隨機(jī)信號重要知識點整理

1、隨機(jī)信號重要學(xué)問點整理1能量信號和功率信號通常稱xt2為信號xt 的能量密度或瞬時功率；信號的總能量是對2xt 在整個時間范疇積分，即2exxtdt（ 1.6 ）同理，離散信號的總能量定義為e xn2xn（ 1.7 ）假如信號的總能量有限，即ex <，就稱量無限，即ex > , 但是其平均功率有限，即xt 或x n為能量信號；假如信號的總能或（對于離散信號）1tpxlim t1t22xt dtt2n2（ 1.8 ）tpxlim 2 n1 nnxn（ 1.9 ）就稱 xt 或x n為功率信號；然而，對于數(shù)字信號處理，信號處理的長度總是有限的；而在有限的區(qū)間內(nèi)信號的總能量是有限，因此在

2、處理運(yùn)算時，可以對功率信號與能量信號不加以區(qū)分；僅當(dāng)考慮平均功率、平均譜密度時，需要考慮系數(shù)1 2n1；2. 窄帶信號與寬帶信號時間信號可以用不同頻率的正弦波綻開（或傅里葉級數(shù)綻開），即信號的傅里葉積分反變換：2xt 1x e jt d（ 1.10 ）其中 x 是 xt 的傅里葉變換，又稱為頻譜，它等于x xt e jt dt（ 1.11 ）可見，時間信號可以看作是由簡潔的正弦波在頻域或頻率空間的表示；e j t 相加（線性疊加）組成，x 是xt假如信號xt 的頻譜x 在較窄的頻率區(qū)間內(nèi)存在，就稱其為窄帶信號；與之對應(yīng)的是，假如信號xt 的頻譜x 在較寬的頻率區(qū)間內(nèi)存在，就稱其為寬帶信號；3.

3、 信號處理的理論基礎(chǔ)數(shù)字信號處理的理論基礎(chǔ)：1） nyquist shannon采樣定理；2 ）傅立葉級數(shù)；3 ）z 變換；時域分析、頻域分析；fft 算法，濾波器設(shè)計；4. 隨機(jī)信號數(shù)字特點量1）一維分布的數(shù)字特點量隨機(jī)信號的均值函數(shù)x t e x t xf t, x dx2-10它表示了全部樣本函數(shù)（樣本序列）在同一時刻取值的總體均值，它又稱為一階原點矩；隨機(jī)信號的均方函數(shù)d x t e x 2 t x2 ft , xdx2-11它表示了全部樣本函數(shù)（樣本序列）在同一時刻取值的總體均方，又稱為二階原點矩；它也表示了在樣本函數(shù)空間的瞬時功率，也就是在總集意義下的瞬時功率；隨機(jī)信號的方差函數(shù)x

4、2 te x t t 2 xxt 2f t, xdx2-12x它表示了隨機(jī)信號在均值函數(shù)上下的起伏程度，它又稱為二階中心矩；一維分布的數(shù)字特點量之間的關(guān)系xx證明：由于d x t 2 t 2 t2-13x2 t xxt 2f t, xdxx 2 f t, xdx2 x t xf t , x dx2 tf t, xdxx由2-10，即可得 2-14 ；2）二維分布的數(shù)字特點量對任意的t1 , t2t ，隨機(jī)變量x t1 和x t2 的協(xié)方差稱為隨機(jī)過程x t 的自協(xié)方差函數(shù)（ autocovariance）c x t1 ,t 2 e x t1 x t1 x t2 x t 2 x1x t1 x2x

5、 t2 f t1 ,t 2 , x1 , x2 dx1 dx22-14而 x t1 和 xt2 乘積的期望rx t1 , t2 稱為隨機(jī)過程e x t 1 x t 2 x1 x2 f t1 ,t 2 , x1 , x2 dx1 dx2x t 的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelation）；2-15自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)可以看作是隨機(jī)變量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的推廣，它們表示了隨機(jī)信號不同時刻取值的關(guān)聯(lián)程度；由 n 維分布的相容性，簡潔得出如下關(guān)系rx t1 ,t2 c x t1 , t2 x t1 x t 2 2-16證明：如x t1 和x t 2 的聯(lián)合分布密度函數(shù)為f t1 ,t 2 , x1

6、, x2 ，就x t1 和x t 2 的邊際分布密度函數(shù)分別為f t1 , x1 f t1, t2 , x1 , x2 d x2 ,f t2 , x2 f t1, t2 , x1 , x2 dx1且f t1 , t 2 , x1 , x2 dx1d x21因此c x t1 ,t2 x1 x2f t1 ,t 2 , x1 , x2 dx1dx 2x t1 x2 ft1 , t2 , x1 , x2 dx1dx2x t2 x1 f t1 , t 2 , x1 , x2 dx1dx2x t1 x t2 f t1 ,t2 , x1 , x2 dx1dx2x1 x2 f t1 ,t2 , x1 , x2

7、 dx1dx2x t1 x2 f t1 , t2 , x1 , x2 dx1 dx2x t 2 x1 f t1 , t2 , x1 , x2 dx2 dx1x t1 x t2 f t1 , t2 , x1 , x2 dx1dx2x1 x2 f t1 ,t2 , x1 , x2 dx1dx 2x t1 x2 f t2 , x2 dx2x t 2 x1 f t1 , x1 dx1x t1 x t2 rx t1 ,t2 x t1 x t2 3）二維隨機(jī)過程的互協(xié)方差函數(shù)與相互關(guān)函數(shù)為了表示了兩個不同的隨機(jī)信號x t, tt 和 y t, tt 在不同時刻t1t 和 t 2t取值的關(guān)聯(lián)程度，定義兩隨機(jī)

