題圖 yxabczzyx圖2-1DCAB實(shí)用文檔 文案大全 ?222222222zacycbxba ?2)2(2222222zyxcbaR?， 補(bǔ)充：圖2-1 中，abcabcabcVBCDA31461?. 第三步： 根據(jù)墻角模型，22222222zyxcbaR? ，82222zyxR? ，8222zyxR

9、?，求出R. 例2（1）如下圖所示三棱錐ABCD?，其中5,6,7,ABCDACBDADBC?則該三棱錐外接球的表面積為 . (1)題圖BCDA （2）在三棱錐BCDA?中，2?CDAB，3?BCAD，4?BDAC，則三棱錐BCDA? 外接球的表面積為 . （3 ）正四面體的各條棱長都為 2，則該正面體外接球的體積為 （4）棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三 角形(正四面體的截面 )的面積是 . (4) 題 實(shí)用文檔 文案大全 類型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球） 圖3-1 C1B1AEFA1O1OO2BC 圖3-2C1B1AA1O

10、1OO2BC 圖3-3C1B1AEFA1O1OO2B C 題設(shè)：如圖3-1，圖3-2，圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：確定球心O的位置，1O是ABC?的外心，則?1OO平面ABC； 第二步：算出小圓1O的半徑rAO ?1，hAAOO212111?（ hAA?1也是圓柱的高）； 第三步：勾股定理：21212OOAOOA?222)2 (rhR?22)2(hrR?，解出R. 例3（1）一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上， 且該六棱柱的體積為89，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為 （2）直三棱柱

11、111ABCABC?的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若12ABACAA?,120 BAC?，則此球的表面積等于 . （3）已知EAB?所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，?60,2,3AEBADEBEA，則多面體ABCDE?的外接球的表面積為 . 實(shí)用文檔 文案大全 （4）在直三棱柱111CBAABC? 中，4,3,6,41?AAAACAB?，則直三棱柱111CBAABC?的外接球的表面積為 . 第二講 錐體背景的模型 類型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑正弦定理求大圓直徑是通法） 圖4-1 PAO1OCB圖4-2 AO1OCBP圖4-3 OO1ACBP 圖4-4ACBP 1如

12、圖4-1，平面?PAC平面ABC，且BCAB?（即AC為小圓的直徑），且P的射影是ABC?的外心?三棱錐ABCP?的三條側(cè)棱相等?三棱ABCP?的底面ABC?在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn). 解題步驟： 第一步：確定球心O的位置，取ABC?的外心1O，則1,OOP三點(diǎn)共線； 第二步：先算出小圓1O的半徑rAO?1，再算出棱錐的高h(yuǎn)PO?1（也是圓錐的高）； 第三步：勾股定理：21212OOAOOA?222)(rRhR?，解出R； 事實(shí)上，ACP?的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出R. 2如圖4-2，平面?PAC平面ABC，且BCAB?（即AC為小圓的直徑），且ACPA?，則 利用

13、勾股定理求三棱錐的外接球半徑：22 2)2()2(rPAR?22)2(2rPAR?； 實(shí)用文檔 文案大全 2122OOrR?212OOrR? 3如圖4-3，平面?PAC平面ABC，且BCAB?（即AC為小圓的直徑） 21212OOCOOC?2122OOrR?2122OORAC? 4題設(shè)：如圖4-4，平面?PAC平面ABC，且BCAB?（即AC為小圓的直徑） 第一步：易知球心O必是PAC?的外心，即PAC?的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑rAC2?； 第二步：在PAC? 中，可根據(jù)正弦定理RCcBbAa2sinsinsin?，求出R. 例4 （1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1，

14、 底面邊長為32，則該球的表面積為 . （2）正四棱錐ABCDS? 的底面邊長和各側(cè)棱長都為2，各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為 （3）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ） A 433 B 33 C 43 D 123 （4）在三棱錐ABCP? 中，3?PCPBPA,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為?60，則該三棱錐外接球的體積為（ ） A? B.3? C. 4? D.43? （5）已知三棱錐SABC?的所有頂點(diǎn)都在球O的求面上,ABC?是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且2SC?，則此棱錐的體積為（ ） A 26 B

