數(shù)學(xué)多維隨機(jī)變量特征數(shù)PPT課件

1、一、多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一、多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望問題問題： 設(shè)設(shè) 維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的函函數(shù)數(shù)，如如何何求求？有有兩兩個(gè)個(gè)思思路路：用用的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布先先求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的函函數(shù)數(shù)的的分分布布，而而后后用用期期望望定定義義求求. .用用類類似似于于定定理理2 2. .2 2. .1 1一一維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)的的期期望望求求法法，不不求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的函函數(shù)數(shù)的的分分布布. .前前者者無無需需再再講講，下下面面介介紹紹后后一一種種方方法法. .主主要要研研究究二二維維情情形形. .1212(,)()(,)nnnZg XXXE ZXXX 第1頁/共63頁

2、.dd),(),(),(yxyxfyxgYXgE 設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量（）的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布密密度度為為為為二二元元函函數(shù)數(shù) 則則的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望為為(2),( , ), ( , ),(, )X Yf x y g x yZg X Y 二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(所所涉及的數(shù)學(xué)期望存在涉及的數(shù)學(xué)期望存在）(1),(,)( , ),(, (,)(,iijijijijjX YpP Xx Yyg x yZg X YE g X Yg xyp 設(shè)設(shè)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量（）的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布列列為為，為為二二元元函函數(shù)數(shù) 則則的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望為為 這

3、就是P166的定理第2頁/共63頁( )iijijE Xx p (1)(,),當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量（）的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布列列為為，關(guān)關(guān)于于 的的邊邊際際分分布布列列為為, ,則則ijijig X YXX YpP Xx YyXP或或( )iiiE XxP 同同理理： ( )jijjijijjjjijE Yyy py Pp 說明：說明：iijijxp 第3頁/共63頁 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量（）的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布密密度度為為關(guān)關(guān)于于 的的邊邊際際分分布布密密度度為為則則(, ),( , ),( ),Xg X YXX Yf x yXfx ( )( , )d

4、 dE Xxf x yx y 同同理理：d( , )( )( , )d d( )ddYy yE Yyf x yx yyfyfxyx y d( , )dx xf x y y 或或( )( )d .XE Xxfxx 第4頁/共63頁 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量 聯(lián)聯(lián)合合分分布布列列為為， 關(guān)關(guān)于于 的的邊邊際際分分布布列列為為, ,則則 的的方方差差為為2(2) (,)()(,)ijijig X YXE XpP Xx YyXPX 22()()()iijijxD XE XE XE Xp 或或 22()iijiiiijxExE XXpp 關(guān)關(guān)于于 的的邊邊際際分分布布列列為為, ,則則

5、 的的方方差差為為jYPY 或或22( )( )()jijjjijjyED YyYpE Yp 第5頁/共63頁 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量（）的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布密密度度為為 關(guān)關(guān)于于 的的邊邊際際分分布布密密度度為為則則 的的方方差差為為2(2) (,)(),( , ),( ),Xg X YXE XX Yf x yXfxX 22()()( , )d dxE XfD Xx yx yE XE X 或或22()d( , )d()( )dXxE Xxf x yyxE Xfxx 第6頁/共63頁 關(guān)關(guān)于于 的的邊邊際際分分布布密密度度為為則則 的的方方差差為為( ),YYfyY 22(

6、 )( )( , )d dyE YfD Yx yx yE YE Y 或或22( )d( , )d( )( )dYyE Yyf x yxyE Yfyy 第7頁/共63頁XY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.求求2:(),( ),(),() .E XE YE X YE YX 例例1 設(shè) ( X , Y ) 的分布律為解解的的分分布布律律為為XX1 01p3 . 04 . 03 . 0第8頁/共63頁得得()1 0.3 0 0.4 1 0.30.E X 得得( )1 0.42 0.23 0.42.E Y 1 0121 21031X Y(1,3)p(, )X Y( 1,1)

