圓扇形(經(jīng)典題匯總)

1、圓扇形(經(jīng)典題匯總)圓與扇形公式與割補(bǔ)內(nèi)容提要本講主要講解與圓和扇形有關(guān)的概念，及周長(zhǎng)、面積公式等下面我們來說說這方面的基礎(chǔ)知識(shí)圓是我們?cè)谏钪薪?jīng)常見到的圖形，它也是最完美的平面圖形：有無(wú)數(shù)條通過圓心的對(duì)稱軸，繞圓心旋轉(zhuǎn)任何角度還保持原狀而且，所有的平面圖形在周長(zhǎng)相同的情況下，圓的面積是最大的我們知道，圓的周長(zhǎng)和直徑的比值是一個(gè)固定不變的數(shù)，這正是圓周率，用表示另外，一般把直徑記作d，半徑記作r，如圖1所示dr圖1所以，圓的周長(zhǎng)，圓的面積如圖3，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫扇形它是圓的一部分，所以關(guān)于扇形的各種計(jì)算可以應(yīng)用圓里面的結(jié)論n°r圖3扇形的圓心角為n

2、°時(shí)，它的弧長(zhǎng)和面積應(yīng)該分別是圓周長(zhǎng)和圓面積的所以，扇形弧長(zhǎng)=，面積=我們先來熟悉一下這些公式練習(xí)：1. 半徑是2的圓的面積和周長(zhǎng)分別是多少？2. 直徑是5的圓的面積和周長(zhǎng)分別是多少？3. 周長(zhǎng)是10的圓的面積是多少？4. 面積是9的圓的周長(zhǎng)是多少？例題一、 基本公式運(yùn)用例題1. 已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個(gè)扇形的面積和周長(zhǎng)各是多少（圓周率按計(jì)算）例題2. 已知扇形面積為平方厘米，圓心角為60°，則這個(gè)扇形的半徑和周長(zhǎng)各是多少？ （圓周率按計(jì)算）60°隨堂練習(xí)：1. 已知一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為厘米，圓心角為，這個(gè)扇形的半徑和周長(zhǎng)各是多少？2.

3、扇形的面積是平方厘米,它所在圓的面積是157平方厘米,這個(gè)扇形的圓心角是多少？例題3. 如圖，直角三角形abc的面積是45，分別以b，c為圓心，3為半徑畫圓已知圖中陰影部分的面積是請(qǐng)問：角a是多少度（取）abc二、 圓中方，方中圓例題4. 如圖，左下圖和右下圖中的正方形邊長(zhǎng)都是2，那么大圓、小圓的面積分別為_、_隨堂練習(xí)：1. 已知外面大圓的半徑是4，里面小圓的面積是多少（答案用表示）二、割補(bǔ)法例題5. 求下列各圖中陰影部分的面積（圖中長(zhǎng)度單位為厘米，圓周率按計(jì)算）：223（1） （2）隨堂練習(xí)：求下圖中陰影部分的面積（圖中長(zhǎng)度單位為厘米，圓周率按計(jì)算）：（1） （2） 47 例題6. 求下列

4、各圖中陰影部分的面積（圖中長(zhǎng)度單位為厘米，圓周率按計(jì)算）：22（1） （2）例題7. 已知圖中正方形的邊長(zhǎng)為2，分別以其四個(gè)頂點(diǎn)為圓心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么圖中陰影部分的面積為_（答案用表示）例題8. 根據(jù)圖中所給數(shù)值，求下面圖形的外周長(zhǎng)和總面積分別是多少（?。?4隨堂練習(xí)：1. 根據(jù)下圖中給出的數(shù)值，求這個(gè)圖形的外周長(zhǎng)和面積（取）6例題9. 求圖中陰影部分的面積（圓周率p?。?5o 45o20厘米思考題圖中的4個(gè)圓的圓心是正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心如果每個(gè)圓的半徑都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？ 作業(yè)：1. 半徑為4厘米的圓的周長(zhǎng)是_厘米，面積

5、是_平方厘米；，）o7厘米2. 半徑為4厘米，圓心角為的扇形周長(zhǎng)是_厘米，面積是_平方厘米（取）（，）3. 家里來客人了，淘氣到超市買了4瓶啤酒，售貨員阿姨將4瓶啤酒捆扎在一起（如下圖所示），捆4圈至少要用繩子_厘米（取，接頭處忽略不計(jì)）1114. 求下列各圖中陰影部分的面積（圖中長(zhǎng)度單位為厘米，圓周率按計(jì)算）：（1） （2）1010 5. 下列圖形中的正方形的邊長(zhǎng)為2，則下圖中各個(gè)陰影部分面積的大小分別為_、_（?。ǎ?）o6. 用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了7個(gè)同樣大小的圓鋁板問：所余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？ 圓與扇形旋轉(zhuǎn)與重疊知識(shí)總結(jié)：學(xué)習(xí)如何利用割補(bǔ)法和

