球與多面體的切接關(guān)系 (1)

1、鄲城一高數(shù)學(xué)組1正方體與球動(dòng)畫(huà)顯示動(dòng)畫(huà)顯示一、正方體的內(nèi)切球 鄲城一高高一數(shù)學(xué)組位置關(guān)系描述：球與正方體的六個(gè)面都相切，各個(gè)面的中心即為切點(diǎn)。正方體的中心即為球心。相對(duì)兩個(gè)面中心連線(xiàn)即為球的直徑。球叫做“正方體的內(nèi)切球”，正方體叫做“球的外切正方體”。o圖形度量關(guān)系球的直徑等于正方體棱長(zhǎng)。aR 2一、正方體的內(nèi)切球例題1求棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的表面積解：因球與正方體內(nèi)切，所以，球的直徑等于正方體棱長(zhǎng)，即441222rSrr即時(shí)練習(xí)：一個(gè)正方體的體積是8，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的表面積是（ ）2.4.6.8.DCBAC動(dòng)畫(huà)顯示動(dòng)畫(huà)顯示二、球與正方體的棱相切位置關(guān)系描述：度量關(guān)系圖形二、球與正方

2、體的棱相切球與正方體的12條棱都相切，各棱的中點(diǎn)即為切點(diǎn)。正方體中心即為球心?！皩?duì)棱”中點(diǎn)連線(xiàn)即為球的直徑。球的直徑等于正方體一個(gè)面上的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)aR22即時(shí)練習(xí)：在一個(gè)空的正方體框架內(nèi)放置一球，若正方體棱長(zhǎng)為a,則此球的最大體積是332a動(dòng)畫(huà)顯示動(dòng)畫(huà)顯示三、 正方體的外接球圖形位置關(guān)系描述：度量關(guān)系三、 正方體的外接球正方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上。正方體的中心即為球心。球叫做“正方體的外接球”，正方體叫做“球的內(nèi)接正方體”。正方體的（體）對(duì)角線(xiàn)等于球直徑aR32_課堂練習(xí)正方體的內(nèi)切球與外接球半徑的比是2:1.3:2.3:1.2:1.DCBAB正方體的全面積是 ，它的頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球

3、的表面積是若球面內(nèi)接正方體對(duì)角面面積為 ，設(shè)球面內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a，則對(duì)角面面積為124323,2,242222RSaRaaaa球的面積為球半徑為2a22a24解：22222442662323,3266,6,aRSaaxRxRaxaxx球的表面積為得：由則設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為例題2求球的表面積2長(zhǎng)方體與球一、長(zhǎng)方體的外接球位置關(guān)系描述：長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上。長(zhǎng)方體的中心（對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)）即為球心。球叫做“長(zhǎng)方體的外接球”，長(zhǎng)方體叫做“球的內(nèi)接長(zhǎng)方體”。度量關(guān)系長(zhǎng)方體的（體）對(duì)角線(xiàn)等于球直徑圖形Rcbalcba2222，則、分別為設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別為3、4、

4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么，這個(gè)球的表面積是 ( )200.50.225.220.DCBAC思考：一般的長(zhǎng)方體有內(nèi)切球嗎？沒(méi)有。一個(gè)球在長(zhǎng)方體內(nèi)部，最多可以和該長(zhǎng)方體的5個(gè)面相切。如果一個(gè)長(zhǎng)方體有內(nèi)切球，那么它一定是正方體課堂練習(xí)例如，裝乒乓球的盒子如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球底面圓內(nèi)。則這個(gè)半球的面積與正方體表面積的比為 （ ）3.125.2.65.DCBAaaaal6)2(222將半球補(bǔ)成整球由長(zhǎng)方體內(nèi)接于球知：Rl2RaRa36,2629662622222RRaRSS正方體半球所以，選B分析1B例題3則兩個(gè)同樣的正方體對(duì)接構(gòu)成的長(zhǎng)方體就內(nèi)接于這個(gè)球。設(shè)正

5、方體棱長(zhǎng)為a，則所得長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為如圖,半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的一邊長(zhǎng)為變式練習(xí)求半球的表面積和體積答案：半球的表面積為27，半球的體積為18. 6分析2aRRaaaABROBaOA26,22,22222OABOAB設(shè)球心為O，則O亦為底面正方形的中心。26232622222aaaRSS正方體半球如圖，連結(jié)OA、OB，則得RtOAB.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，易知：例題4在半徑為R的球面上任取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作兩兩互相垂直的三條弦，求證：這三條弦的平方和為定值。POABCDO1證明設(shè)過(guò)球O上一點(diǎn)P，作三條互相垂直的弦PA、PB、PC，如圖所示設(shè)PB、PC所在的平面

