大學(xué)數(shù)學(xué)：ch3-6幾類簡單的微分方（2）

1、2013年01月4日16.66.6、微分方程應(yīng)用舉例、微分方程應(yīng)用舉例應(yīng)用微分方程解決實際問題的基本步驟：應(yīng)用微分方程解決實際問題的基本步驟： （1） 分析問題，建立起實際問題的數(shù)學(xué)分析問題，建立起實際問題的數(shù)學(xué) 模型模型常微分方程常微分方程（組）（組）（2） 求解與分析這一數(shù)學(xué)模型，即求出求解與分析這一數(shù)學(xué)模型，即求出 相應(yīng)的常微分方程（組）的解，或相應(yīng)的常微分方程（組）的解，或 是精確解或近似解，其中還包括分是精確解或近似解，其中還包括分析解的特性析解的特性2（3） 用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果（解的形式和數(shù)用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果（解的形式和數(shù)值定性分析等）回過頭去解決實際值定性分析等）回過頭去解決實際問題

2、，從而預(yù)測某些自然現(xiàn)象甚至問題，從而預(yù)測某些自然現(xiàn)象甚至 社會現(xiàn)象中的特定性質(zhì)，以便達到社會現(xiàn)象中的特定性質(zhì)，以便達到能動地能動地改變世界解決實際問題的目的。改變世界解決實際問題的目的。 1. 根據(jù)規(guī)律列方程，根據(jù)規(guī)律列方程， 2. 微分分析法（微元法），微分分析法（微元法）， 3. 模擬近似法。模擬近似法。 基本方法基本方法3幾種常見的列方程問題幾種常見的列方程問題1. 利用導(dǎo)數(shù)的物理意義及物理定律利用導(dǎo)數(shù)的物理意義及物理定律2. 利用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義利用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義3. 與定積分幾何應(yīng)用有關(guān)的問題與定積分幾何應(yīng)用有關(guān)的問題4. 積分方程求解問題積分方程求解問題5. 微小增量分析

3、法微小增量分析法6. 其它應(yīng)用問題其它應(yīng)用問題41. 利用導(dǎo)數(shù)的物理意義及物理定律利用導(dǎo)數(shù)的物理意義及物理定律).(,00tMMtMMMMt 的的變變化化規(guī)規(guī)律律隨隨鈾鈾含含量量求求已已知知成成正正比比的的含含量量度度與與未未衰衰變變的的原原子子放放射射性性元元素素鈾鈾的的衰衰變變速速.),:(這這種種現(xiàn)現(xiàn)象象稱稱為為衰衰變變，鈾鈾的的含含量量就就不不斷斷減減少少微微粒粒子子而而變變成成其其它它元元素素地地有有原原子子放放射射出出放放射射性性元元素素鈾鈾由由于于不不斷斷衰衰變變例例1dtdMv ）負負號號是是由由于于稱稱衰衰變變常常數(shù)數(shù)（0;0 dtdMk解解積分得積分得分離變量后分離變量后方

4、程方程)1()3(lnlntkCeMCkM 即即0)3()2(MC 得得，代代入入初初始始條條件件kteMM 0故故 dtkMdM衰變規(guī)律衰變規(guī)律(1)dMkMdt 由題意由題意00(2)tMM 初始條件初始條件6., 0,間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系求求降降落落傘傘下下落落速速度度與與時時成成正正比比，離離塔塔時時速速度度為為速速度度與與所所受受空空氣氣阻阻力力后后設(shè)設(shè)降降落落傘傘從從跳跳傘傘塔塔下下落落vR例例2解解 可分離變量可分離變量00tv dvmmgkvdt由牛頓第二定律由牛頓第二定律()kvk阻力比例系數(shù)阻力比例系數(shù)Pmg ( ),vv t 設(shè)下落速度為降落傘受重力設(shè)下落速度為降落傘