6、包含排除的思想計(jì)算圖形中特定部分的面積；學(xué)會(huì)分析幾何圖形的運(yùn)動(dòng)過程，并由此得出點(diǎn)的軌跡和圖形掃過的區(qū)域例題：一、 重疊問題例題1. 下圖中甲區(qū)域比乙區(qū)域的面積大57平方厘米，且半圓的半徑是10厘米，那么其中直角三角形的另一條直角邊的長(zhǎng)度是多少（圓周率p?。?甲乙例題2. 下圖中有一個(gè)等腰直角三角形abc，一個(gè)以ab為直徑的半圓，和一個(gè)以bc為半徑的扇形已知厘米圖中陰影部分的面積為多少平方厘米（?。゛cbde隨堂練習(xí)abc1. 如圖17-13，以ab為直徑做半圓，三角形abc是直角三角形，陰影部分比陰影部分的面積小28平方厘米，ab長(zhǎng)40厘米求bc的長(zhǎng)度（p?。├}3. 如圖，直角三角形的兩條直

7、角邊分別為3和5，分別以三條邊做了3個(gè)半圓（直角頂點(diǎn)在以斜邊為直徑的半圓上），那么陰影部分的面積為_（6）543例題4. 圖1是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，ab是直徑如圖2所示，讓a點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°，此時(shí)b點(diǎn)移動(dòng)到c點(diǎn)請(qǐng)問：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米（?。﹫D1abab60°圖2c二、 動(dòng)態(tài)掃面積問題abcdeghf例題5. 如圖，正方形abcd邊長(zhǎng)為1厘米，依次以a、b、c、d為圓心，以ad、be、cf、dg為半徑畫出四個(gè)直角扇形，那么陰影部分的面積為_平方厘米（?。├}6. 如圖所示，以等邊三角形的b、c、a三點(diǎn)分別為圓心，分別以ab、cd、ae為半徑畫

8、弧，這樣形成的曲線adef被稱為正三角形abc的漸開線，如果正三角形abc的邊長(zhǎng)為3厘米，那么此漸開線的長(zhǎng)度為多少厘米，圖中、三部分的面積之和是多少平方厘米？abcdeiiiiii三、 運(yùn)動(dòng)圓掃面積例題7. 圖中正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米當(dāng)圓環(huán)繞正方形無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有多大（?。?隨堂練習(xí)1. 圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10厘米，寬是4厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米當(dāng)圓環(huán)繞正方形無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有多大（?。?例題8. 圖中等邊三角形的邊長(zhǎng)是3厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米當(dāng)圓環(huán)繞等邊三角形無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有

9、多大（?。?思考題如圖所示，一只小狗被拴在一個(gè)邊長(zhǎng)為4米的正五邊形的建筑物的一個(gè)頂點(diǎn)處，四周都是空地繩長(zhǎng)剛好夠小狗走到建筑物外墻邊的任一位置小狗的活動(dòng)范圍是多少平方米（建筑外墻不可逾越，小狗身長(zhǎng)忽略不計(jì)，取3）狗作業(yè)：1. 圖17-14由一個(gè)長(zhǎng)方形與兩個(gè)90°角的扇形構(gòu)成，其中陰影部分的面積是_平方厘米（p取）52圖17-142. 圖中有一個(gè)矩形和兩個(gè)半徑分別為5和2的直角扇形，那么兩個(gè)陰影部分的面積相差為_（?。?. 如圖，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是10cm和6cm，分別以直角邊為直徑作出兩個(gè)半圓，這兩個(gè)半圓的交點(diǎn)恰好落在斜邊上，那么陰影部分的面積是_cm2（p?。?7p-3

10、0）10cm6cm4. 圖1是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，ab是直徑如圖2所示，讓a點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°，此時(shí)b點(diǎn)移動(dòng)到c點(diǎn)請(qǐng)問：圖中陰影部分的面積是_平方厘米（取）圖1ababc40°圖2c5. 圖中正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，而圓環(huán)的半徑是1厘米當(dāng)圓環(huán)繞正方形無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，其掃過的面積有_（取） 6. 圖中等邊三角形的邊長(zhǎng)是5厘米，圓形的半徑是1厘米當(dāng)圓形繞等邊三角形滾動(dòng)一周又回到原來位置時(shí)，掃過的面積有_（?。缀斡?jì)數(shù)知識(shí)總結(jié)：例題：一、 枚舉或分類解題利用枚舉法以及分類的方法進(jìn)行幾何計(jì)數(shù)，特別是對(duì)于正方形和三角形的計(jì)數(shù)問題通常按照面積的大小或者

