北師大八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章-勾股定理(培優(yōu)試題)

1、北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章-勾股定理(培優(yōu)試題)第一章 勾股定理探索勾股定理專題一 有關(guān)勾股定理的折疊問(wèn)題1. 如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形abcd折疊，使點(diǎn)d落在bc邊的中點(diǎn)e處，點(diǎn)a落在f處，折痕為mn，則線段cn長(zhǎng)是（）a3cmb4cmc5cmd6cm2. 如圖，ef是正方形兩對(duì)邊中點(diǎn)的連線段，將a沿dk折疊，使它的頂點(diǎn)a落在ef上的g點(diǎn)，求dkg的度數(shù)3 已知rtabc中，acb=90°，ca=cb，有一個(gè)圓心角為45°，半徑長(zhǎng)等于ca的扇形cef繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)，直線ce、cf分別與直線ab交于點(diǎn)m、n（1）如圖，當(dāng)am=bn時(shí)，將acm沿cm折疊，點(diǎn)a落在弧ef的中

2、點(diǎn)p處，再將bcn沿cn折疊，點(diǎn)b也恰好落在點(diǎn)p處，此時(shí)，pm=am，pn=bn，pmn的形狀是_線段am、bn、mn之間的數(shù)量關(guān)系是_；（2）如圖，當(dāng)扇形cef繞點(diǎn)c在acb內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段mn、am、bn之間的數(shù)量關(guān)系是_am2+bn2=mn2試證明你的猜想；（3）當(dāng)扇形cef繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)至圖的位置時(shí)，線段mn、am、bn之間的數(shù)量關(guān)系是_am2+bn2=mn2（不要求證明） 專題二 勾股定理的證明4在教材中，我們通過(guò)數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用四個(gè)完全相同的直角三角形拼圖的方式驗(yàn)證了勾股定理的正確性問(wèn)題1：以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，探究s+ s與s的關(guān)系（如圖

3、1）問(wèn)題2：以直角三角形的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，探究s+s與s的關(guān)系（如圖2）問(wèn)題3：以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓，探究s+ s與s的關(guān)系（如圖3）5. 如圖，是用硬紙板做成的兩種直角三角形各有若干個(gè)，圖 中兩直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c；圖中兩直角邊長(zhǎng)為c請(qǐng)你動(dòng)腦，將它們拼成能夠證明勾股定理的圖形（1）請(qǐng)你畫出一種圖形，并驗(yàn)證勾股定理（2）你非常聰明，能再拼出另外一種能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫出拼后的圖形（無(wú)需證明）答案：1a 【解析】設(shè)cn=x cm，則dn=（8-x）cm. 由折疊的性質(zhì)知en=dn=（8-x）cm，而ec=bc=4 cm，在rtecn中，由勾股定理

4、可知en2=ec2+cn2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3故選a2解：df=cd=dg，dgf=30°ekg+kge=90°，kge+dgf=90°，ekg=dgf=30°2dkg+gke=180°，dkg=75°3解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：camcpm，cnbcnpam=pm，a=cpm，pn=nb，b=cpn. mpn=a+b=90°，pm=pn=am=bn.故pmn是等腰直角三角形，am2+bn2=mn2（或am=bn=mn）（2）am2+bn2=mn2.證明:如圖,將acm沿cm折疊，得

5、dcm，連dn，則acmdcm，cd=ca，dm=am，dcm=acm.同理可知dcn=bcn，dcnbcn，dn=bn，而mdc=a=45°，cdn=b=45°，mdn=90°，dm2+dn2=mn2，故am2+bn2=mn2（3）am2+bn2=mn2；解法同（2）4解：探究1：由等邊三角形的性質(zhì)知：s=a2，s=b2，s=c2，則s+ s=（a2+b2）.因?yàn)閍2+b2=c2，所以s+ s=s探究2：由等腰直角三角形的性質(zhì)知：s=a2，s=b2，s=c2則s+s=（a2+b2）.因?yàn)閍2+b2=c2，所以s+s=s探究3：由圓的面積計(jì)算公式知：s=a2，s=

