集體備課資料集--三角函數(shù)1

1、內(nèi)容任意角和弧度制，任意角的三角函數(shù)項(xiàng)目具體內(nèi)容：任意角和弧度制，任意角的三角函數(shù)修 改意見教學(xué)目標(biāo)理解任意角的概念(包括正角、負(fù)角、零角) 與區(qū)間角的概念.會(huì)建立直角坐標(biāo)系討論任意角,能判斷象限角,會(huì)書寫終邊相同角的集合；掌握區(qū)間角的集合理解弧度的意義；了解角的集合與實(shí)數(shù)集 R 之間的可建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；熟記特殊角的弧度數(shù)利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的定義域、值域有更深的理解。掌握任意角的三角函數(shù)的定義能根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它們之間的聯(lián)系；熟練掌握已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值的

2、方法。教學(xué)重點(diǎn)任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書寫能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算， 能推導(dǎo)弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式，并能運(yùn)用公式解決一些實(shí)際問題弧度的概念弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明正弦、余弦、正切線的概念。任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)） ，以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教學(xué)難點(diǎn)終邊相同角的集合的表示；區(qū)間角的集合的書寫“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系正弦、余弦、正切線的利用。利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表示出來.三

3、角函數(shù)值的符號(hào)的確定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)過程設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖修 改意見1角的有關(guān)概念：角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形角的名稱：角的分類：始邊終邊頂點(diǎn)AOB第 2頁正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角注意：在不引起混淆的情況下， “角 ”或“ ”可以簡(jiǎn)化成“ ” ；零角的終邊與始邊重合，如果是零角 =0；角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角練習(xí)：請(qǐng)說出角、各是多少度?2象限角的概念：定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點(diǎn)除外)在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾

4、象限角例 1如圖中的角分別屬于第幾象限角？B1yOx45B2OxB3y3060o例 2在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角60； 120； 240； 300； 420； 480；答：分別為 1、2、3、4、1、2 象限角終邊相同的角的表示：所有與角終邊相同的角，連同在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合 S | = +k360 ，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整個(gè)周角的和注意：kZ 是任一角； 終邊相同的角不一定相等， 但相等的角終邊一定相同 終邊相同的角有無限個(gè)，它們相差360的整數(shù)倍； 角 + k720 與角終邊相同，但不能表示與角終邊相同的所有角例 3在 0到 360范圍

5、內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角120；640 ；95012 答：240,第三象限角；280,第四象限角；12948,第二象限角；例 4寫出終邊在 y 軸上的角的集合(用 0到 360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ例 5 寫出終邊在xy 上的角的集合 S,并把 S 中適合不等式360720的元素寫出來1.1.2 弧度制（一）負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角第 3頁1引入：由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的, 角度制的度量是 60 進(jìn)制的,運(yùn)用起來不太方便.在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度弧度制，它是如何定義呢？2定義我們規(guī)定

6、,長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做 1 弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制在弧度制下, 1 弧度記做 1rad在實(shí)際運(yùn)算中，常常將 rad 單位省略3思考：（1） 一定大小的圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)嗎？（2）引導(dǎo)學(xué)生完成 P6 的探究并歸納：弧度制的性質(zhì)：半圓所對(duì)的圓心角為;rr整圓所對(duì)的圓心角為.22rr正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)零角的弧度數(shù)是零角的弧度數(shù)的絕對(duì)值|=. rl4角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：將角度化為弧度：2360 ；180；rad01745. 01801；radnn180將弧度化為角度：2360p=；180p=；180

7、1()57.3057 18radp=盎；180( )nnp=5常規(guī)寫法： 用弧度數(shù)表示角時(shí),常常把弧度數(shù)寫成多少 的形式, 不必寫成小數(shù) 弧度與角度不能混用6特殊角的弧度角度030456090120135150180270360弧度064323243652327弧長(zhǎng)公式llrraa=弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積例 1把 6730化成弧度例 2把rad 53化成度例 3計(jì)算：第 4頁4sin) 1 (；5 . 1tan)2(例 4將下列各角化成 0 到 2的角加上 2k（kZ）的形式：319) 1 (；315)2(例 5將下列各角化成 2k + (kZ,02)的形式,并

