重積分的應用

1、第九章（二）重積分的應用重積分的應用十分廣泛。尤其是在幾何和物理兩方面。幾何方面的應用有利 用二重積分求平面圖形的面積；求曲面面積；利用三重積分求立體體積。物理方 面的應用有求質量；求重心；求轉動慣量；求引力等。在研究生入學考試中，該 內容是高等數學一和高等數學二的考試內容。通過這一章節(jié)的學習，我們認為應達到如下要求：1掌握重積分的幾何和物理意義，并能應用于實際計算。2、對于重積分的應用領域和常見應用問題有全面的了解，并能利用重積分 解決應用問題。3、具備空間想象能力，嫻熟的重積分計算技巧和將理論轉化為應用的能力一、知識網絡圖求平面圖形面積幾何應用求立體體積重積分的應用求曲面面積求質量物理應用

2、求重心求轉動慣量求引力、典型錯誤分析例1.求如下平面區(qū)域D的面積，其中D由直線x 2, y x及曲線xy 1所圍成dy2D錯解S1 dy dxi(2y)dy分析平面圖形的面積可以利用二重積分來計算， 這一點并沒有錯。問題在于區(qū) 域D，若先按x積分，再按y積分，則應注意到區(qū)域D因此劃分為兩個部分， 在這兩個部分，x、y的積分限并不相同，因此此題若先積 x,后積y，則應分兩 部分分別積分，再相加。正確解S dD1 2idy i dx2 y2 21 GV y dXIn 2例2.設平面薄片所占的閉區(qū)域D是由螺線2上一段?。?2所圍成'它的面密度為（x, y） X2 y2，求該薄片的質量。錯解M

3、dD- 2 22 d r dr0 00d424分析平面物體的質量是以面密度函數為被積函數的二重積分，因此解法的第一步是正確的。注意到積分區(qū)域的邊界有圓弧，而被積函數為（x,y） x2 y2，因此積分的計算采用極坐標系算， 這一點也是正確的。問題在于在直角坐標轉化r。導致計算結果為極坐標時，dxdy應由rdrd來代替，解題過程中缺少了一項錯誤。因此r務必不能遺漏正確解MdD例3.計算以xoy面上的圓周02drdrx21圍成的區(qū)域為底,40而以曲面z x2 y2為頂的曲頂柱體的體積錯解VdVD11dy1 y21y2dxx22ydz分析如按此思路求解，即使接下去采用極坐標變換法，計算量仍然相當大，極

4、 易導致計算錯誤。該解法的不當之處在于沒有注意到底和面都具有對稱性， 可利 用對稱性減少計算量。正確解VdVD1(x2 y2)dxdy 4 02 d1r2 rdr 0 2例4.求錐面z. x2 y2被柱面z22x所割下部分的曲面面積。錯解錐面z.x2 y2被柱面z22x所割下部分的曲面在xoy面上的投影區(qū)2 cos2 02 d 0 rdr 4域為x2 y2 2x，因此S dxdyD分析求曲面的面積，應首先確定曲面在坐標面上的投影區(qū)域,°2COS2 d這一點是正確的。但解法中忽略了求曲面積分在dxdy前應有一因子1 z z正確解錐面z x2 y2被柱面z2 2x所割下部分的曲面在xoy

5、面上的投影區(qū)域為x2 y2 2x。而12y2x2"v2。y因此S 、2dxdy 2、- 2：dD2cosrdr4 2 2 cos2o.2例5.設薄片所占的閉區(qū)域D為半橢圓區(qū)域:2 x2 a2yb71; y求均勻薄片的重心(x, y)。錯解:Mab2mxxdxdyDaxdxab a2 x20a dybax a2x2 dxaMxM 0又因 MyydxdyD-ab2，所以x34b。3分析重心的計算公式為勺 Mxm- MyM 申，但Mydxdy ，而DM y xdxdy。此類公式容易混淆。D由于是均勻薄片，D為半橢圓區(qū)域具有對稱性，因此ydxdyaa2 x222adx0aydy Tab了，所

