第五章測量誤差的基本知識

1、第五章第五章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識 測量誤差概述衡量精度的標準等精度觀測值的算術平均值及 精度評定誤差傳播定律及其應用加權平均值及其中誤差第五章學習重點第五章學習重點 1.衡量精度的標準。 2.用最或然誤差求觀測值的中誤差。 3.一般函數求中誤差的公式。 5-1 測量誤差概述測量誤差概述 誤差的概念誤差的概念真值真值能代表觀測量真實大小的值；觀測值觀測值通過觀測獲得的觀測量的值；誤差誤差觀測值與理論值之間的差值， i i=Li i-X(真誤差)。誤差來源誤差來源儀器：由于設計、制造上的不完善，或檢校后存在的殘余誤差，給觀測值帶來的誤差。人：由于人的生理局限，技術水平的高低和工作

2、態(tài)度，給觀測值帶來的誤差。外界條件：由于外界條件如溫度、濕度、風力等的變化，給觀測值帶來的誤差。觀測條件觀測條件等精度觀測與非等精度觀測等精度觀測與非等精度觀測誤差的分類誤差的分類系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下進行一系列觀測，如果誤差出現的符號和大小具有確定性的規(guī)律，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差具有累積性累積性和可消減性可消減性?？梢栽谟^測前采取有效的預防措施、觀測時采用合理的方法 ，觀測后對觀測結果進行必要的計算改正，以盡量消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響。偶然誤差偶然誤差 在相同的觀測條件下進行一系列觀測，如果單個誤差出現的符號和大小都表現出偶然性，但多次觀測的誤差總體上具有一定的統(tǒng)計規(guī)

3、律性，這種誤差稱為偶然誤差。 任何觀測值都會包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差，有時還包含粗差（錯誤或超限）。 當觀測值中的粗差被剔除，系統(tǒng)誤差被消除或削弱到最小限度，可以認為觀測值中僅含偶然誤差，從而把觀測值和偶然誤差都當作隨機變量，用概率統(tǒng)計的方法來研究。偶然誤差的分布偶然誤差的分布一定的觀測條件，對應著一個確定的分布。偶然誤差服從數學期望為的正態(tài)分布， 即(0,2)y=(nb/n)/dy=f()1.002.03.0-1.0-2.0-3.0d0.20.4Sn偶然誤差的統(tǒng)計特性偶然誤差的統(tǒng)計特性 在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不超過一定的限值； 絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的機會大； 絕對

4、值相等的正誤差和負誤差出現的機會相等； 當觀測次數無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨近于零。0limnn5-2 衡量精度的標準衡量精度的標準 中誤差：用來反映誤差分布的密集或離散程度的量，其大小為該組觀測值所對應的標準差的近似值。由真誤差計算中誤差的公式 容許誤差：測量中規(guī)定的誤差的限值，通常取中誤差的三倍或兩倍作為限差。 相對誤差：絕對誤差與觀測值的比值，并將分子化作1的分數。nm5-3算術平均值及其中誤差算術平均值及其中誤差 算術平均值算術平均值的中誤差觀測值的中誤差由觀測值的真誤差計算中誤差改正數的概念由觀測值的改正數計算中誤差實例觀測值的中誤差觀測值的中誤差由觀測值的真誤差計算中誤差其

5、中 改正數的概念由觀測值的改正數計算中誤差（2）+（3），得 令算術平均值的真誤差為則有 )1 (nm)2(Xlii)3(iilxVXxVii)4(Xxx )6(2222xxxxxiinVnVVnnVVVV(5)(5)觀測值的中誤差觀測值的中誤差由（3）可知（5）中 =0所以有 111).(12222221,2122221222nVVmnmmnVVmnmn，nnnnnnXlXnlXxnVVnxxnjijiniinxxxji中誤差由改正數計算觀測值的于是有上式右端第二項趨于零無限增大時當而(5)(5)式式實例 設對某角同精度觀測6測回，觀測值見下表。試求該角的最或然值、觀測值中誤差和最或然值中誤

6、差。（計算在表格中進行，注意檢核。） 6 . 21 nvvm 1 . 1) 1( nnvvM編號觀 測 值精度評定1752126002752124+243752123+394752125+115752128-246752130-41輔助計算x=752126V=0VV=34KDM1均5-4 誤差傳播定律及其應用誤差傳播定律及其應用 誤差傳播定律誤差傳播定律闡述觀測值的中誤差與觀測值函數中誤差之間關系的定律。線性函數的誤差傳播定律非線性函數的誤差傳播定律 誤差傳播定律在測量中的應用舉例誤差傳播定律在測量中的應用舉例水準測量的精度距離測量的精度水平角測量的精度根據實際要求確定觀測精度和觀測方法誤差傳

