幾何最值問題解法探討

1、【2016年安徽中考攻略】年安徽中考攻略】專題：幾何最值問題解法探討專題：幾何最值問題解法探討2016.5.18談其祥談其祥安徽中考鏈接：安徽中考鏈接：（2011安徽省第安徽省第22題題12分）分）在ABC中，ACB90，ABC30，將ABC繞頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0 180)，得到A1B1C(1)如圖1，當(dāng)ABCB1時，設(shè)A1B1與BC相交于點(diǎn)D證明：A1CD是等邊三角形；(2)如圖2，連接AA1、BB1，設(shè)ACA1和BCB1的面積分別為S1、S1求證：S1 S21 3；(3)如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，A1B1的中點(diǎn)為P，ACa，連接EP當(dāng) 時，EP的長度最大，最大值為 （2015安徽

2、省第安徽省第20題題10分）分）在 O中，直徑AB6，BC是弦，ABC30，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在 O上，且OPPQ (1)如圖1，當(dāng)PQAB時，求PQ的長度； (2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動時，求PQ長的最大值A(chǔ)ABBCCPPQQOO第20題圖1第20題圖2安徽中考鏈接：安徽中考鏈接：知識背景 在幾何圖形的動態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決策略 解決幾何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)

3、用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識求最值。今天我們首先來研究前兩類。一、應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短公理（含應(yīng)用三角一、應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值：形的三邊關(guān)系）求最值： 例例1.如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動時，A隨之在邊OM上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為【 】 A B C D215145552ACBOMNDE【點(diǎn)評【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理。 變式訓(xùn)練:將矩形

4、改為邊長為2的等邊ABCACBOMN例例2. 如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的 直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是母線BC上一點(diǎn)，且 PC= BC一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表 面爬行到點(diǎn)P的最短距離是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm6(4)3 523【點(diǎn)評】此題主要考查了幾何體的平面展開圖，以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是畫出圓柱的側(cè)面展開圖 二、應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值：二、應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值： 古希臘著名的古希臘著名的“將軍飲馬問題將軍飲馬問題”： A為馬廄，為馬廄，B為軍營，將軍某一天要為軍營，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到河邊給馬飲水，然后回到軍營。請你幫助他確定

5、這一天從馬廄牽出馬，先到河邊給馬飲水，然后回到軍營。請你幫助他確定這一天的最短路線。本問題可歸納為的最短路線。本問題可歸納為“求定直線上一動點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和求定直線上一動點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值的最小值”的問題的數(shù)學(xué)模型。的問題的數(shù)學(xué)模型。例例1.如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中 點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)，則PE+PB的最小 值為 【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱（最短路線問題），正方形的性質(zhì)，勾股定理。 例例2.如圖，MN為 O的直徑，A、B是 O上的兩點(diǎn)， 過A作ACMN于點(diǎn)C，過B作BDMN于點(diǎn)D，P為 DC上的任意一點(diǎn)，若MN20，AC8，BD6，則 PA

6、PB的最小值是。【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱（最短路線問題），勾股定理，垂徑定理。 例例3. 如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長 為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂 蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm 與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距 離為 cm【點(diǎn)評】本題主要考查了圓柱的展開，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理。 本節(jié)小結(jié)：本節(jié)小結(jié)： 本節(jié)課通過對幾何最值問題的解法探討，本節(jié)課通過對幾何最值問題的解法探討，掌握了哪兩類問題的解法？掌握了哪兩類問題的解法？ 一是應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短公理求最值；一是應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短公理求最值； 明天我們還將繼

7、續(xù)探討其他類型的幾明天我們還將繼續(xù)探討其他類型的幾何最值問題。何最值問題。二是應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值，解決了二是應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值，解決了將軍飲馬等重要問題。將軍飲馬等重要問題。 鞏固作業(yè)鞏固作業(yè)1.如圖，長方體的底面邊長分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長為 2.如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個動點(diǎn)，連接BP、GP，則BPG的周長的最小值是 3.如圖，已知點(diǎn)A(1，1)、B(3，2)，且P為x軸上一動點(diǎn)，則ABP的周長的最小值為 4.如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的任意一點(diǎn)，當(dāng)AEF的周長最小時，則DF的長為【 】 A1B2 C3 D4第1題第2題第3題第4題5.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、 BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，存在PE+PF的最小值， 則這個最小值是 【 】 A3 B4 C5 D66.如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=6，對角線AC平分BAD，點(diǎn)E在AB上，且AE=2（AEAD），點(diǎn)P是A