7、2 . 0(0,1)1 . 0)1 , 1(1 . 0( 1,2) 1 . 0(1,2)1 . 0(0,3)3 . 01 . 0由于的的分分布布律律為為YY123p4 . 02 . 04 . 0第9頁/共63頁(, )X Y( 1,1) (0,1)1 , 1( 1,2) (1,2) (0,3)(1,3)p2 . 01 . 01 . 01 . 01 . 03 . 01 . 0由于于于是是1111 0.2 0 0.1 1 0.10.10.1 0 0.30.1223XEY .151 2()YX 4109194得得2() 4 0.3 1 0.20 0.19 0.4E YX . 5 第10頁/共63頁例

8、例2 賣賣報(bào)報(bào)問問題題 設(shè)設(shè)某某賣賣報(bào)報(bào)人人每每日日的的潛潛在在賣賣報(bào)報(bào)數(shù)數(shù)服服從從參參數(shù)數(shù)為為的的泊泊松松分分布布 如如果果每每賣賣出出一一份份報(bào)報(bào)可可得得報(bào)報(bào)酬酬賣賣不不掉掉而而退退回回則則每每份份賠賠償償若若某某日日賣賣報(bào)報(bào)人人買買進(jìn)進(jìn)份份報(bào)報(bào) 試試求求其其期期望望所所得得 進(jìn)進(jìn)一一步步 再再求求最最佳佳的的賣賣報(bào)報(bào)份份數(shù)數(shù)().,.,.abn 解解:,的關(guān)系如下的關(guān)系如下與與則則若記其真正賣報(bào)數(shù)為若記其真正賣報(bào)數(shù)為 , nnn 的分布為的分布為則則 第11頁/共63頁e,!e,.()!kii nknkPkkn kni :,的關(guān)系如下的關(guān)系如下與與則則記所得為記所得為 .,),()(na

9、nnnbag 因此期望所得為)()( gEnM 10e() (e)!kknkknkank bnakk 第12頁/共63頁+ +e ee e2100( ) ( )()()!kknnkkM nE gabn abnakk .)(,達(dá)到極大達(dá)到極大使使求求給定后給定后當(dāng)當(dāng)nMnba 101101() !()!(1)!knkkknnkkkan k bknbabkk 而而e ee ee e ；11000()()!kkkknnk nkkknanananakkkk e ee ee e，第13頁/共63頁利用軟件包求解,并演示計(jì)算結(jié)果.單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停 ESCESC鍵退出鍵退出第14頁/共

10、63頁在在上上任任取取 個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，求求其其中中最最遠(yuǎn)遠(yuǎn)兩兩點(diǎn)點(diǎn)例例的的距距離離的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望題題181()0,1.33nP設(shè)設(shè)為為區(qū)區(qū)間間上上任任取取的的第第 個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)，則則為為相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量，令令解解，0,1(0,1)1,2, .iiiXiXXUin 則則與與的的密密度度函函數(shù)數(shù)分分別別為為：(1)12( )12(1)( )min(,),max(,).nnnnXXXXXXXXXX 其其他他. .(1)1(1),01;( )0,nXnxxfx 第15頁/共63頁其其他他. .( )1,01;( )0,nnXnxxfx 11(1)011( )01()(1)

11、d.1()d.1nnnE XxnxxnnE Xxnxxn 令令則則題題目目所所求求的的是是( )(1),nXXX( )(1( )(1)( )()(1.1)()nnE XE XE XXnnE X 第16頁/共63頁二、數(shù)學(xué)期望與方差的運(yùn)算性質(zhì)（多維）二、數(shù)學(xué)期望與方差的運(yùn)算性質(zhì)（多維）1. 設(shè)( X, Y) 是二維隨機(jī)變量, 則有).()()(YEXEYXE 證證為為離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量，其其聯(lián)聯(lián)合合分分布布列列為為，關(guān)關(guān)于于 、 的的邊邊際際分分布布列列為為和和, ,令令由由定定理理，則則(, )(,)(, ),3.4.1ijijijX YpP Xx YyXYPPg X YXY （ ）

12、()ijijiijjijijijijE X Yxypx py p 第17頁/共63頁iijjijijijxpyp iijjiix py p ( )( ).E XE Y 此性質(zhì)可以推廣有限維情形：1212()()()()nnE XXXE XE XE X 2. 設(shè) X, Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 則有).()()(YEXEXYE 第18頁/共63頁證證()ijijijijijijE XYx y px y p p ( ) ( ).iijjijx py pE X E Y 上述性質(zhì)當(dāng)上述性質(zhì)當(dāng)( X, Y) 是連續(xù)型隨機(jī)變量情形，見書上是連續(xù)型隨機(jī)變量情形，見書上已證已證. .設(shè)設(shè)，相相互互獨(dú)獨(dú)立立，