6、與球O相交于小圓 O1，因?yàn)镻B與PC垂直，所以，BC為小圓 O1直徑。連結(jié)PO1并延長(zhǎng)交 O1于D，連結(jié)OO1.則OO1平面 O1。易知PA平面 O1，在小圓 O1中，2222PDBCPCPB2222)2( RADPDPA定值2222)2( RPCPBPA在大圓 O中，所以，OO1PA，所以球心O在A、P、D三點(diǎn)所確定的圓面內(nèi)，即過(guò)A、P、D的圓面是球的大圓。又PAPD，AD為該大圓的直徑（即O為AD的中點(diǎn)）。點(diǎn)P在直徑為 的球面上，過(guò)P作兩兩互相垂直的三條弦（兩端點(diǎn)均在球面上的線(xiàn)段），若其中一條弦長(zhǎng)是另一條弦長(zhǎng)的2倍，則這三條弦長(zhǎng)之和的最大值是（ ） 651052.5212.534.6.D

7、CBA1656,65,6)2(22222222babaRcba即設(shè)三條弦長(zhǎng)分別為a、b、c，且c=2b,則：sin530,cos6,0baba可設(shè)、51052)sin(51052)sin(253096sin5303cos63bacba則三條弦長(zhǎng)之和為 D 3 球與棱錐切接問(wèn)題舉例 （1） 球與正四面體球與正四面體正四面體P-ABC的棱長(zhǎng)為a，求它的外接球半徑R和內(nèi)切球半徑r分析：和正方體類(lèi)似，任何一個(gè)正四面體都有一個(gè)外接球和一個(gè)內(nèi)切球設(shè)其外接球的球心為O，則O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等即R。那么，點(diǎn)O在什么地方呢？由于P-ABC為正四面體，所以，點(diǎn)P在底面ABC上的射影H即為正ABC的中心，而點(diǎn)H

8、到頂點(diǎn)A、B、C的距離都相等。解：OPABCDKH取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD、PD，在PAD中，過(guò)P作PHAD， 則PH底面ABC。D為BC中點(diǎn)，ADBC,PDBC,BC平面PAD，BCPH;又 PHAD, PH底面ABC.在PAD中，過(guò)A作AKPD，則AK平面PBC那么，正四面體的兩條高PH與AK的交點(diǎn)即為球心O。當(dāng)點(diǎn)H沿著線(xiàn)段PH向上移動(dòng)至P時(shí)，仍然滿(mǎn)足到三頂點(diǎn)A、B、C的距離相等。據(jù)此，可猜想球心O應(yīng)在正四面體的高PH上；同理，球心O也在正四面體的其它頂點(diǎn)引發(fā)的高上。設(shè)另一條高為AK，則PH與AK的交點(diǎn)即為球心O。OPABCDKH連結(jié)HK，31OPOHAPKH31APKHDPDKDADH且a

9、hRrRr3631即有：KHPA KHOAPO顯見(jiàn)，內(nèi)切球的球心也是這個(gè)點(diǎn)O，即正四面體的外接球與內(nèi)切球是同心球。而且，OP=OA=R, OH=OK=r31DPDKDADHarRar463126特別提醒：同學(xué)們只要記住如下關(guān)系式即可：rRahrR336OPABCDKH正四面體的外接球、內(nèi)切球是同心球，球心即為正四面體的中心。正四面體的四條高相交于同一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做正四面體的中心。如圖，四邊形OKDH為箏形。即有：OK=OH,DK=DH,ODKH.共底邊的兩個(gè)等腰三角形形成的平面凸四邊形叫做箏形。正四面體的外接球的球心把正四面體的一條高分成的兩部分的比為 ( )32.41.31.21.DCBAB聯(lián)

10、想棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1，則四面體ACB1D1的棱長(zhǎng)都為 ，它的外接球也是正方體的外接球，其半徑為正方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半，即有r ，故所求球面積為棱長(zhǎng)為 的正四面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為 ( )一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為 ( ) A、3 B、4 C、5 D、62223AB1CD1 題目：解1：要理解和掌握“正方體與正四面體“的這種圖形上的關(guān)系，對(duì)于快速解題有很大幫助。外接球的半徑2324646aR解2：342RS36.34.32.3.DCBAA C鞏固練習(xí)22S3（2） 球與正三棱錐球與正三棱錐OPABCDHMOHPA

11、BCDM正三棱錐的外接球的球心在它的高所在直線(xiàn)上球心在高PH上，即在錐體內(nèi)部球心在高PH的延長(zhǎng)線(xiàn)上，即在錐體外部球心與底面正中心H重合OPACDMHB度量關(guān)系：設(shè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為b，側(cè)棱長(zhǎng)為a，高為h，外接圓半徑為R，222)33(hbaRhaPMPHPA2,22即或在RtAHO中，222222)()33,RRhbAOHOAH（即OPABCDKH正三棱錐的內(nèi)切球的球心在它的高上(與外接球的球心不一定重合）有關(guān)正三棱錐內(nèi)切球半徑的計(jì)算，通常利用RtPHDRtPKO，或放在箏形OKDH 中進(jìn)行。 OH=OK=r. 注意到球心O與棱BC中點(diǎn)D的連線(xiàn)平分二面角P-BC-A的平面角。把有關(guān)立體幾何的計(jì)