6、以ab232 ab3uyX,dud3 - 2Vu,4b4b一，所以（x, y） （0, 一）。33三、綜合題型分析 例6.求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域 D的面積：3333D由曲線y x ,y 4x，- y，- 4y所圍成的第一象限內的閉區(qū)域。分析試著畫草圖發(fā)現(xiàn)區(qū)域D的形狀不容易確定。但若注意到四條曲線方程可變y , y » x , x ,y x形為飛 1,-T 4,w 1,N 4。由此想到可令u,可 V ,從而將x x y yx y不規(guī)則區(qū)域D化成一個方形區(qū)域。yx解令p u,p v，則區(qū)域D化為：1 u 4,1 v 4。xyx方法小結對于不規(guī)則圖形，欲求其面積，可注意其方程是否有規(guī)律

7、性，從中尋 求適當的變量替換，將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則圖形，以簡化計算。例7.求平面-y Z 1被三坐標面所割出的有限部分的面積。a b cz 2 z 2分析根據曲面面積計算公式：A . 1 () (一)dxdy，平面DxJx y1，即以a,b為直角邊的直角三角形-y z 1在xoy面上的投影為-y a b ca b如圖：ab解平面-y - 1可表示為za b ccy。故上 二上bx ay2 cb22 2z - 為一常數。因此問題就轉化為計算投影區(qū)域的y面積。而本題的投影區(qū)域恰好為一三角形。故可直接求出其面積。 ；2z z = 1 cV G)2亨dxdy。首先須 r y . a1 -2, 2 ,

8、 2 2 2 2 -a b b a c a 。 ab(x)2( yg1 2. 2 2 2 a b b a c ab2a2 dxdyD1ab1 2 2 . 2 2一、a b b c 22 2 . 2 2 2 2 1v a b b a c a -ab2方法小結根據曲面面積計算公式:特點在于因子“ 1將曲面方程化成z f(x,y)的形式。并求出曲面在坐標面上的投影區(qū)域。本題的例8 .計算由四個平面x 0, y0,x 1,y1所圍成的柱體被平面z 0及2x 3y z 6截得的立體的體積。分析首先要畫出題設的柱體為此先考察柱體在xoy面上的投影：因為柱體被平面2x 3y z 6所截，其在投影正方形四個頂

9、3, 1, 4,連接相應的交線，即得所求立體的草圖。點上的高分別為6,y0 x 1,0 y 1 。dVD1 10dx0dy6 2x3ydz1dx010(62x3y)dy6y 2xy |y21 dx02x dx.為此須了解各類常見 并能繪出各類幾何體的方法小結求立體圖形的體積，關鍵在于正確地畫出圖形 空間幾何體（如平面、直線、二次曲面等）的方程和形狀。 交點或交線。從而確定所求幾何體的形狀。例9 .求由平面x 0, y 0,x y 1所圍成的柱體被平面z 0及拋物面x2 y26 z截得的立體的體積。分析求立體的體積，首先需畫出草圖。注意到拋物面x2 y2 6 z開口向下,因此截柱體所得立體以x2

10、 y26 z為頂，以平面z 0為底。而在xoy面上的0,x yy26 x21所圍成。idV01°dxxdydz1°dx(6y2)dy6y2 1xy 3yx dx 06x133(1 x)方法小結若所求立體為柱體被其他曲面所截得，底部曲面方程。即得z的積分區(qū)域。而x,y的積分區(qū)域則可根據頂部在 的投影而定。則只需確定其頂部曲面方程和xoy面上例10.利用三重積分計算下列曲面：球面x2 y2 z222az, (a 0)及 x所圍成的立體的體積。分析所求立體的上部為球面，下部為圓錐面，在在 因此不難化成三重積分。但注意到所涉及的曲面方程,xoy面上的投影區(qū)域為圓。用球面坐標計算會更