7、播定律（線性函數）誤差傳播定律（線性函數） 2222222121222222212121,1,22222221212)()(22)(11(r)tt22110tt22110)2 , 1( 有次n值進行假若對,KKK=Z則有KxKxKxK=Z,個獨立t設ttziizjitjijijitjijittrttrrmKmKmKmmKmKmKmKKKKKKK，nnrkkkjiji有其中得個式子平方后求和將上列觀測，該組觀測觀測值的線性函數誤差傳播定律（線性函數）誤差傳播定律（線性函數）兩種特殊情況(1)設Z是一組同精度獨立觀測值的代數和， 該組觀測值的中誤差均為m，即 Z=x1x2.xn 則(2)對某量同精

8、度觀測n次，則其算術平均值為 設觀測值的中誤差為m，則觀測值的算術平均值中誤差為nmmz)(121nlllnxnmmx誤差傳播定律（非線性函數）誤差傳播定律（非線性函數）設t個獨立觀測值的非線性函數 z=（x1,x2xt）對該式求全微分，并用真誤差代替微分量，有再利用線性函數的誤差傳播定律公式，可得ttxfxfxf22112222222121)()()(ttmxfmxfmxfm誤差傳播定律（非線性函數）誤差傳播定律（非線性函數） mmmDmmDhDSmdhDhdSDSdhhShdShSSdhhfdSSfdDhSDmhSDmmhSD5922.29550)0685. 0(30023. 1)()(9

9、22.2905. 2992.29022222202200002222022022220即于是求全微分，得對例: 設沿傾斜面上A、B兩點間量得距離S=29.992m3mm,并測得兩點之間的高差h=2.05m50mm。試求水平距離D0及其中誤差mD0。 誤差傳播定律（非線性函數）誤差傳播定律（非線性函數） 設對下圖中的三角形測得=50055010，=89434020,b=150.00m0.05m; 試求a邊的長度及其中誤差ma。解: 為便于對 求全微分,先對其取自然對數,得Ina=Inb+Insina-Insin,然后對上式求全微分,有統(tǒng)一單位后，則有 即ma=0.04ma=115.07m0.04

10、mmba07.115999989. 0767134. 000.150sinsinsinsinba dctgdctgbdbada2222222222200156. 0)()(mmctgamctgambambABCa ab b運用誤差傳播定律的方法運用誤差傳播定律的方法 （1）建立函數Z=（x1,x2,.,xt） （2）對于獨立觀測值的線性函數，可直接 應用誤差傳播定律公式；若自變量中有非 獨立觀測值，應變換成獨立觀測值的線性 函數后，再應用誤差傳播定律。（3）對非線性函數，必須通過求其全微分 化成線性形式。（4）連乘連除的非線性函數，可先取對 數，再求全微分。（5）注意統(tǒng)一單位。誤差傳播定律在測

11、量上應用舉例誤差傳播定律在測量上應用舉例 (1)水準測量水準測量的精度的精度設對A、B兩水準點間的高差h施測了n個測站，則hAB=h1+h2+hn 若各測站觀測的精度相同，其中誤差均為m站，則 設各測站的S大致相等，A、B間的距離為L，則測站數如果L、S均以千米為單位，則 為1Km觀測高差的中誤差，令 n站mmhSLnS1m站LSkmhKmm m 1m m則有站誤差傳播定律在測量上應用舉例誤差傳播定律在測量上應用舉例(2)距離丈量距離丈量的精度的精度 若用長度為l l的鋼尺量距，連續(xù)丈量n個整尺段，設全長為D，則D=l l1+l l2+l ln設每尺段的量距中誤差為ml l則 其中 是定值，為

12、單位長度的量距中誤差。即 DlmlDlllm = nm=mDlmmlDmmD誤差傳播定律在測量上應用舉例誤差傳播定律在測量上應用舉例(3)水平角測量水平角測量的精度的精度DJ6級經緯儀一測回方向值中誤差為m方=角值是兩個方向值之差，故一測回角值中誤差為設n邊形各內角均觀測一測回，其閉合差為 =(1+2+n)-(n-2)1800n邊形閉合差的中誤差為取三倍中誤差為容許誤差，則多邊形閉合差的容許誤差為一般取 或5 . 8262mm 方nnmm5 . 8 nmf5 .253 n42 n04 誤差傳播定律在測量上應用舉例誤差傳播定律在測量上應用舉例 (4)根據實際要求確定觀測精度和觀測方法根據實際要求