8、確定其所在的象限319) 1 (；631)2(證法一:圓的面積為2R,圓心角為 1rad 的扇形面積為221R,又扇形弧長(zhǎng)為l,半徑為 R,扇形的圓心角大小為Rlrad, 扇形面積lRRRlS21212證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為 n，則在角度制下的扇形面積公式為3602RnS，又此時(shí)弧長(zhǎng)180Rnl，RlRRnS2118021可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡(jiǎn)潔得多22121:RlRS扇形面積公式4-1.2.1 任意角的三角函數(shù)（三）當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)( , )P x y的坐標(biāo)滿足221xy時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示三角函數(shù)線。1有向線段

9、：坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)。有向線段：帶有方向的線段。2三角函數(shù)線的定義：設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)P( , )x y，過P作x軸的垂線，垂足為M；過點(diǎn)(1,0)A作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延.,216. 是圓的半徑是扇形弧長(zhǎng)其中積公式利用弧度制證明扇形面例RllRS oxyMTPAxyoMTPA第 5頁長(zhǎng)線交與點(diǎn)T.由四個(gè)圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段,OMx MPy，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMO

10、A我們就分別稱有向線段,MP OM AT為正弦線、余弦線、正切線。說明：（1） 三條有向線段的位置： 正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)。（3）三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負(fù)值。（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。4例題分析：例 1作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。（1）3；（2

11、）56；（3）23；（4）136oxyMTPAxyoMTPA（）（）（）（）第 6頁解：圖略。例 2. 1cossin20，證明若54tan32tan)(354cos32cos)(254sin32sin)(1. 3與與與比較大?。豪?(21sin20. 4的取值范圍是的上滿足，在例xx ，65.D 326.C 656.B 6, 0.A例 5. 利用單位圓寫出符合下列條件的角 x 的范圍;21sin) 1 (x.21cos)2(x答案： （1）71122,66kxkkZ； （2）22,66kxkkZ4-1.2.1 任意角的三角函數(shù)（1）1三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)

12、P（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為( , )x y，它與原點(diǎn)的距離為2222(|0)r rxyxy，那么（1）比值yr叫做的正弦，記作sin，即sinyr；（2）比值xr叫做的余弦，記作cos，即cosxr；（3）比值yx叫做的正切，記作tan，即tanyx；（4）比值xy叫做的余切，記作cot，即cotxy；第 7頁說明：的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，的終邊沒有表明一定是正角或負(fù)角，以及的大小，只表明與的終邊相同的角所在的位置；根據(jù)相似三角形的知識(shí)， 對(duì)于確定的角， 四個(gè)比值不以點(diǎn)( , )P x y在的終邊上的位置的改變而改變大??；當(dāng)()2kkZ時(shí)，的終邊在y軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x都等于0，所以

13、tanyx無意義；同理當(dāng)()kkZ時(shí)，yxcot無意義；除以上兩種情況外，對(duì)于確定的值，比值yr、xr、yx、xy分別是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。2三角函數(shù)的定義域、值域注意：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與 x 軸的非負(fù)半軸重合.(2) 是任意角，射線 OP 是角的終邊，的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox 轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到 OP 的位置無關(guān).(3)sin是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與

14、區(qū)別:銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似（直角）三角形的性質(zhì)， “r”同為正值. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過程.(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.3例題分析例 1求下列各角的四個(gè)三角函數(shù)值：（通過本例總結(jié)特殊角的三角函

15、數(shù)值）函數(shù)定義域值域sinyR 1,1cosyR 1,1tany |,2kkZ R第 8頁（1）0；（2）；（3）32解： （1）因?yàn)楫?dāng)0時(shí)，xr，0y ，所以sin00，01cos ，tan00，cot0不存在。（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，xr ，0y ，所以sin0，cos1 ，tan0，cot不存在，（3）因?yàn)楫?dāng)32時(shí)，0 x ，yr ，所以3sin12 ，3cos02，3tan2不存在，3cot02，例 2已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(2, 3)P，求的四個(gè)函數(shù)值。解：因?yàn)?,3xy ，所以222( 3)13r ，于是33 13sin1313yr ；22 13cos1313xr；3tan2yx ；2cot3