11、包含基本圖形的多少來對(duì)圖形進(jìn)行分類例題1. 小杰瑞把巧克力棒擺成了如圖所示的形狀，其中每一條小短邊代表一個(gè)巧克力棒請(qǐng)問：（1）一共有多少個(gè)巧克力棒？（2）這些巧克力棒共構(gòu)成了多少個(gè)三角形？（3）嘴饞的小杰瑞吃掉一個(gè)巧克力棒后（圖中兩端帶有箭頭的小邊），剩下的圖形中還有多少個(gè)三角形？隨堂練習(xí)1. 圖中共有_個(gè)三角形；例題2. 如圖，它是由18個(gè)大小相同的小正三角形拼成的四邊形，其中某些相鄰的小正三角形可以拼成較大的正三角形圖中包含“*”的各種大小的正三角形一共有_*例題3. 如圖，ab，cd，ef，mn互相平行，則圖中三角形個(gè)數(shù)是_obmaefcdn例題4. 圖中有多少個(gè)正方形？ 二、 與排列組

12、合有關(guān)的計(jì)數(shù)利用排列組合的方法進(jìn)行幾何計(jì)數(shù)，特別是對(duì)于矩形和四邊形的計(jì)數(shù)問題例題5. 如圖，線段ab，bc，cd，de的長(zhǎng)度都是3厘米請(qǐng)問：（1）圖中一共有多少條線段？（2）這些線段的長(zhǎng)度之和是多少厘米？3厘米3厘米3厘米3厘米abcde隨堂練習(xí)1. 求圖中一共有多少條線段例題6. 求圖中一共有多少條線段求圖中一共有多少個(gè)矩形（15）隨堂練習(xí)1. 如圖，四條邊長(zhǎng)度都相等的四邊形稱為菱形用16個(gè)同樣大小的菱形組成如圖的一個(gè)大菱形數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)菱形？例題7. 右圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的長(zhǎng)方形網(wǎng)格，每一個(gè)小格都是一個(gè)正方形，那么：1）從中可以數(shù)出_個(gè)矩形2）從中可以數(shù)出_個(gè)正方形3）從中可以

13、數(shù)出包含_個(gè)，正方形有_個(gè)（450）（80）（144、15）隨堂練習(xí)（1）圖中包含的長(zhǎng)方形有_個(gè)包含j的正方形又有_個(gè)（2）圖中同時(shí)包含j和的長(zhǎng)方形有_個(gè) j三、 與容斥原理有關(guān)的幾何計(jì)數(shù)例題8. 圖中一共包含多少個(gè)矩形多少個(gè)正方形（135，35）隨堂練習(xí)1. 圖中有_個(gè)矩形思考題用16個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的大等邊三角形，那么組成的圖形中可以找出多少個(gè)平行四邊形？作業(yè)1. 數(shù)一數(shù)圖中一共有多少條線段？2. 圖中共有_個(gè)三角形【分析與解】按邊長(zhǎng)分類數(shù)，圖中共有個(gè)三角形；平行四邊形共有個(gè)3. 在圖中，包含的長(zhǎng)方形共有_個(gè)4. 圖中有_個(gè)矩形，_個(gè)正方形【分析與解】圖中共有個(gè)正方形

14、，19個(gè)長(zhǎng)方形這道題適合按大小分類數(shù)5. 圖中有三角形_個(gè)，梯形_個(gè)abc【分析與解】三角形有個(gè)，梯形有個(gè)6. 圖中有_個(gè)正方形，_個(gè)長(zhǎng)方形【分析與解】答案是38，144長(zhǎng)方形有 個(gè)，正方形有個(gè)（這里給出正方形的求法比較巧妙，如果不合適，請(qǐng)按正方形的邊長(zhǎng)分類枚舉）行程本講建議不分專題由于，我沒有看咱們秋季的題目，所以選題會(huì)有問題，我大致按照，火車問題，行船流水，多次相遇與追及，多人相遇與追及，比例來出的題知識(shí)總結(jié)：本講重點(diǎn)學(xué)習(xí)在小升初中和各個(gè)杯賽中的較復(fù)雜的行程問題，行程問題主要有三組共9個(gè)基本公式：（1） ；（2） ；（3） ；要會(huì)靈活運(yùn)用公式，通過已知的條件求出未知的路程、速度或時(shí)間此時(shí)，

