86多元函數(shù)微分學的幾何應用

1、8.6 8.6 多元函數(shù)微分學的幾何應用多元函數(shù)微分學的幾何應用一、空間曲線的切線和法平面一、空間曲線的切線和法平面定義定義設(shè)設(shè) m 是空間曲線是空間曲線 l 上的一個定點上的一個定點, m*是是 l 上的一個動點上的一個動點, 當當m* 沿曲線沿曲線 l 趨于趨于m 時時 , 割線割線mm* 的極限位置的極限位置 mt （如果極（如果極限存在）限存在） 稱為曲線稱為曲線 l 在在 m 處的切線處的切線下面我們來導出空間曲線的切線方程下面我們來導出空間曲線的切線方程。設(shè)空間曲線的方程。設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx (1)式中的三個函數(shù)均可導式中的三個函數(shù)均可導.且且導數(shù)不同

2、時為零導數(shù)不同時為零;),(0000ttzyxm 對應于對應于設(shè)設(shè).),(0000*tttzzyyxxm 對應于對應于ozyxm*.m的的方方程程割割線線*mmzzzyyyxxx 000ozyxm*.m考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程上式分母同除以上式分母同除以, t ,000zzzyyyxxx t t t ,0,*時時即即當當tmm 曲線在曲線在m處的處的切線切線方程方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttt 法平面：法平面：過過 m0 點且與

3、切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解?？臻g曲線方程?？臻g曲線方程,)()( xzxy 取取 x 為參數(shù)為參數(shù),),(000處處在在zyxm切線方程為切線方程為,)()(100000 xzzxyyxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(00000 zzxyyxxx ?？臻g曲線方程?？臻g曲線方程,0),(0),( zyxgzyxf例例 2 2 求曲線求曲線6222 zyx，0 zyx在在點點)1,

4、2, 1( 處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程.二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線。設(shè)曲面方程為。設(shè)曲面方程為0),( zyxfntm),(),(),(000tttt ,)()()(: tztytx 在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點過點m 的曲的曲線線),(000zyx切線方程為切線方程為)()()(000000tzztyytxx 曲線在曲線在m( )處的切向量處的切向量0tt 下面證明下面證明:此平面稱為此平面稱為 在該點的在該點的切平面切平面. 上過點上過點 m 的任何曲線在該點的切線都的任何曲線在該點的切線都在同一平面上在同一平面上. 令令),(),(),(000

5、000000zyxfzyxfzyxfnzyx 證證:在在 上上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttf,0處求導處求導兩邊在兩邊在tt ,0mtt對應點對應點注意注意 得)(, )(, )(000tttt)(0t)(0t)(0t0),(000zyxfx),(000zyxfy),(000zyxfznt 切向量由于曲線由于曲線 的任意性的任意性 , 表明這些切線都在以表明這些切線都在以為法向量為法向量n的平面上的平面上 , 從而切平面存在從而切平面存在 .切平面切平面方程為方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfz

6、yx 通通過過點點),(000zyxm而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱稱為為曲曲面面在在該該點點的的法法線線.法線法線方程為方程為),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量法向量. .曲面在曲面在m處的法向量即處的法向量即),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx ?？臻g曲面方程為。空間曲面方程為),(yxfz 令令,),(),(zyxfzyxf 曲面在曲面在m處的處的切平面切平面方程為方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxx

7、yxfyx 曲面在曲面在m處的處的法線法線方程為方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx因為曲面在因為曲面在m處的切平面方程為處的切平面方程為)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點的上點的豎坐標豎坐標的增量的增量的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz ),(yxfz 在在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在點點),(000zyx處處的的切切平平面面上上的的點點的的豎豎坐坐標標的的增增量量.法向量法向量2211cosyxff將將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法

8、向量的法向量的方向余弦：方向余弦：分別記為分別記為則則,1cos,1cos2222yxyyxxffffff,用用表示法向量的方向角表示法向量的方向角, 并假定法向量方向并假定法向量方向.為銳角則向上向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx 例例 3 3 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面122 yxz在點在點)4 , 1 , 2(處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程.例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在點在點)0 , 2 , 1(處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程.例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的的切平面方程切平面方

9、程. 例例6 在橢球面在橢球面 上求一點，上求一點，1222222 czbyax使它的法線與坐標軸正向成等角使它的法線與坐標軸正向成等角解解令令1),(222222 czbyaxzyxf則則2222,2,2czfbyfaxfzyx 2020202,2,2czbyax注意到法線與坐標軸正向的夾角注意到法線與坐標軸正向的夾角 ,相等相等故故 coscoscos 202020czbyax1220220220 czbyax解得解得2221cba ),(222222222222cbaccbabcbaa 所求的點為所求的點為),(000zyxp的法線的方向向量為的法線的方向向量為 故橢球面上任一點故橢球面

10、上任一點練習練習 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .解解設(shè)切點設(shè)切點),(000zyx,2,2,6000zyxn 已知平面的法向量為已知平面的法向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點滿足曲面和平面方程切點滿足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 依題意依題意2)曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線（求法向量的方向余弦時注意（求法向量的方向余弦時注意符號符號）三、小結(jié)三、小結(jié)1)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面（當空間曲線方程為一般式時，求切向量注意采（當空間曲線方程為一般式時，求切向量注意采用用推導法推導法） 作業(yè)作業(yè) p45： 2；3；4；5；8；9 p73： 10；11；12求曲線0453203222zyxxzyx