16、xy 例 3已知角的終邊過點(diǎn)( ,2 )(0)aa a ，求的四個(gè)三角函數(shù)值。解：因?yàn)檫^點(diǎn)( ,2 )(0)aa a ，所以5 |ra，,2xa ya當(dāng)222 50sin55 |5yaaaraa時(shí)，5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc22；當(dāng)222 50sin55 |5yaaaraa 時(shí)，；5cos55xaara ；15tan2;cot;sec5;csc22 4三角函數(shù)的符號(hào)由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知：第 9頁正弦值yr對(duì)于第一、二象限為正（0,0yr） ，對(duì)于第三、四象限為負(fù)（0,0yr） ；余弦值xr對(duì)于第一、四象限為正（0,0 x

17、r） ，對(duì)于第二、三象限為負(fù)（0,0 xr） ；正切值yx對(duì)于第一、三象限為正（, x y同號(hào)） ，對(duì)于第二、四象限為負(fù)（, x y異號(hào)） 說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。練習(xí)： 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：（1）cos250；（2）sin()4；（3）tan( 672 )；（4）11tan3例 4求證：若sin0且tan0，則角是第三象限角，反之也成立。5誘導(dǎo)公式由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：sin(2)sink，cos(2)cosk，其中kZtan(2)tank，這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為02間角的三角函數(shù)值問題例 5求

18、下列三角函數(shù)的值： （1）9cos4，（2）11tan()6，例 6求函數(shù)xxxxytantancoscos的值域解： 定義域：cosx0 x 的終邊不在 x 軸上又tanx0 x 的終邊不在 y軸上當(dāng) x 是第象限角時(shí)，0, 0yxcosx=|cosx|tanx=|tanx|y=2,0, 0yx|cosx|=cosx|tanx|=tanx y=2,0, 00, 0yxyx|cosx|=cosx|tanx|=tanx y=04-1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系第 10頁（一）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：（板書課題：同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系）由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：（1）商數(shù)關(guān)系

19、：consintan（2）平方關(guān)系：1sin22con說明：注意“同角” ，至于角的形式無關(guān)重要，如22sin 4cos 41等；注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，如tancot1(,)2kkZ；對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用（正用、反用、變形用） ，如：2cos1 sin ，22sin1 cos ，sincostan等。2例題分析：一、求值問題例 1 （1）已知12sin13，并且是第二象限角，求cos ,tan ,cot（2）已知4cos5 ，求sin ,tan解： （1）22sincos1，2222125cos1 sin1 ()()1313 又是第二象限角，cos

20、0，即有5cos13 ，從而sin12tancos5 ，15cottan12 （2）22sincos1，222243sin1 cos1 ()( )55 ，又4cos05 ，在第二或三象限角。當(dāng)在第二象限時(shí)，即有sin0，從而3sin5，sin3tancos4；第 11頁當(dāng)在第四象限時(shí)，即有sin0，從而3sin5 ，sin3tancos4總結(jié)：已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，確定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時(shí)，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。解題時(shí)產(chǎn)生遺漏的主要原因是：沒有確定好或不去確定角的終邊位置；利用平方關(guān)系開平方時(shí)，漏掉了

21、負(fù)的平方根。例 2已知tan為非零實(shí)數(shù)，用tan表示sin ,cos解：22sincos1，sintancos，2222(costan)coscos(1tan)1，即有221cos1tan，又tan為非零實(shí)數(shù)，為象限角。當(dāng)在第一、 四象限時(shí)， 即有cos0， 從而22211tancos1tan1tan，22tan1tansintancos1tan；當(dāng)在第二、三象限時(shí)，即有cos0，從而22211tancos1tan1tan ，22tan1tansintancos1tan 例 3、已知cos2sin，求cos2sin5cos4sin解：2tancos2sin611222tan54tancos2sin5cos4sin強(qiáng)調(diào)（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、分母同除以cos,將分子、分母轉(zhuǎn)化為tan的代數(shù)式；2 “化 1 法”22coscossin2sin2第 12頁可利用平方關(guān)系1cossin22，將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，再利用商數(shù)關(guān)系化歸為tan的分式求值；小結(jié)：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，化簡(jiǎn)的一般要求是：（1）盡量使函數(shù)種類最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低；（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；