13、推推：則則廣廣121212,()()()().nnnXXXE X XXE XE XE X 第19頁/共63頁).()()(YDXDYXD 3. 設(shè) X, Y 相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存在, 則證證)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE 22()( )()(2)E XEXE XYE YE XE YE Y ).()(YDXD 這一項(xiàng)運(yùn)用性質(zhì)2為零注注：一一般般地地 ()( )( )( ) 2D X YD XDYE XE XYE Y第20頁/共63頁設(shè)設(shè)，相相互互獨(dú)獨(dú)立立，推推廣廣：則則121212,()()()().nnnXXXD XXXD XD XD X 設(shè)設(shè) 、

14、、 相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且求求例例2(2),( 2,4),(3),(2 )3 ,(23 ).4XYZXPYNZExpE XYZ D XYZ 解解222(2 )3 () 4 ( ) ( ) 4 () 3 ( )E XYZE XE X E YE YE Z (23 )() 4 ( ) 9 ( )2 16 1 19.D XYZD XDYD Z 12 4 4 2 ( 2) 4(4 4)355;3 第21頁/共63頁1. 問題的提出問題的提出 那么那么相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量,YX).()()(YDXDYXD 不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX?)( YXD22)()()(Y

15、XEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 協(xié)方差協(xié)方差三、協(xié)方差三、協(xié)方差第22頁/共63頁二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，若若量量存存在在，則則稱稱 它它為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量與與的的協(xié)協(xié)方方差差記記為為即即C C(,)()( ).Cov(,),ov(,)()( ).X YEXE XYE YXYX YX YEXE XYE Y 2. 定義定義特特別別地地，即即方方差差是是協(xié)協(xié)方方差差的的特特例例. .說說明明：Cov(,) =().X XD X協(xié)協(xié)方方差差可可正正、可可負(fù)負(fù)、也也可可為為零零，其其意意義義如如下下：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，稱稱與與 正正相相關(guān)關(guān)，說說明明偏偏差差與與同同時(shí)時(shí)增增加

16、加或或同同時(shí)時(shí)減減少少 又又Cov(,)0()( ),X YXYXE XYE Y 第23頁/共63頁與與是是常常數(shù)數(shù)，故故等等價(jià)價(jià)于于與與 同同時(shí)時(shí)增增加加或或同同時(shí)時(shí)減減少少. .()( )E XE YXY負(fù)負(fù)相相關(guān)關(guān)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，稱稱與與，說說明明增增加加減減少少或或減減少少 增增加加Cov(,)0.X YXYXYXY 不不相相關(guān)關(guān)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，稱稱與與. .Cov(,)0X YXY 3. 性質(zhì)性質(zhì));()()(),Cov()1(YEXEXYEYX 證證 Cov( , )( )( )X YE XE XYE Y 第24頁/共63頁)()()()(YEXEYXEXYEXYE )()()()(2)(YE

17、XEYEXEXYE ).()()(YEXEXYE 若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量和和相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則(2)Cov(,)0.XYX Y 證證 Cov( , )( )( )X YE XE XYE Y ()() ( )E XYE X E Y 1( ) ( )Cov( , )0.E XYE X E YX Y 由由（）（）第25頁/共63頁若若明明：，說說Cov(, )=0X Y與與 相相互互獨(dú)獨(dú)立立. .XY不不相相關(guān)關(guān)獨(dú)獨(dú)由由此此看看出出，是是比比更更弱弱的的一一個(gè)個(gè)立立新新概概念念. .（ ）. .3()()( )2Cov(,)D XYD XD YX Y證證2()()() D XYEXYE XY2()

