大學(xué)數(shù)學(xué)：ch6-4 重積分的應(yīng)用

1、2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1第第4節(jié)節(jié) 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用(Applications of Multiple Integrals)4.1. 幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用4.2. 物理應(yīng)用物理應(yīng)用1 1、面積、面積(area)(area)2 2、體積、體積(volume)(volume)2、質(zhì)心、質(zhì)心(centre of mass)1、質(zhì)量、質(zhì)量（mass)3、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動慣量(moment of inertia)4 4、引力、引力( (gravitation ) )2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24.1 幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用1 1、面積、面積（1）平面區(qū)域的面積）平

2、面區(qū)域的面積（2）曲面的面積）曲面的面積(1)曲頂柱體體積曲頂柱體體積2 2、體積、體積(2)曲頂、曲底柱體體積曲頂、曲底柱體體積Vdv (3) 一般立體體積一般立體體積21( , )( , )DVfx yfx y dxdy ( , )DVf x y d ？DAdxdy DArdrd DAJ dudv 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3曲面的面積曲面的面積:( , ) ( , )( , ):Szf x yx yDDxoyf x yDSA 設(shè)曲面設(shè)曲面曲面在平面上的投影區(qū)曲面在平面上的投影區(qū)設(shè)在 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)在 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)求 曲面 的面積求 曲面 的面積),(光

3、光滑滑曲曲面面稱稱之之曲曲面面yxfz 問題：問題：,MM：曲面分細(xì) 每一小塊上取一點(diǎn)，求點(diǎn)：曲面分細(xì) 每一小塊上取一點(diǎn)，求點(diǎn)處切平面 以平代曲再求和取極限處切平面 以平代曲再求和取極限分析分析，用微元法，用微元法:.12StepStep寫面積微元;無限求和即重積分寫面積微元;無限求和即重積分2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4221xyDAffd XYZddAAddAnnk),(yxM cos dAd解解221xydAffd 1d d|cos( , )|Dx yn z2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲

4、面面積公式為： .122dzdxAzxDxyzy 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系624 aSa 的的球球面面面面積積為為證證明明半半徑徑為為222222222222221),(yxaazzyxayzyxaxzyxfyxazyxyx 上上半半球球面面方方程程取取球球心心在在原原點(diǎn)點(diǎn)24 aA 202202220222222araadrraarddyxaaAaaD 用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)廣廣義義積積分分由由公公式式例例1解解2013年5月南京航空航天大學(xué) 理

5、學(xué)院 數(shù)學(xué)系7.3:,2:222221積積圍圍成成的的立立體體的的整整個個表表面面求求由由yxzSyxzS 222222223322230 (1)(3)0:1,3(!)zxyxoyzxxyzyzzzzzzz 求求在在平平面面上上的的投投影影曲曲線線得得舍舍去去2222: 111,yxzzyzxzSyxyx 對對22222222: 23313,3yxzzyxyzyxxzSyxyx 對對解解例例22013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系833222222200220211122 (1)12(31)33( 3)3Dxy dxdydr rdrrA 222200222220021333313 22

6、332323 (312 (3)3DrdAxdyddrxyrdrrr 1212 3316333AAA 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9若曲面方程為若曲面方程為(,)(,) (,)(,)xx u vSyy u vu vDzz u v ：求求A=?uvDArr dudv ( , )( ( , ), ( , ), ( , )( , )rr u vx u vy u v z u vu vD 或或其中其中 2222,uuuuErxyz ,uvuvuvuvFrrx xy yz z2222.vvvvGrxyz2DEGF dudv SeeP2092013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10P

7、(u,v)2(,)P uu vv1(, )P uu v3( ,)P u vvuruvrv11(, )( , ) ( , ) uuPPr uu vr u vr u vur du22( ,)( , ) ( , ) vvPPr u vvr u vr u vvr dv221 uvPPPPrr dudvEGF dudvd2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11例例3解解2(sin)EGFa ba 2(sin)DDAEGF dudva bad d 22200(sin )4da badab2,Ga 0F 2(sin ) ,Eba (sin )cos ,(sin )sin ,cos(02 ,02 )

8、0,0().xbaybazaabba求環(huán)面：求環(huán)面：的面積，其中的面積，其中2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系122:( )( )0) 2( ) 1( )bayf xaxbf xxAf xfxdx 求求證證 曲曲線線繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的曲曲面面X X面面積積為為E E . .面面積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的曲曲面面一一段段繞繞到到由由并并求求正正弦弦曲曲線線xxxxy2, 0sin21 y=f (x)xdxxabxyo證明證明 旋轉(zhuǎn)面方程旋轉(zhuǎn)面方程:( )( )axbDf xyf x22( )zfxy 222( )yzfx2013年5月南京航空航天大學(xué) 理