11、為方x用球面坐標,dVa立體區(qū)域為042a cos4d02a cossindr44 sino2acosd 0783.4 a sin o 3方法小結若所求立體為球面、面坐標計算更為方便。3 cos163 cos3圓錐曲面等所圍成,d cos投影區(qū)域為圓域，則采用球例11.設有一等腰直角三角形薄片，腰長為a,各點處的面密度等于該點到直角頂點的距離的平方。求該薄片的重心x0分析由于面密度等于該點到直角頂點的距離的平方，即 （x, y） X2y2。由對稱性可知：重心x,V）滿足：x y。套用重心公式，即可求得。a axa a x 2M 0dx0 (X,y)dy 0dx0 (Xy2)dyax2x3(a

12、x)3dx 1a436M y(x,y)xdxdyDaxdx0(x2y2)dyx ax2尹 x)3dx1 5 a 151 5M y從而薄片的重心坐標為：x y-a152-a。所以薄片的重心為P 2、 (a, a)M1 4 a55 56x dxdyy dxdy方法小結求重心有固定的公式：xM yD_，yM xDMdxdyMdxdyDD計算量和r = 4sin 9之間的均勻薄片的重心當面密度函數關于x,y對稱，而區(qū)域D也為對稱圖形時，可得X V，從而減D0,只如圖所示：均勻薄片D對稱于y軸,重心（X, y ）必位于y軸上,所以X 需計算y.根據題設，用極坐標計算會比較方便。解不妨設密度為1，因為閉區(qū)

13、域D對稱于y軸，所以重心（x, y ）必位于y軸 上，于是x 0ydxdyM再按公式y(tǒng) 叫衛(wèi) 計算y ，由于閉區(qū)域D位于半徑為1與半徑為2的兩MdxdyD圓之間，所以它的面積等于這兩個圓的面積之差，即A = 3 n。再利用極坐標計算積分：ydxdyDr sin drdsin d0Dr2dr 7 ，所以2si nydxdy一 M xyD77。所以重心為(0,-)。Mdxdy333解設半圓形薄片的半徑為R,所接矩形薄片的另一邊長度為H。由題意，均勻方法小結求重心有固定的公式:Myx dxdyD，y dxdyDy dxdyDdxdyD如果物體為均勻薄片，可設密度為 計算也比較巧妙。1，從而進一步簡化

14、計算。而題中薄片面積的例13.求均勻半球體的重心。分析為使物體關于坐標系具有對稱性，可取半球體的對稱軸為z軸，原點取在 球心上，這樣半球體的重心就位于 z軸上，從而重心只需算一個坐標分量。解取半球體的對稱軸為z軸，原點取在球心上，又設球半徑為 a，則半球體 所占空間閉區(qū)域 Q可用不等式x2+y2+z2<a2,z>0來表示。顯然，重心在z軸上,11 ,3zz dvzdvMV23 丄32,ad2 cos sind200因此重心為3a、(0,0,)。8故 x y 0。ar3dr 3a0 8a3 r cosr2 sin drd d方法小結求物體的重心，也可盡量使物體的位置關于坐標系具有對稱

15、性，從而 達到簡化計算的目的。而該題中由于物體為半球體，因此用球面坐標計算三重積 分會更為方便。例14.在均勻半圓形薄片的直徑上，要接上一個一邊與直徑等長的均勻矩形薄片 為了使整個均勻薄片的重心恰好落在圓心上，問接上去的均勻薄片另一邊的長度 應是多少？分析設半圓形薄片的半徑為 R,所接矩形薄片的另一邊長度為 H （如下圖） 根據題意，均勻薄片的重心（x, y ）滿足：x y=0。從中可逆推出H值。y-H薄片的重心（x, y ）滿足：x y 0。而 M xydxdyD:dx : X ydy (3r3 H 2R),又因 y MxM 0 32所以得R3 H 2R 0。從中解得H32Ro所以接上去的均