18、( ) EXE XYE Y )()(22YEYEXEXE 2()()EXE XYE Y ()( ) 2Cov( , ).D XDYX Y 第26頁/共63頁設(shè)設(shè)任任意意 個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量，則則推推：廣廣12112111,()()2Cov(,).nnniniijiijnXXXD XXXD XXX 即即協(xié)協(xié)方方差差計(jì)計(jì)算算與與變變量量次次序序無無關(guān)關(guān). .(4) Cov( , )Cov( ,),X YY X 即即隨隨機(jī)機(jī)變變量量與與常常數(shù)數(shù)的的協(xié)協(xié)方方差差為為零零(5)Cov(, )0,.X a ，其其中中為為常常數(shù)數(shù)(6)Cov(,)Cov(, ),.aX bYabX Ya b 第27頁/共

19、63頁由由協(xié)協(xié)方方差差性性質(zhì)質(zhì)（證證），1212121Cov(, )() () ( )XX YE XX YE XXE Y 1212()()() ( )() ( )E XYE X YE X E YE X E Y 112212 ()() ( ) ()() ( )Cov(, ) Cov(, ).E XYE X E YE X YE X E YX YX Y 1212(7)Cov(,)Cov(,)Cov(,).XXYX YXY 第28頁/共63頁例例5 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量求求( ( , ,) ). .設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量和和的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度為為 其其他他問問是是否否相相互互獨(dú)獨(dú)立立 是是否否

20、不不相相關(guān)關(guān) 并并求求22(1) ( , ),Cov(2)11(),1,1,( , )40,.,?(2310).Xb n pX nXXYxy xyxyf x yX YDXY 解解),(Cov),(Cov),(Cov)1(XXnXXnX 0()D X).1(pnp 第29頁/共63頁,1)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyyxxyxfXd)(141)(2211 yd4111 .21 知知時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)同樣同樣.21)(,1, yfyY),()(),(yfxfyxfYX .不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的和和故故YXxxfxXEXd)()(11 又又xx d2111 , 0 第30頁/共63頁. 0)( YE同樣有同樣有y

21、xyxyxxyXYEdd)(41)(11112222 而而yxyxyxdd )(10104224 , 0 于是, 0)()()( YEXEXYE.,不相關(guān)不相關(guān)所以所以YX第31頁/共63頁(2310)(2 )(3 ) 0 2Cov(2 , 3 ) 0D XYD XD YXY 4()9()12Cov(,)D XD YX Y 又又d d1221()( )XE Xx fxx 12111d =;23xx 4 ()9 ( ).D XD Y 1( ).3D X 同同理理1( ).3D Y 故故413(2310)4 ()9 ( )3.33DXYD XD Y 第32頁/共63頁四、相關(guān)系數(shù)四、相關(guān)系數(shù)1.

22、定義定義設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，且且，則則稱稱(, )()0, ( )0Cov(, )Cov(, )Corr(, )()( )XYX YD XD YX YX YX YD XD Y 相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量與與的的或或記記為為.XYXY 第33頁/共63頁是是有有量量綱綱的的量量，說說明明：而而是是無無量量綱綱的的量量. .Cov(,)Corr(,)X YX Y 相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)與與協(xié)協(xié)方方差差同同號(hào)號(hào)，其其取取值值意意義義也也反反映映出出正正相相關(guān)關(guān)、負(fù)負(fù)相相關(guān)關(guān)和和不不相相關(guān)關(guān). . 相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的協(xié)協(xié)方方差差. .若若記記標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化

23、隨隨機(jī)機(jī)變變量量分分別別為為(),( ),XYXYXYE XE YXYXY 第34頁/共63頁Cov(, )Cov(,)Cov(,)Corr(, ).XYXYXYXYX YX YX Y .),(),(222121相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的的與與試求試求設(shè)設(shè)YXNYX例例6由由21222112222211221( , )21()()()()1exp22(1)f x yxxyy 解解第35頁/共63頁,e21)(21212)(1 xxfxX.,e21)(22222)(2 yyfyY.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxfyxYXdd),()(),Cov(21 而而第36頁/共63頁

24、122121()()21xy ,1111222 xyt令令,11xu 2212122211()122(1)eed d .x y x y x 第37頁/共63頁 ututuYXtudde )1(21),Cov(2222122122 tuutudede22222122 ttuutudede212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有第38頁/共63頁Cov(, )Corr(, ).()( )X YX YD XD Y 于是結(jié)論結(jié)論;,)1(的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與代表了代表了參數(shù)參數(shù)中中二維正態(tài)分布密度函數(shù)二維正態(tài)分布密度函數(shù)YX. )2(相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與等價(jià)于等價(jià)于相關(guān)系數(shù)