9、學(xué)院 數(shù)學(xué)系1322222222211yfffzzyfyyzyfffxzyx babaffffbaDDyxdxxfxfdxfffydyyfxfxfdxdxdyyfffdxdyzzA)(1)(21arcsin2)(1)(212122222222222 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14)21ln(2()cos1ln(cos212cos1cos2cos1sin22202202 xxxxdxxxA解解2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系154.2 物理應(yīng)用物理應(yīng)用2、重心、重心1、質(zhì)量、質(zhì)量3、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動慣量4 4、引力、引力( , )dDmx y (1) 平面薄板的質(zhì)

10、量平面薄板的質(zhì)量( , , )mx y z dV (2) 空間物體的質(zhì)量空間物體的質(zhì)量2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系162、質(zhì)心、質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量總質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)點(diǎn)系對y軸的軸的靜距靜距質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)點(diǎn)系對x軸的軸的靜距靜距2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中( , )( , )DDxx y dxx y d ( , )( , )DDyx y dyx y d 由元素法由元素法yMM MMxxM 對對 x 軸的軸的靜矩靜矩yM 對對 y 軸的軸的靜矩靜矩將將

11、 D分成分成 n 小塊小塊, 在第在第 k 塊上任取一點(diǎn)塊上任取一點(diǎn)(x,y),將第將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)(x,y),的質(zhì)點(diǎn)，此質(zhì)點(diǎn)系的的質(zhì)點(diǎn)，此質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)無限求和無限求和即該平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)即該平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo).2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18若物體占有空間域若物體占有空間域 ,( , , ),x y z 有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)同樣同樣公式公式 , 即即:采用采用 重積分重積分元素法元素法可導(dǎo)出其質(zhì)心可導(dǎo)出其質(zhì)心 ( , , )dd d( , , )dd dxx y zxyzxx y zxyz ( , , )dd d( , ,

12、 )dd dyx y zxyzyx y zxyz ( , , )dd d( , , )dd dzx y zxyzzx y zxyz ( , , )x y z 當(dāng)常數(shù)時,當(dāng)常數(shù)時,則得則得形心形心坐標(biāo)坐標(biāo)：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd dd dVxyz 為 的體積為 的體積2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19ab xyo薄片關(guān)于薄片關(guān)于 軸對稱軸對稱x, 0 y則則DDx dxd cos20cos2cosbadrrdrD 338224()()baba .)(222ababab cos ,cos(0).rarbab求位于兩圓求位于兩圓之間的均勻薄片之間的

13、均勻薄片例例的重心的重心1 12013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系202a在在球球心心位位于于原原點(diǎn)點(diǎn)，半半徑徑為為 的的均均勻勻半半球球體體靠靠圓圓形形平平面面的的一一旁旁拼拼接接一一個個半半徑徑與與球球的的半半徑徑相相等等，材材料料相相同同的的均均勻勻圓圓柱柱體體，使使拼拼接接后后的的整整個個立立體體重重心心位位于于球球心心，試試確確定定圓圓柱柱體體的的例例高高為為多多少少？zdvzv 解解： 22220zayxadxdyzdz 022)(azdzza 44a vzdvzdv 21 2220ayxhdxdyzdz222ha 0 24224haa .2ah 2013年5月南京航空航

14、天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21例例3. 計算二重積分計算二重積分(53 )dd ,Dxyxy 其中其中D 是由曲是由曲222440 xyxy所圍成的平面域所圍成的平面域 .解解:222(1)(2)3xy其形心坐標(biāo)為其形心坐標(biāo)為:面積為面積為:9A 5ddDIxxy 923) 1(5A3ddDyxy 積分區(qū)域積分區(qū)域線線形心坐標(biāo)形心坐標(biāo)2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx352013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22,:,.()zaxbycSSxoyDDSVHHD 、設(shè)設(shè)有有一一平平面面在在這這平平面面上上取取一一塊塊區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè) 在在面面上上的的投投影影域域?yàn)闉樵囋囎C證明

15、明為為底底為為頂頂?shù)牡闹w體體體積積其其中中為為 的的質(zhì)質(zhì)量量中中思思心心處處的的高高考考cybxaH cybxacdbydaxdDDD DdcbyaxV )( Hcybxa )(解解xS),(yxDoyz2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系233、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)有連續(xù)分布的密度函數(shù)( , , ).x y z 該物體位于該物體位于(x , y , z) 處的處的微微元元 22() ( , , )dxyx y zv 因此物體因此物體 對對 z 軸軸 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量:22() ( , , )dd dzIxyx y

16、zxyz dzI xyoz對對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量之和因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量之和, 故故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算. 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24類似可得類似可得:( , , )dd dxIx y zxyz )(22zy )(22zx )(222zyx對對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量對對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量對原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量( , , )dd dyIx y zxyz ( , , )dd doIx y zxyz 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)