16、勻薄片另一邊的3長度為其重心恰好落在圓心上。方法小結對于本題，選擇一個合理的坐標系有助于我們解題。 由于將圓心置于 原點，從而使重心坐標（x, y ）滿足：x y 0。從中可求得待定的邊長。例15.設有一半徑為R的球體，Pc是此球體的表面上的一個定點，球體上任一 點的密度與該點到P。距離的平方成正比（比例常數 k>0），求球體的重心位置。分析恰當地選取坐標系可以簡化計算，因此可選球心為原點，射線OP0為正x軸建立直角坐標系。OPo為正x軸建立直角2 2 _2y z R，設的解記所考慮的球體為，以的球心為原點O,射線2 坐標系，則點P0的坐標為（R，0，0），球面的方程為x 重心位置為（x

17、, y,z），x k(x R)k(x R) y2 z2dV2 2y z dV由對稱性，得（xR)2z 0，z2dV而(x2z2dVR2dVx(xR)22 2r r sindrR5z2dV2R x2dV2R38x隹(x2R6kk32 R515所以的重心位置為z2dV4,0,方法小結本題也可將定點Po設為原點，球心為Q，射線PoQ為正z軸建立直角坐標系，則球面的方程為X y z 2Rz，采用如上方法可求的重心位置為（0，0，5R/4）。例16.已知均勻半球體的半徑為a，在該球體的底圓的一旁拼接一個半徑與球的 半徑相等，材料相同的均勻圓柱體，使圓柱體的底圓與半球的底圓重合， 為了使 拼接后的整個立體

18、重心恰好是球心，問圓柱的高應為多少？分析建立坐標系，使圓柱體與半球的底圓在 XOY面上，圓柱體的中心軸為 z 軸。這樣立體關于坐標系具有對稱性，由題意知重心恰好為原點，利用重心坐標H,半球和圓柱體分別為計算公式可反解出圓柱的高。解如圖所示，設所求圓柱的高為z dvzdvy z1V(0,于是zdvzdv)zdvzdvsina0rdrH0 zdz2 22(2H 2a2)D中解得 方法小結本題由于適當選取了坐標系，使重心坐標簡化，而是否應用柱面坐 標和球面坐標計算三重積分又是根據立體的特征而定。2 2例17設均勻薄片，面密度為1,薄片所占區(qū)域為：務 £ 1，求轉動慣量I ya b1區(qū)域D上

19、的轉動慣量。4解一Iy2x dxdyDa 24 x2dx0b.a a02 x2dy4：ax" x2dx令 x a sin,dx a cos,x0,0, x a,4sin2cos23.a b2 (sin 20)2d3.a b(1 cos4 )da3b_2 sin 43. a b 4分析二解法一中的變量替換是比較常見的。 考慮到區(qū)域 的變量替換，將橢圓區(qū)域化為圓，從而簡化計算。D是橢圓，可通過適當解二令 x ar cos ,ybrsin ，則在此變換下,2 x2 a2殳1化為:0 r 1,02(x,y)又右abr。所以Iyx2dxdyDa2r2 cos2 abrdrd3.a bcos21

20、 3r3dr0分析一由于區(qū)域D為橢圓，中心位于原點。因此具有對稱性。所以求轉動慣量 時，只須求3,a b4方法小結在遇到積分區(qū)域為對稱圖形時，常利用對稱性來簡化計算。而根據積 分形式或積分區(qū)域采用適當的變量替換往往可以提高計算效率。對于特殊圖形 ，1,可令x ar cos ,y brsin ，從而變換為圓r 1。例18.求由拋物線yx2及直線y1所圍成的均勻薄片（面密度為常數）對于直線y1的轉動慣量。分析均勻薄片對于x軸（其方程為y 0 ）的轉動慣量有公式Ix2y dxdy，類似地，對于直線y 1，其轉動慣量(y1)2dxdy。(y1)2dxdy1dx ,(y1)2dy3 1(y 1)2dx

21、x368105分析設薄片所占閉區(qū)域D可表示為x20,而所求轉動慣量即半圓8 (x21)3dx3 1方法小結當遇到求物體關于非坐標軸的轉動慣量時， 可根據物體關于坐標軸的 轉動慣量公式作平行推廣。從而使重積分的應用更為廣泛。例19.求半徑為a的均勻半圓薄片(面密度為常量P)對于其直徑邊的轉動慣量。薄片對于x軸的轉動慣量I x。解設薄片所占閉區(qū)域D可表示為x2a2, y0，貝U所求轉動慣量即半圓薄片對于x軸的轉動慣量I x。Ixy2dxdyDMa24r3sin2 drdDsin2 d0ar3dr - a4 042其中Ma2為平面薄片的質量。,可將該邊置于坐標軸上，盡量使物方法小結求物體關于某一條邊