25、為零相關(guān)系數(shù)為零與與二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量YXYX .XYXY二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量與與不不相相關(guān)關(guān)與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立即即第39頁/共63頁2. 性質(zhì)性質(zhì)（）對(duì)對(duì)任任意意二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量若若 與與 的的方方差差存存在在，且且記記則則有有施施瓦瓦茨茨不不等等式式22222(,),(),( ),Cov(,).XYXYX YXYD XD YX Y 引引理理若若，則則 幾幾乎乎處處處處是是常常數(shù)數(shù)，因因而而 與與 的的協(xié)協(xié)方方差差為為 ，所所證證不不等等式式成成立立. .證證200XXXY 若若考考慮慮 的的二二次次函函數(shù)數(shù)：222220,( ) ()( )2Cov(,)

26、.XXYtg tE t XE XYE YttX Y 第40頁/共63頁由由于于二二次次三三項(xiàng)項(xiàng)式式，所所以以判判別別式式( )0g t 即即2222222Cov(,)40,Cov(,).XYXYX YX Y 1Corr(,)1.X Y （）證證明明只只需需用用施施瓦瓦茨茨不不等等式式即即可可.的的充充要要條條件件是是 與與 幾幾乎乎處處處處有有線線性性關(guān)關(guān)系系，即即存存在在常常數(shù)數(shù)與與 使使得得(2) Corr(,)1(0)1.X YXYabP YaXb 第41頁/共63頁其其中中當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,有有當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,有有Corr(,)10;Corr(,)10.X YaX Ya 充充分分性性 若若也

27、也證證一一樣樣 ，則則.()YaXb XcYd1,0;Cov(,)()Corr(,)()1,0.XYaX YaD XX Ya D Xa 2( )(),Cov(,)Cov(,)(),D Ya D XX YaX XaD X 必必要要性性因因?yàn)闉椋?()22Cov(,)21 Corr(, )XYXYXYXYDX Y 第42頁/共63頁所所以以當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有Corr(,)1,()0,XYX YXYD 由由此此得得()1.XYXYPc 或或()1.YYXP YXc 即即證證明明了了當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)與與幾幾乎乎處處處處線線性性正正相相關(guān)關(guān)Corr(,)1,.X YXY 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有Corr(,)1,()0,XY

28、X YXYD 由由此此得得()1.XYXYPc 或或()1.YYXP YXc 即即證證明明了了當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)與與幾幾乎乎處處處處線線性性負(fù)負(fù)相相關(guān)關(guān)Corr(,)1,.X YXY 第43頁/共63頁（ ） 設(shè)設(shè)與與不不相相關(guān)關(guān)等等價(jià)價(jià)于于與與獨(dú)獨(dú)立立2212123(,) (, ),.X YN XYXY由由例例6 6知知 ， 與與 不不相相關(guān)關(guān)，即即 ，兩兩個(gè)個(gè)邊邊際際分分布布：聯(lián)聯(lián)合合分分證證布布，從從而而有有即即 與與 獨(dú)獨(dú)立立. .2211222212122Corr(, )0(,),(,),(, ) (, )( , )( )( ),(, ).XYX YXYXNYNX YN f x yfx fyX

29、 YRXY 反反之之，若若 與與 獨(dú)獨(dú)立立，則則于于是是即即 與與 不不相相關(guān)關(guān). .Cov(, )0,Corr(, )0.XYX YX YXY 第44頁/共63頁.),(的的關(guān)關(guān)系系相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)的的概概率率密密度度曲曲面面與與二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 XYYX單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出第45頁/共63頁3.相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意義當(dāng)當(dāng)較較大大時(shí)時(shí)的的線線性性相相關(guān)關(guān)程程度度較較高高，越越接接近近于于 ，則則線線性性相相關(guān)關(guān)程程度度越越高高Corr(,),Corr(,)1.X YX YX Y當(dāng)當(dāng)較較小小時(shí)時(shí)的的線線性性相相關(guān)關(guān)程程度度較較差差