13、確定觀測精度和觀測方法 設對某三角形觀測了及，若角以3 的精度觀測，為使r角的中誤差5，問應以怎樣的精度進行觀測？若使用J6級經緯儀應測幾測回？根據誤差傳播定律，有J6級經緯儀一測回測角中誤差為8.5 ，若觀測n個測回，角平均值的中誤差為則有即角應測5測回。a180:解4222 mmmmr所以2245 . 8n545 . 822nABC不等精度觀測不等精度觀測不同觀測條件下的一組觀測。誤差小，精度高，所占比重（權權）大，反之亦然。權權 定義式：設pi表示觀測值Li的權，則 式中為任意常數，在確定同一組觀測值的權pi時，必須采用同一個值。幾個概念幾個概念單位權：等于的權。單位權觀測值：權為的觀測

14、值。單位權中誤差：權為的觀測值的中誤差()。nnnnl pppl pl pl ppplx212211加權平均值5-4 加權平均值及其中誤差加權平均值及其中誤差22iimp例：已知L1的中誤差m1=mm， L的中誤差m=mm， L的中誤差m=mm。求各觀測值的權。解：若設 = m1 =mm，則，若設 = mm，則，上述兩組權 單位權中誤差的計算公式（見下頁）;259)5()3(;169)4()3(1)3()3(222323222222222121mpmpmp;251)5() 1(;161)4() 1(;91) 3() 1(222323222222222121mpmpmp36. 0:56. 0:1

15、:321321pppppp1)(npvv單位權中誤差的計算公式等精度觀測中，算術平均值的中誤差，依權定義式得L的權為n；類似地可知，不等精度觀測，權為pi的觀測值li等同于pi個等精度觀測值的算術平均值，即： ，可建立與等精度觀測的聯系可建立與等精度觀測的聯系。構造證明：因為結論：任何一個觀測值只要乘上其權pi的平方根，所得的虛擬觀測值Li的權都為，即Li的權都是單位權，它們的中誤差就是單位權中誤差。這組虛擬觀測值Li的真誤差可按 求得：nmM iiplliiipll nlL1;2222222222iilillilliliiippmpmppmmpmplliiiiii)2 , 1(nipllii

16、i)2 , 1(nipiii單位權觀測值，這樣的單位權觀測值有n個。因為它們都是同精度觀測的中誤差，所以按中誤差的定義式得用用真誤差真誤差計算計算單位權中誤差的公式單位權中誤差的公式用改正數計算用改正數計算單位權中誤差的公式單位權中誤差的公式帶權平均值的中誤差計算公式帶權平均值的中誤差計算公式帶權平均值的權等于各觀測值的權之和。npnpppnn)(22222111)(npvvpmx例：C=1Km，表示1Km水準路線高差觀測值的權為單位權。水準路線已知點已知點高程(m)觀測高差(m)結點D高程(m)路線長（Km）權P=c/Li(c=1)=L-li(mm)PVV備注21.64525.53021.3

17、98+1.038-2.830+1.28222.68322.70022.6802.54.02.00.400.250.50+2.4-14.6+5.42.3053.2914.581.15+0.0170.17L3h3h2h1L1L2)(5 . 515. 19 . 5)(9 . 51317.70)(6854.2215. 1680.225 . 0700.2225. 0683.224 . 0mmmmmmmHHDD加權平均值水果 蘋果 桃 香蕉 物重(Kg) 5 3 8 單價(元) 2.30 1.50 4.00 求平均每 Kg 的水果價格？ P0=PL/P=(5*2.30+3*1.5+8*4.00)/(5+3+8)=3.00(元) 作業(yè)作業(yè)土木工程土木工程P99 1、8、9、11謝謝 謝謝 ！作業(yè)作業(yè)工程管理工程管理P81 1、8、9、11謝謝 謝謝 ！第五章學習方法指導學習重點：1.衡量精度的標準。2.用最或然誤差求觀測值的中誤差。3一般函數求中誤差的公式。學習要求和方法：5-1節(jié)的內容是對2-5、3-8和4-3各節(jié)的總結和歸納，二，三，四各章中測量方法的規(guī)定，都是為了消除測量過程中的系統(tǒng)誤差和減小偶然誤差對測量結果的影響。偶然誤差的四個特性就是測量誤差在統(tǒng)計學上的規(guī)律。5-2節(jié)中誤差的定義一定要記住。中誤差是我們衡量精度的主要標準，是以后各節(jié)求觀測值函數之中誤差