22、的轉動慣量 體的位置關于坐標系具有對稱性，從而達到簡化計算的目的。例20.求高為h,半頂角為匚,密度為 的正圓錐體繞對稱軸旋轉的轉動慣量。4分析取對稱軸為z軸，圓錐體頂點為原點，則問題化為求物體關于坐標軸的轉 動慣量。可直接套用公式。解取對稱軸為Z軸，圓錐體頂點為原點，建立坐標系。則所求轉動慣量為Izh 2z 25dz d r2 rdr h50000IQ方法小結取轉動軸為坐標軸，則問題化為求物體關于坐標軸的轉動慣量?？蒊z(x2 y2) dv直接套用公式。而柱面坐標的運用可進一步簡化計算。例21.求均勻柱體：x2 y2R2,0 z h對于點M (0,0,a) (a>h)處的單位質量的質點

23、的引力。分析根據柱體的對稱性,分別是x,y的奇函數，易知Fx,Fy均rr為零。因此只需計算Fz。解由柱體的對稱性，及竽,G糾分別是x,y的奇函數，易知Fx,Fy 0rr而Fzz a.dvz I 22(2 3(,x y (z a)h0(za)dzx2dxdy2223(、X y (z a)h0(za)dzrrdr0 /22、3(:r (z a)2 G L R2a2 h , R2 (h a)2方法小結從上題中可以看出，勻質具有對稱性的物體對某一質點的引力， 可利 用其對稱性，及被積函數的奇偶性來簡化計算。當遇到積分域為圓域時，用極坐 標計算更為簡便。例22 在xoy面上有一質量為M的勻質半圓形薄片，

24、占有平面區(qū)域：x2 y2 R2, y 0,的，過圓心O垂直于薄片的直線上有一質量為 m的質點P, OP a，求半圓形薄片對質點P的引力。分析根據引力計算公式，首先需求出勻質半圓形薄片的密度。由區(qū)域D的對稱性知Fx 0, Fy, Fz的計算可套用公式。解由已知，令為面密度，薄片面積S 1 R2，薄片質量2Fy2MR2如圖所示直角坐標系 域D的對稱性知Fxyd2yGm D X22GmMRa2 32RFzsin0 r23 dra2 324GmM4GmMGma2GmMR22r2 2 aR.R2adr 22y a12R d rrInDXa232 20 2 rIn rr2 a2R:R2a22GmMaR2r

25、dra2 322aa2 322GmMR2aR2a2FX , Fy , FzhG 0(zFx中2a)dz00,Fy4GmMR2InR . R2 a2a2GmMR2R0 (Jr2 (z a)2)3aRa2rdr2 G R2 a2 hR2(h a)2可利方法小結從上題中可以看出，勻質具有對稱性的物體對某一質點的引力, 用其對稱性來簡化計算。當遇到積分域為圓域時，用極坐標計算更為簡便。四、考研試題分析例23.(1989年高數一)設半徑為R的球面的球心在定球面x2 y2 z2a2(a 0)上，問當R取何值時，球面在定球面內部的那部分面積最大？4答案R 4a.欲求空間曲面面積，球面在分析球面 在定球面內部的那部分面積屬于曲面面積必須建立曲面方程F (x, y, z) 0，并且明確曲面在坐標面上的投影區(qū)域。定球面內部的那部分可視為球面與定球面相交而成，因此明確所求曲面在 xoy解答設球面 方程為：X2 y2 (z a)2 R2.兩球面的交線在xoy面上的投影R2)設投影曲線所圍平面區(qū)域為 Dxy，球面 在定球面內部的那部分方程為:z a R2 x2 y2，這部分的面積為S