15、 36 C 23 D22 圖5ADPO1OCB實(shí)用文檔 文案大全 類型五、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面） 1題設(shè)：如圖5，?PA平面ABC，求外接球半徑. 解題步驟： 第一步：將ABC?畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD，則PD必過球心O； 第二步：1O為ABC?的外心，所以?1OO平面ABC，算出小圓1O的半徑rDO?1（三角形的外接圓直 徑算法：利用正弦定理，得rCcBbAa2sinsinsin?） ，PAOO211?； 第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：222)2()2(rPAR? ?22)2(2rPAR?； 2122OOrR? ?212OOrR

16、?. 2題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，P的射影是ABC?的外心?三棱錐ABCP?的 三條側(cè)棱相等?三棱錐ABCP?的底面ABC?在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的 頂點(diǎn). 圖5-1 PAO1OCB 圖5-2 PAO1OCB 圖5-3 PAO1OCB 圖5-4 PADO1OCB 實(shí)用文檔 文案大全 圖5-6 DPOO2ABC 圖 5-7POO2ABC 圖5-8 DPOO2AB 解題步驟： 第一步：確定球心O的位置，取ABC?的外心1O，則1,OOP三點(diǎn)共線； 第二步：先算出小圓1O的半徑rAO?1，再算出棱錐的高h(yuǎn)PO?1（也是圓錐的高）； 第三步：勾股定理：21212OOAOOA?222)

17、(rRhR? ?，解出R 方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑. 例5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為( ) A?3 B?2 C316? D 以上都不對 222222俯視圖側(cè)視圖正視圖實(shí)用文檔 文案大全 第三講 二面角背景的模型 類型六、折疊模型 題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖6) 圖6A2 第一步：先畫出如圖6所示的圖形，將BCD?畫在小圓上，找出BCD?和BDA?的外心1H和2H； 第二步：過1H和2H分別作平面BCD和平面BDA?的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心O，連接OCOE,； 第三步：解1OEH?，算出1OH，

18、在1OCHRt?中，勾股定理：22121OCCHOH? 注：易知21,HEHO 四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略. 例6（1）三棱錐ABCP?中，平面?PAC平面ABC，PAC和ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱錐ABCP?外接球的半徑為 . 實(shí)用文檔 文案大全 （2）在直角梯形ABCD中，CDAB/，?90?A，?45?C，1?ADAB，沿對角線BD折成四面體BCDA?，使平面?BDA平面BCD，若四面體BCDA?的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該項(xiàng)球的表面積為 （3）在四面體ABCS?中，BCAB? ，2?BCAB，二面角BACS? 的余弦值為33?，則四面體ABCS?的外接球表面積為 （4 ）在邊長為

19、32的菱形ABCD中，?60?BAD，沿對角線BD折成二面角CBDA?為?120的四面體ABCD，則此四面體的外接球表面積為 （5）在四棱錐ABCD中，?120?BDA，?150?BDC，2?BDAD ，3?CD，二面角CBDA? 的平面角的大小為?120，則此四面體的外接球的體積為 類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型 圖7 OAP 題設(shè)：如圖7，?90?ACBAPB，求三棱錐ABC P?外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O，連接OCOP,，則ABOPOCOBOA21?，?O為三棱錐ABCP?外接球球心，然后在OCP中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對

20、角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值. 例7（1）在矩形ABCD中，4?AB，3?BC，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角DACB?，實(shí)用文檔 文案大全 則四面體ABCD的外接球的體積為（ ） A ?12125 B ?9125 C ?6125 D ?3125 （2）在矩形ABCD中，2?AB，3?BC，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐BCDA? 的外接球的表面積為 第四講 多面體的內(nèi)切球問題模型 類型八、錐體的內(nèi)切球問題 1題設(shè)：如圖8-1，三棱錐ABCP?上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑. 第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，HE,分別是兩個(gè)三角形的外心； 第二步：求BDDH31?，rPHPO?，PD是側(cè)面ABP?的高； 第三步：由POE?相似于PDH? ，建立等式：PDPODHOE?，解出r 2題設(shè)：如圖8-2，四棱錐ABCP?是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑 第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，HOP,三點(diǎn)共線； 第二步：求BCFH21?，rPHPO?，PF是側(cè)面PCD?的高； 第三步：由POG?相似于PFH? ，建立等式：PFPOHFOG?，解出 圖8-1DCOE圖8-2 FEHDBACPOG實(shí)用文檔 文案大全 3題設(shè)：三棱錐ABCP?是任意三棱錐，求其的內(nèi)