8、信號的互協(xié)方差函數(shù)與相互關(guān)函數(shù)為：互協(xié)方差函數(shù)（cross-covariancec xy t1 ,t2 e x t1 x t1 y t 2 y t2 xx t1 yy t 2 f t1 , t 2 , x, ydxdy2-33相互關(guān)函數(shù)（cross-correlation）rxy t1, t 2 ex t1 y t 2 xyft1,t 2 , x, ydxdy2-34其中 f t1 ,t 2 , x, y 是 x t1 和 yt 2 的聯(lián)合分布密度函數(shù)；互協(xié)方差函數(shù)與相互關(guān)函數(shù)存在關(guān)系5. 二階矩過程rxy t1, t2 c xy t1 ,t 2 x t1 y t2 2-35定義：一個隨機(jī)信號

9、矩過程；x t ，對于全部的tt ，其均值與均方都存在，就稱其為二階性質(zhì)： 1）二階矩過程的自協(xié)方差函數(shù)對于全部的t1 , t2t 存在；22）二階矩過程的自相關(guān)函數(shù)對于全部的由施瓦茲不等式t1 , t2t 存在；2 c x t1, t 2 e x t1 x t1 x t2 x t 2 e x t1 x t1 2e x t 2 x t 2 22 t 2 txx126. 平穩(wěn)隨機(jī)過程如 果隨 機(jī)過程x t 的 均值 是常 數(shù)， 它的自 相關(guān)函數(shù)rx t1 ,t2 只 取決 于時間差t 2t1t2t1 ，即x te x t =常數(shù)2-17rx t1 , t2 e x t1 x t 2 e x t1

10、 x t1e x t x trx （ 2-18 ）就稱其為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程；平穩(wěn)隨機(jī)過程的一、二維分布的數(shù)字特點有以下性質(zhì)：1） 一維分布的數(shù)字特點都是常數(shù)x t e x t =常數(shù)2-21d x te x 2 trx 0d x常數(shù)2-22x2 td x t 2 t 2x常數(shù)2-23x2）二維分布的數(shù)字特點都是單變量函數(shù)2rx t1 , t2 rx 2-24c x t1, t2 = rxt1,t 2 x t1 x t2 rx x7. 平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)遍歷性定義：一個平穩(wěn)隨機(jī)過程，假如滿意：1） 它的單一樣本的時間平均與總集平均（某一時刻的統(tǒng)計平均）相等；2） 它的單一樣本的時間自相關(guān)與總集自

11、相關(guān)相等；就稱其為各態(tài)遍歷的隨機(jī)過程；意義：對于平穩(wěn)隨機(jī)過程，如滿意各態(tài)遍歷條件（實際中它們是經(jīng)常能夠滿意的），它的樣本空間的平均、相關(guān)可以用對時間的平均、相關(guān)來代替； 只要用平穩(wěn)過程在足夠長時間 的一次實現(xiàn)，就可以確定過程的均值和相關(guān)函數(shù)；這正是遍歷性定理在有用上重要的緣由；推論：各態(tài)遍歷的平穩(wěn)隨機(jī)信號x t 的在總集意義下的瞬時功率e x 2 t與單一樣本函數(shù)xt 的平均功率相等，即p1t x 2 tdte x 2 ttxlim 2ttrx 08. 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)信號1）二維隨機(jī)過程的互協(xié)方差函數(shù)與相互關(guān)函數(shù)為了表示了兩個不同的隨機(jī)信號x t, tt 和 y t, tt 在不同時刻t1t 和

12、 t 2t取值的關(guān)聯(lián)程度，定義兩隨機(jī)信號的互協(xié)方差函數(shù)與相互關(guān)函數(shù)為：互協(xié)方差函數(shù)（cross-covariancec xy t1 ,t2 e x t1 x t1 y t 2 y t2 xx t1 yy t 2 f t1 , t 2 , x, ydxdy2-33相互關(guān)函數(shù)（cross-correlation）rxy t1, t 2 ex t1 y t 2 xyf t1,t 2 , x, ydxdy2-34其中 f t1 ,t 2 , x, y 是x t1 和 yt 2 的聯(lián)合分布密度函數(shù)；互協(xié)方差函數(shù)與相互關(guān)函數(shù)存在關(guān)系rxy t1, t 2 c xy t1 , t 2 x t1 y t 2

13、2）聯(lián)合平穩(wěn)假如隨機(jī)過程僅依靠于時間差x t 和 y t 是平穩(wěn)的，它們的相互關(guān)函數(shù)t2t1 ， t 2t1 ，即rxy t1, t 2 與時間的起點，而rxy t1 ,t 2 e x t1 yt2 e x t1 y t1e x t ytrxy 2-36就稱它們是聯(lián)合平穩(wěn)的；.聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互協(xié)方差函數(shù)聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程x t 和 y t 的互協(xié)方差函數(shù)為c xy t1 ,t 2 rxy t1 , t2 x t1 y t 2 rxy xyc xy 2-37.聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)遍歷對于聯(lián)合平穩(wěn)的隨機(jī)信號關(guān)與樣本總集相互關(guān)相等，即x t 和 y t ，假如各自的樣本函數(shù)xt 和yt 的時間相互rxy e x ty t1tlim 2ttxt yttdt2-38就稱它們是各態(tài)遍歷的聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程；此時，互協(xié)方差函數(shù)為c xy rxy xy1tlim 2ttxt yttdt1tlim 2ttxt dtt1tlim 2ttyt dyt9. 隨機(jī)序列分布函數(shù)與數(shù)字特點量對于隨機(jī)序列，僅需在上述各個公式中作替換：1t1ntn ， t1n1 ， t 2n2，m ， tn ，2tt2 n1 nn例如，對于隨機(jī)序列，平穩(wěn)性條件是1nnxe x nl