5、受重力7通通解解兩兩端端積積分分，分分離離變變量量 )()(ln11111keCCekmgvekvmgCmtkvmgkdtmkvmgdvkCtmkkCtMkkmgCvt 代代入入將將初初始始條條件件00)1(tmkekmgv .,近近似似于于勻勻速速運運動動以以后后逐逐漸漸先先加加速速)(kmgvkmgvt 82. 利用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義利用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義0()( )( )= limxf xxf xf xx ：導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為( )().YyfxXx 1()( )YyXxfx 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義( )0fx（）曲線曲線:( )Cyf x

6、 會求切線，法線在坐標軸上的截距；會求切線，法線在坐標軸上的截距；會求切點到指定點的距離會求切點到指定點的距離9100limx 0limx 0limx ( )(0)xf xfe 1100,( )( ,( )1( ),( )xxyf xx f xyf t dtf xx 設(shè)對任意曲線上點處的切設(shè)對任意曲線上點處的切線在軸上的截距等于求的一般表達式。線在軸上的截距等于求的一般表達式。( )( )()Yf xfxXx 解解 切線：切線：0( )( )XYf xfx x xxfxf)()( xdttfx0)(1)( )()(2xfxfxxxf ( )( )0 xfxfx0dpxpdx1cpx21ln)(

7、cxcxf 0)()( xfxfx21ln)(cxcxf ( )xfx0 11( )( )xfxccfxx 即即另解另解可降階方程可降階方程:( )pfx 例例2123 3(,23 )2LxoyLMyAMAOALL設(shè)曲線 位于平面第一象限內(nèi)，上任意一點處的切線與 軸總相交，交點記為 ，已知且 過點，求例的方程13( , ), (), Mx yMAYyy Xx設(shè)點的坐標則切線的方程為：解解212, dyyyxdxx 221 dyyxdxx 212yyyxx化簡后為 22(0)()xyyxyyxyMAOA由有(0,), Ayxy所以 點坐標為 0, XYyxy令有1421122221 ()()3

8、3(,)32 23dxdxxxdzzyzxdxxzzex edxcxxcycxxLycxxLcLyxx 令 有 為關(guān)于 的一階線性方程即因為 在第一象限內(nèi)，所以又因為 過點故 的方程為153. 與定積分幾何應(yīng)用有關(guān)的問題與定積分幾何應(yīng)用有關(guān)的問題21dyydxx (2 )0( )1( )1,2 xdyxy dxyy xyy xxxxx 求微分方程 的一個解，使得由曲線與直線以及軸圍成的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)例體體積最小微分方程，定積分幾何應(yīng)用，極值應(yīng)用綜合題微分方程，定積分幾何應(yīng)用，極值應(yīng)用綜合題1622221dxdxxxdyydxxyeedxcyxcx ：化方程為，即 解2222131

9、157( )()()523V cxcxdxcc體積62157562()0, ( )0521245dVccV cdc 275( )124yy xxx于是 172(1,0),( ,)(0)(0)(1) 283XOYLMP x yxOPaxaLLyaxa例 在平面上，連續(xù)曲線 過點其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于常數(shù)求 的方程；（ ）當 與直線所圍成平面圖形的 面積為時，確定 的值。181122 (1) ( ), () (1,0) dxdxxxLyy xyyOPxyyaxxyeaxedxcaxcxMcayaxax 解：設(shè) 的方程為 其切線斜率：的斜率：據(jù)已知求得其解為將代入得192 383

10、4 34)()( )2 , 2( ),0 , 0( )2(202aaadxaxaxaxaSa故由題設(shè)面積交點：20 ( ),( )( )0. ( ) 0, 1, (1) yf xf xf xyf xyxxt txt設(shè)曲線其中是可導(dǎo)函數(shù)，且已知曲線與直線所圍的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積是該曲邊梯形面積值的倍，求該曲線的方程。2120020 ( )( ) ( ) ( )( ) 1 (1)1 (1)0 2 ( )( ) 2 ( )( )( )2 2d1 1d2tttfx dxtf x dxftf x dxtf ttfff t ftf ttftf tyyyttyttyy解：由題意兩邊求導(dǎo)帶入得