6、b2，s=c2則s+ s=（a2+b2），因?yàn)閍2+b2=c2，所以s+ s=s5解：（1）如圖所示，根據(jù)正方形的面積可得（a+b）2=4×ab+c2，即a2+b2=c2（2）如圖所示一定是直角三角形嗎專題 判斷三角形形狀1. 已知a，b，c為abc的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，則它的形狀為（）a直角三角形b等腰三角形c等腰直角三角形d等腰三角形或直角三角形2. 在abc中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且mn0，（1）你能判斷abc的最長(zhǎng)邊嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）abc是什么三角形，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算的方法說(shuō)明3. 張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表

7、：n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1（1） 請(qǐng)你分別觀察a、b、c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n （n1）的代數(shù)式表示a，b，c（2）猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？請(qǐng)證明你的猜想答案：1d 【解析】 a2c2-b2c2=a4-b4，（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，a+b0，a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，即它是等腰三角形或直角三角形故選d2解：（1）a是最長(zhǎng)

8、邊，其理由是：a-b=（m2+n2）-（m2-n2）=2n20，a-c=（m2+n2）-2mn=（m-n）20，ab，ac，a是最長(zhǎng)邊.（2）abc是直角三角形，其理由是：b2+c2=（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2=a2，abc是直角三角形3解：（1）由圖表可以得出：n=2時(shí)，a=22-1，b=2×2，c=22+1；n=3時(shí)，a=32-1，b=2×3，c=32+1；n=4時(shí)，a=42-1，b=2×4，c=42+1.a=n2-1，b=2n，c=n2+1（2）以a、b、c為邊的三角形是直角三角形.a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，

9、c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，a2+b2=c2，以a、b、c為邊的三角形是直角三角形勾股定理的應(yīng)用專題 最短路徑的探究1. 編制一個(gè)底面周長(zhǎng)為a、高為b的圓柱形花柱架，需用沿圓柱表面繞織一周的竹條若干根，如圖中的a1c1b1，a2c2b2，則每一根這樣的竹條的長(zhǎng)度最少是_.2. 請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖（1），一圓柱的底面半徑和高均為5dm，bc是底面直徑，求一只螞蟻從a點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)c的最短路線.小明設(shè)計(jì)了兩條路線：路線1：側(cè)面展開圖中的線段ac.如下圖（2）所示：設(shè)路線1的長(zhǎng)度為，則；比較兩個(gè)正數(shù)的大小，有時(shí)用它們的平方來(lái)比較更方便哦！路線2：高線ab + 底面直徑b

10、c，如上圖（1）所示，設(shè)路線2的長(zhǎng)度為，則. 所以要選擇路線2較短。（1）小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dm，高ab為5dm”繼續(xù)按前面的方式進(jìn)行計(jì)算.請(qǐng)你幫小明完成下面的計(jì)算：路線1：_；路線2：_ , ( 填>或<).所以應(yīng)選擇路線_(填1或2)較短.(2)請(qǐng)你幫小明繼續(xù)研究:在一般情況下,當(dāng)圓柱的底面半徑為r,高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)a出發(fā)沿圓柱表面爬行到c點(diǎn)的路線最短.3. 探究活動(dòng):有一圓柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直徑為cm，螞蟻爬行的速度為2cm/s.（1）如果在盒內(nèi)下底面的a處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對(duì)面

11、中部點(diǎn)b處的食物，那么它至少需要多少時(shí)間（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)，結(jié)果可含根號(hào)）（2）如果在盒外下底面的a處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對(duì)面中部點(diǎn)b處的食物，那么它至少需要多少時(shí)間（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)）答案：1. 【解析】 底面周長(zhǎng)為a、高為b的圓柱的側(cè)面展開圖為矩形,它的邊長(zhǎng)分別為a,b，所以對(duì)角線長(zhǎng)為，所以每一根這樣的竹條的長(zhǎng)度最少是.2.解：（1）25+2 49 1（2）l12=ac2=ab2+bc2=h2+（r）2，l22=（ab+bc）2=（h+2r）2，l12-l22=h2+（r）2-（h+2r）2=r（2r-4r-4h）=r（2-4）r-4h.r恒大于0，只需看后面的式子即可當(dāng)r=時(shí)，l12=l22；當(dāng)r時(shí)，l12l22；當(dāng)r時(shí)，l12l223.解：（1