定積分及其應(yīng)用

1、第六章 定積分及其應(yīng)用在上一章我們研究了求導(dǎo)問題的逆問題，即不定積分問題本章我們將研究微小量的無限累加問題，即定積分問題 微積分基本定理是本章的重要內(nèi)容，該定理建立了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系，使得第五章的知識在第六章當中得到進一步的運用6.1 6.1 定積分定積分6.2 6.2 微積分基本定理微積分基本定理6.3 6.3 定積分的換元積分法與定積分的換元積分法與 分部積分法分部積分法6.4 6.4 反常積分反常積分第六章6.5 6.5 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用6.6 6.6 定積分在經(jīng)濟上的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟上的應(yīng)用小結(jié)小結(jié)定積分的概念定積分的概念定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)定積分問

2、題舉例定積分問題舉例6.1 6.1 定積分定積分 第六章 定積分及其應(yīng)用一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例1. 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 ,求其面積 a .?a)(xfy 矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bahyoxab?a)(xfy 1xix1ixxabyo1) 大化小大化小. 在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點bxxxxxann1210,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 常代變常代變. 在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩

3、形, 并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積,ia得)()(1iiiiiixxxxfa),2, 1,nii解決步驟解決步驟3) 近似和近似和.niiaa1niiixf1)(4) 取極限取極限.令, max1inix則曲邊梯形面積niiaa10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyoi解決步驟解決步驟2 2. .收益問題收益問題 (1)分割: (2)近似代替: (3)求和: (4)取極限: 設(shè)某商品的價格p是銷售量x的函數(shù)p=p(x)，設(shè)x為連續(xù)變量求當銷售量從a變動到b時的收益r為多少？0121iinaxxxxxxb上述兩個問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同 :“大化

4、小大化小, ,常代變常代變, ,近似和近似和, ,取極限取極限” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限一、定積分問題舉例一、定積分問題舉例二、定積分的概念二、定積分的概念v定積分的定義定積分的定義在小區(qū)間xi1, xi上任取一點i (i1, 2, n), niiixf1)( 作和maxx1, x2,xn 記xixixi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1xnb 在區(qū)間a, b內(nèi)插入分點: 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界. 如果當0時, 上述和式的極限存在, 且極限值與區(qū)間a, b的分法和i的取法無關(guān), 則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上badx

5、xf)(, 的定積分, 記為niiibaxfdxxf10)(lim)(. 即 定積分各部分的名稱 積分符號, f(x) 被積函數(shù), f(x)dx 被積表達式, x 積分變量, a 積分下限, b 積分上限, a, b積分區(qū)間， v定積分的定義niiibaxfdxxf10)(lim)(. niiixf1)(積分和. v定積分的定義niiibaxfdxxf10)(lim)(. v函數(shù)的可積性 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分存在, 則稱f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理1(充分條件) 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理2 (充分條件) 如果

6、函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限個間斷點, 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. v定積分的定義niiibaxfdxxf10)(lim)(. 定積分的幾何意義 當f(x)0時, f(x)在a, b上的定積分表示由曲線yf(x)、直線xa、xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積. 當f(x)0時, f(x)在a, b上的定積分表示曲邊梯形面積的負值. baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim

7、)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010. 解 定積分的值就是涂陰影的圓的1/4面積由圓形面積公式有 例例題題一一 利用定積分的幾何意義求 .1201x dx12014x dx (1)當 ab 時, 0)(badxxf 三、定積分的性質(zhì)v兩點規(guī)定 (2)當 ab 時, abbadxxfdxxf)()(. badxxgxf)()(niiiixgf10)()(limniiiniiixgxf1010)(lim)(limbabadxxgdxxf)()(badxxgxf)()(niiiixgf10)()(lim niiiniiixgxf1010)(

8、lim)(limbabadxxgdxxf)()(. 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 性質(zhì)1 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 性質(zhì)1 性質(zhì)2 2 babadxxfkdxxkf)()(. 性質(zhì)3 性質(zhì)4 4 abdxdxbaba1. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 例例題題二二222421412 ( )( )( )5f x dxf x dxf x dxdx的值解 由定積分的性質(zhì)，有222421412 ( )( )( )5f x dxf x dxf x dxdx24120( )( )5(4 1)f x dxf x

9、 dx41( )15f x dx3 1518 badxxf0)(ab). 推論1 如果在區(qū)間a, b上 f (x)g(x), 則 babadxxgdxxf)()(ab). 如果在區(qū)間a, b上 f (x)0, 則 性質(zhì)5 |f(x)|f(x)|f(x)|babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). 推論2 性質(zhì)6 設(shè)m及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最大值及最小值, 則 baabmdxxfabm)()()(ab). 例例題題三三解 利用保序性比較下列定積分的大?。?21xdx221x dx（1）與20ln xdx220ln xdx（2）與例例題題四四解 估計積分 的值. 231x

10、 dx2311 (2 1)8 (2 1)x dx 即23118x dx 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個點 , 使下式成立: 這是因為, 由性質(zhì)6 性質(zhì)7(定積分中值定理) baabfdxxf)()(. 積分中值公式. baabmdxxfabm)()()(, 即 bamdxxfabm)(1, 由介值定理, 至少存在一點a, b, 使badxxfabf)(1)(, 兩端乘以ba即得積分中值公式.例例題題五五求極限：求極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim原式原式 ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 x

11、dxix i 思考題思考題一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù))(xf 在在 ba ,上的定積分是積分和的極限，上的定積分是積分和的極限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定積分的值只與定積分的值只與_及及_有關(guān)，而與有關(guān)，而與_的記法無關(guān)的記法無關(guān) . .3 3、 定積分的幾何意義是定積分的幾何意義是_ . .4 4、 區(qū)間區(qū)間 ba ,長度的定積分表示是長度的定積分表示是_ . .二、二、 利用定積分的定義計算由拋物線利用定積分的定義計算由拋物線,12 xy兩直線兩直線)(,abbxax 及橫軸所圍成的圖形的面積及橫軸所圍成的圖形的面積 . .三、三、 利用定積分的定義計算積分利用定積分的定義計算積分 bax