17、院 數(shù)學(xué)系25如果物體是平面薄片如果物體是平面薄片,面面密度為密度為( , ), ( , )x yx yD ( , )ddxDIx yxy DoyxyxIdd),( 則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系262()( , , ),xyVIzx y z dv 2()( , , ).yzVIxx y z dv 物體物體(V)對于對于 xy面面的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量2()( , , ).xzVIyx y z dv 物體對于物體對于 yz面面的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量物體對于物體對于 xy

18、面面的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系27rraddsin0302例例4. 求半徑為求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑的均勻半圓薄片對其直徑解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圓薄片的質(zhì)量半圓薄片的質(zhì)量212Ma 2212oxyDaa的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量.2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系28222222(sincossinsin)rr 解解: 取球心為原點(diǎn)取球心為原點(diǎn), z 軸為軸為 l 軸軸,2222:,xyza則則zI22() dd dxyxyz 525a225

19、a M dddsin2rr olzxy221320d 球體的質(zhì)量球體的質(zhì)量343Ma 30sind 40darr 例例5 5. .求均勻球體對于過球心的一條軸求均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)球設(shè)球 所占域?yàn)樗加驗(yàn)?用球坐標(biāo)用球坐標(biāo)) 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系294 4、引力、引力設(shè)物體占有空間區(qū)域設(shè)物體占有空間區(qū)域 ，體密度為，體密度為 (x,y,z)。 區(qū)域區(qū)域 外外有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m0的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)A(a,b,c)，求物體對質(zhì)點(diǎn)的引力。，求物體對質(zhì)點(diǎn)的引力。引力在三個坐標(biāo)軸上的分量：引力在三個坐標(biāo)軸上的分量：(,)xyzFF F F 00

20、2mdmdFGnr 002( , , )x y z dvGmnr 222()()() ,rAPxaybzc 0(,)APxa yb zcnrrrr A(a,b,c)P(x,y,z)xyzo03( , , ),xxaFGmx y z dvr 03( , , ),yybFGmx y z dvr 03( , , ),zzcFGmx y z dvr 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系30Rxyzo例例6. 求半徑求半徑 R 的均勻球的均勻球2222xyzR對位于對位于)(), 0 , 0(0RaaM的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 利用對稱性知引力分量利用對稱性知引力分量0

21、 xyFFzF()dRRGzaz 32222d() zaGvxyza ()dRRGzaz 222322200dd() Rzrrrza 點(diǎn)點(diǎn)32222dd() zDxyxyza 0MazD2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31RRzazd )(zF2 G 22211azaRza222322200dd() Rzrrrza ()dRRGzaz 2 G RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 為球的質(zhì)量為球的質(zhì)量2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系32解解由積分區(qū)域的對稱性知由積分區(qū)域的對稱性知, 0 yxFF32222( , )()zDx yFaGdxya 32

22、222()DaGdxya oyzxF2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系33解解 據(jù)曲面面積公式據(jù)曲面面積公式, ,221d d ,xyDSzzx y其中其中 D 是是 222211,24xyxxy即即曲面方程曲面方程 22zxy22xyx EX1 求圓錐求圓錐 在圓柱體在圓柱體 內(nèi)內(nèi) 那一部分的面積那一部分的面積. .2222,xyxyzzxyxy22.zxy故故 是是 2212,xyzz22d d2.4DSx y 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系34EXEX2 求球面上兩條緯線和兩條經(jīng)線之間曲面的面求球面上兩條緯線和兩條經(jīng)線之間曲面的面積積 （圖中陰影部分（圖中陰影

23、部分).).解解 設(shè)球面的參數(shù)方程為設(shè)球面的參數(shù)方程為: : sincos ,sinsin ,cos ,xRyRzR 其中其中 R 是是球面半徑球面半徑. . 1212, 這里是求當(dāng)這里是求當(dāng) 時球面上的面積時球面上的面積. 由于由于 222222,0,sin,ExyzRFGR 所以所以 22sin .EGFR 22112dsindSR 22112()(coscos).R 圖圖xyzO1 2 1 2 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系35EX3 EX3 求密度均勻的上半橢球體的重心求密度均勻的上半橢球體的重心. . 解解 設(shè)橢球體由設(shè)橢球體由 2222221,0 xyzzabc 表示表示. 借助借助對對 0,0.xy 又由又由 為常數(shù)為常數(shù), 所以所以 稱性知道稱性知道dd d d.2d3VVVz Vz x y zzVabc由由232,438czabcabc故得故得 2d d d,4Vz x y zabc 即求得上半橢球體的重心坐標(biāo)為即求得上半橢球體的重心坐標(biāo)為 3( 0, 0,).8c2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系36EX4EX4 設(shè)某球體的密度與