可降階的微分方程課件

1、1)()(xfyn 型的方程型的方程),(yxfy 型的方程型的方程),(yyfy 型的方程型的方程第三節(jié)第三節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程2)()(xfyn 一、一、 型的方程型的方程特點(diǎn)特點(diǎn)是未知函數(shù)是未知函數(shù) y 的的n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),且不含未知函數(shù)且不含未知函數(shù) y 及其及其.y 兩邊積分兩邊積分 1)1(d)(Cxxfyn 21)2(dd)(CxCxxfyn接連積分接連積分n次次, ,右端是右端是自變量自變量x的一個(gè)已知函數(shù)的一個(gè)已知函數(shù),導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)左端左端)()(xfyn 再積分再積分得到含有得到含有n個(gè)任意常數(shù)的通解個(gè)任意常數(shù)的通解. . 1)1(d)(Cxxfyn3

2、例例 求解方程求解方程3cosxyex 解解 將方程積分三次將方程積分三次, 得得xey331 xey391 xey3271 最后得到的就是方程的通解最后得到的就是方程的通解.xsin 1C xcos xC1 2C xsin 212Cx xC2 3C 3127xe xsin 21C x xC2 3C 4二、二、 型的方程型的方程),(yxfy 特點(diǎn)特點(diǎn)方程缺方程缺y.解法解法, py 將將p作為新的作為新的則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?p這是一個(gè)關(guān)于變量這是一個(gè)關(guān)于變量 x, p 的的一階一階微分方程微分方程.如果其通解為如果其通解為),(1Cxpp 則由則由),(1Cxpy 再積分一次再積分一次,2

3、1d),(CxCxpy y可求出原方程的通解可求出原方程的通解 設(shè)設(shè) xpdd.p 未知函數(shù)，未知函數(shù)，),(fpx5001,4xxyy 例例 解方程解方程 因方程中不含未知函數(shù)因方程中不含未知函數(shù)y,yp 解解令令型型屬屬),(yxfy ,yp 代入原方程代入原方程, 得得2331x ppx p的可分離變量的一階方程的可分離變量的一階方程23d3d1pxxpx 31lnln 1lnpxC 31(1)pCx由初始條件由初始條件04xy 知知C1=4, 所以所以34(1)yx y的分離變量方程的分離變量方程2331x yyx 63d4(1)dyxx 424yxxC 再由初始條件再由初始條件, 1

4、0 xy知知C2 = 1故所求故所求解為解為441yxx 001,4xxyy 2331x yyx 7階方程階方程的的、對于不含有對于不含有nyyyk)1( 0),()()( nkyyxF令令.)(kyp 0),()( knppxF求出通解后求出通解后,只須作變換只須作變換,再積分再積分k次次,即可求得原方程的通解即可求得原方程的通解.方程就可化為方程就可化為階方程階方程kn 8例例 解方程解方程 . 01)4()5( yxy解解 令令,)4(yp 則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)? 01 pxp由分離變量法解得由分離變量法解得.1xCp 于是于是,1)4(xCy 所以原方程的通解為所以原方程的通解為542

5、33251CxCxCxCxCy 積分積分4次次 可分離變量方程可分離變量方程9 xyydd22ddxyy 特點(diǎn)特點(diǎn)解法解法方程缺自變量方程缺自變量x 三、三、 型的方程型的方程),(yyfy 則則xpdd xydd ,ddypp 方程變成方程變成 yppdd這是關(guān)于變量這是關(guān)于變量y , p 的的一階方程一階方程.設(shè)它的通解為設(shè)它的通解為).,(1Cyp 分離變量并積分分離變量并積分,得通解為得通解為21),(dCxCyy p設(shè)設(shè)ypdd ).,(pyf y p )(yp)(ypx10.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,ddyppy 則則, py 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程y0)dd( pypyp即即，由由0dd pypy,1yCp 可可得得xCeCy12