30、. .越越接接近近于于 ，則則線線性性相相關(guān)關(guān)程程度度越越低低. .Corr(, ),Corr(, )0X YX YX Y當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)和和不不相相關(guān)關(guān)Corr(,)0,.X YXY 相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)刻刻畫畫了了 與與 之之間間具具有有線線性性關(guān)關(guān)系系的的程程度度，因因此此也也稱稱“線線性性相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)”. .Corr(, )X YXY第46頁/共63頁例例7 ?,),cos(,cos,2, 0的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)和和求求是常數(shù)是常數(shù)這里這里的均勻分布的均勻分布服從服從設(shè)設(shè) aa 解解, 0dcos21)(20 xxE ,21dcos21)(2022 xxE , 0d)(cos21)(20 xa

31、xE ,21d)(cos21)(2022 xaxE 第47頁/共63頁,cos21d)cos(cos21)(20axaxxE 數(shù)為數(shù)為由以上數(shù)據(jù)可得相關(guān)系由以上數(shù)據(jù)可得相關(guān)系.cosa , 1,0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)a, 1, 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)a .存在線性關(guān)系存在線性關(guān)系, 0,232 時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)aa.不相關(guān)不相關(guān)與與 但但22221,1, .不獨(dú)立不獨(dú)立與與因此因此 第48頁/共63頁.的相關(guān)關(guān)系的相關(guān)關(guān)系與與動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示 單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停 ESCESC鍵退出鍵退出第49頁/共63頁算算得得很很小小，即即 與與 的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性微微弱弱，可可以以忽忽略略不不計(jì)計(jì)；而而，即

32、即 與與 的的正正線線性性相相關(guān)關(guān)性性很很強(qiáng)強(qiáng). .究究其其原原因因在在于于前前者者沒沒有有考考慮慮標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差，若若兩兩個(gè)個(gè)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差都都很很小小，即即使使協(xié)協(xié)方方差差小小些些，相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)也也能能顯顯示示一一定定程程度度的的相相關(guān)關(guān)性性. .由由此此可可見見，在在協(xié)協(xié)方方差差的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上定定義義相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)更更具具有有其其例例合合理理性性. .1763.4.6Cov(,)0.0471Corr(,)0.8243X YXYXYPX Y 第50頁/共63頁五、隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣五、隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣1.定義定義設(shè)設(shè)維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，記記維維若若其其每每個(gè)個(gè)分

33、分量量（也也是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量）的的均均數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望向向量量值值都都存存在在，則則稱稱為為維維隨隨隨隨機(jī)機(jī)向向機(jī)機(jī)向向量量 的的，簡簡稱稱 的的. .量量數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望12T12T12(,)X(,) ,(X)(),(),()XXnnnnXXXnXXXEE XE XE Xn 二二稱稱 為為 維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的（存存在在的的話話）中中. .階階混混合合心心矩矩12Cov(,)()(),1,2, .(,)ijijiijjncX XE XE XXE Xi jnnX XX 第51頁/共63頁方方差差協(xié)協(xié)方方差差矩矩陣陣協(xié)協(xié)方方差差陣陣（ ）令令矩矩陣陣，稱稱 為為隨隨機(jī)機(jī)向向量量 的的，簡

34、簡稱稱. .記記為為. .111212122212CovXXnnnnnnccccccCcccC 說說明明：TCov(X) =(X -(X)(X -(X) .EEE 協(xié)協(xié)方方差差陣陣中中對(duì)對(duì)角角線線元元素素為為方方差差非非對(duì)對(duì)角角線線元元素素為為協(xié)協(xié)方方差差(),Cov(,).iiiijijcD XcXX 第52頁/共63頁的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量例如例如),(21XX 22211211ccccC,)(21111XEXEc 其中其中),()(221112XEXXEXEc ),()(112221XEXXEXEc .)(22222XEXEc 2.性質(zhì)性質(zhì)第53頁/共63頁XCov(X) = (Cov(,).ijn nnXXn 維維隨隨機(jī)機(jī)向向量量的的協(xié)協(xié)方方差差陣陣是是一一個(gè)個(gè) 階階對(duì)對(duì)稱稱的的非非負(fù)負(fù)