15、我們還經(jīng)常需要用到以下這三個(gè)基本倍數(shù)關(guān)系：當(dāng)運(yùn)動(dòng)的速度相同時(shí)，時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系等于路程的倍數(shù)關(guān)系；當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同時(shí)，速度的倍數(shù)關(guān)系等于路程的倍數(shù)關(guān)系；當(dāng)運(yùn)動(dòng)的路程相同時(shí)，時(shí)間的倍數(shù)關(guān)系等于速度的倍數(shù)關(guān)系，但注意時(shí)間長(zhǎng)的速度慢，時(shí)間短的速度快例題1. （ ）甲、乙兩地間的路程是600千米，上午8點(diǎn)客車以平均每小時(shí)60千米的速度從甲地開往乙地，貨車以平均每小時(shí)50千米的速度從乙地開往甲地要使兩車在全程的中點(diǎn)相遇，貨車必須在上午幾點(diǎn)出發(fā)？建議：加入杯賽或?qū)W校例題2. （ ）某學(xué)校組織學(xué)生去春游，以2米/秒的速度前進(jìn)，一名學(xué)生以4米/秒的速度從隊(duì)尾跑到隊(duì)頭，再回到隊(duì)尾，共用6分鐘，那么隊(duì)伍的總長(zhǎng)為多少

16、米？例題3. a城在一條河的上游，b城在這條河的下游a、b兩城的水路距離為396千米一艘在靜水中速度為每小時(shí)12千米的漁船從b城往a城開，一艘在靜水中速度為每小時(shí)30千米的治安巡邏艇從a城往b城開已知河水的速度為每小時(shí)6千米，從a流向b兩船在距離a城180千米的地方相遇巡邏艇在到達(dá)b城后得到消息說他們剛才遇到的那艘漁船上有一名逃犯，于是巡邏艇立刻返回去追漁船請(qǐng)問巡邏艇能不能在漁船到達(dá)a城之前追上漁船？如果能的話，請(qǐng)問巡邏艇在距a城多遠(yuǎn)的地方追上漁船；如果不能的話，請(qǐng)算出巡邏艇比漁船慢多少小時(shí)到a城例題4. 蝸牛沿著公路前進(jìn)，對(duì)面來了一只兔子，他問兔子：“后面有烏龜嗎？”，兔子回答說：“10分鐘

17、前我超過了一只烏龜”，接著蝸牛繼續(xù)爬了10分鐘，遇到了烏龜已知烏龜?shù)乃俣仁俏伵Ｋ俣鹊?0倍，那么兔子速度是烏龜速度的_倍例題5. 甲、乙二人相距100米的直路上來回跑步,甲每秒鐘跑米,乙每秒鐘跑米.他們同時(shí)分別在直路兩端出發(fā),當(dāng)他們跑了30分鐘時(shí),這段時(shí)間內(nèi)相遇了幾次？例題6. 甲乙兩車同時(shí)從a、b兩地出發(fā)相向而行，兩車在距離b地64千米的地方第一次相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)原速前進(jìn)，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)之后，立即沿原路返回，途中在距離a點(diǎn)48千米處第二次相遇，問：兩次相遇點(diǎn)距離是多少千米？例題7. 甲、乙兩車分別從a、b兩地出發(fā)，在a、b之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時(shí)15千米，乙車的速度

18、是每小時(shí)35千米，并且甲、乙兩車第三次相遇（這里特指面對(duì)面的相遇）的地點(diǎn)與第四次相遇的地點(diǎn)恰好相距120千米，那么，a、b兩地之間的距離等于_ 千米例題8. 快、中、慢3輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個(gè)騎車人這3輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人現(xiàn)在知道快車每小時(shí)走24千米，中車每小時(shí)走20千米，那么，慢車每小時(shí)走多少千米？例題9. 有甲乙丙三車各以一定的速度從a到b，乙比丙晚出發(fā)10分鐘，出發(fā)后40分鐘追上丙，甲比乙又晚出發(fā)10分鐘，出發(fā)后60分鐘追上丙，問，甲出發(fā)后多少分鐘可以追上乙？思考題這個(gè)版本用的事華文彩云一次越野賽跑中，當(dāng)小明跑了1600米時(shí)，小剛跑了1450米，此后兩人分別以每秒a米和每秒b米勻速跑，又過100秒時(shí)小剛追上小明，200秒時(shí)小剛到達(dá)終點(diǎn)，300秒時(shí)小明到達(dá)終點(diǎn)，這次越野賽跑的全程為多少本題是比例解題，看起來較難作業(yè)1. 現(xiàn)有兩列火車同時(shí)同方向齊頭行