11、 或（舍去）再求導(dǎo)記 ，則得 或2211dd221322 e(edC)2C2 (C)331 1, (1)1 C3123312 33yyyytyyyyytftyyxyy因 此帶 入得 從 而 故 所 求 曲 線 方 程 為234. 積分方程求解問題積分方程求解問題(0)ln2f ( )2 ( )fxf x 解：兩邊求導(dǎo)得 解：兩邊求導(dǎo)得 2( )xf xCe2( )ln2xf xe代初始條件得代初始條件得ln2C 例例124 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令令txu0( )sin( )dxf xxf uu 則

12、有則有( )( )cosfxf xx (0)0f 利用公式可求出利用公式可求出1( )(cossin)2xf xxxe 例例2255. 微小增量分析法微小增量分析法26例例1 1AB 10010,3/,2/,:1AB容容器器內(nèi)內(nèi)有有公公升升的的鹽鹽水水，含含公公斤斤的的鹽鹽現(xiàn)現(xiàn)以以 公公升升 分分的的均均勻勻速速度度，從從 管管放放進進凈凈水水沖沖淡淡鹽鹽水水 又又以以 公公升升 分分速速度度將將鹽鹽水水從從 管管抽抽出出問問小小時時后后容容器器中中還還剩剩多多少少鹽鹽？27dxttxdtttxtttxt 100)(2,100)()23(100)(:時時刻刻的的濃濃度度(),( )txxx t

13、 設(shè)設(shè)時時刻刻 分分鐘鐘 容容器器中中含含鹽鹽為為 公公斤斤建建立立)0()()( dxdxtxdtttxt含含鹽鹽量量含含鹽鹽量量時時刻刻dxdtBdxBdt 濃濃度度管管流流出出的的鹽鹽量量從從管管流流出出的的鹽鹽量量時時間間內(nèi)內(nèi)從從2:解解2852520,1010101010000(1)txccxt 代代入入上上式式0,210100tdxxxdtt初值問題211)100(100ln)100ln(ln21tcxtcxctx )(906. 31610)160(1060232560公公升升分分 txt29 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時空氣中開始時空氣中含有含有 的的

14、 , 為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺風(fēng)量為每秒用一臺風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機立方米的鼓風(fēng)機通入含通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時以同樣的同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機開動問鼓風(fēng)機開動6分分鐘后鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?例例222CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0解解 設(shè)鼓風(fēng)機開動后設(shè)鼓風(fēng)機開動后 時刻時刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt

15、302CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO31Oxy),(yxMATS.曲曲面面的的方方程程軸軸平平行行，求求這這旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)鏡鏡反反射射后后都都與與旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)出出的的一一切切光光線線經(jīng)經(jīng)凹凹由由旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸上上一一點點發(fā)發(fā)形形狀狀的的凹凹鏡鏡，假假設(shè)

16、設(shè)有有一一旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面例例5 5)0)(:, xyyCCx設(shè)設(shè)（見見圖圖）曲曲線線為為平平面面與與旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面截截得得的的的的任任一一平平面面為為坐坐標標面面，過過軸軸軸軸，光光源源為為坐坐標標原原點點，取取旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸為為解解3222, OAOMMyOxOMASMT 由光學(xué)中的反射定律，有由光學(xué)中的反射定律，有0,yYXxy 令令()YyyXxM過點的切線為：過點的切線為：XyAOxy 22yxyyx211()y xy x 22)(yxxyy 故故Oxy),(yxMATS33211()y xyy x 22111duuuxdxu211duuuxdxu,duyuxdx代入以上方程得代入以上方程得y xu 令令1211ln(1)lnlnlnuxCuu22111udxduxuu 分離變量后，分離變量后，12111yCuu12111xuCuu34).(, 同同樣樣可可解解方方程程令令yxv12111yCuu222 ()2CyzCx旋轉(zhuǎn)面方程為：旋轉(zhuǎn)面方程為：222(2)1(2C