12、算轉(zhuǎn)化為平面幾何的計(jì)算，是最基本的策略。PHDOKrbrhhKOHDPOPDPKORtPHDRt36hbrhrPDHDOPOKP63sin或222222)63()33(hbhhba設(shè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為b，側(cè)棱長(zhǎng)為a， 高為h，斜高為h ，內(nèi)切圓半徑為r，bhbhr363正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為1，底面邊長(zhǎng)為 ，它的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則球的體積為 （ ）23622332AH339396122AHPAPHA解：設(shè)P在底面ABC上的射影為H，則H為正ABC的中心.延長(zhǎng)PH交球面于M，則PM為球的一直徑，PAM=90由Rt中的射影定理得：232331,22RRPMPHPA，即23233434

13、33）（球RV6.66.3.23.DCBAOPABCDMH法二由AHPH知：球心O在正三棱錐的高PH的延長(zhǎng)線(xiàn)上。在RtAHO,有：23,)33()36(222RRR 題目： 題目：正三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為 ( )解析：OPABCDKHPHDOK設(shè)正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為a ，底面邊長(zhǎng)為b ，三側(cè)棱兩兩垂直，各側(cè)面都是全等的等腰直角三角形。ab2aaabahah3396)33(,222222高斜高bhbhr363代入正三棱錐內(nèi)切球半徑公式：得：aar633333133263323633Rr又 正三棱錐外接球半徑 aR233: ) 13(.3: )

14、13(.)33( :1.3:1.DCBAD已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，且滿(mǎn)足PBPAPBPA00PBPA0PCPB0PAPC同理，PBPC, PCPA , 即PA、PB、PC兩兩互相垂直4)2(2222RPCPBPA易知，該三棱錐三個(gè)側(cè)面均為Rt，所以，其側(cè)面積為2)(21)(21222cbacabcabS解析：222222222,2,2,2cbacabcabcaacbccbabba三式相加得：說(shuō)明：,cPCbPBaPA設(shè)則三棱錐的側(cè)面積的最大值為 （ ）41.21.1.2.DCBAA 題目：提示：三棱錐三側(cè)面兩兩垂直 三側(cè)棱兩兩垂直正三棱錐對(duì)棱互相垂直，即SBAC,又S

15、BMN,且AMMN,所以，SB平面SAC。故，SBSA,SBSC,進(jìn)而，SASC.則三側(cè)棱互相垂直。以S為頂點(diǎn)，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則球的直徑 設(shè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為 ，則其外接球大圓的面積為 （ ）32SA在正三棱錐SABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且MNAM，若側(cè)棱則正三棱錐外接球的表面積是 （ ）C48.36.32.12.DCBACRSRSAR選即,364,3,3223SABCMN 題目：解析：34.9.32.3.DCBAC鞏固練習(xí)從P點(diǎn)出發(fā)三條射線(xiàn)PA，PB，PC兩兩成60，且分別與球O相切于A，B，C三點(diǎn)，若球的體積為 ， 則OP的距離為（ ）34ax

16、xaaPOPHPA26,36,22即0PABCHPABCO 因PA與球O相切于點(diǎn)A，OAPA,同理，OBPB,OCPC.RtPOA RtPOB RtPOC PA=PB=PC又APB=BPC=CPA=60PAB、PBC、PCA、ABC為全等的等邊三角形，P-ABC為正四面體；O-ABC為正三棱錐。解析：先想象一下圖形，畫(huà)出示意圖由已知得球半徑R=1，設(shè)PA=a，OP=x，設(shè)P在底面ABC上的射影為H（也是O在底面ABC上的射影），則AHPH.在RtPAO中，有：222221,xaPOAOPA即又3,2,2,234612222xaaaaa2.21.3.2.DCBAB 4 球與棱柱切接問(wèn)題舉例正三棱

17、柱的外接球球心在上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)。AOB是等腰三角形，OA=OB=ROABCA1B1C1M222dr21d33r,tRhOMaAMROAAOMR，中在設(shè)球半徑為R，球心到底面ABC的距離為d，ABC的外接圓半徑為r.設(shè)正三棱柱高AA1=h，底面邊長(zhǎng)為a。正三棱柱的內(nèi)切球如果一個(gè)正三棱柱有內(nèi)切球，則球心為正三棱柱上下底面中心連線(xiàn)的中點(diǎn)，球直徑等于正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)。各面中心即為切點(diǎn)（共5個(gè)）。底面正三角形中心到一邊的距離即為球半徑r。rarlhrahl322:, )則正三棱柱內(nèi)切球半徑為邊長(zhǎng)為底面正（即為其高設(shè)正三棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為解:在 中, , 可得由正弦定理,可得 外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓

18、心為 ，球心為 ，在 中，易得球半徑 ，故此球的表面積為. （2009全國(guó)卷理）直三棱柱 的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若 , ，則此球的表面積等于 。 2420R111ABCABC12ABACAA120BACABC2ABAC120BAC2 3BC ABCOORT OBO5R 真題賞析真題賞析ABCEOOBACB1A1C1OBOORr120（2009江西卷理）正三棱柱 內(nèi)接于半徑為2的球，若 兩點(diǎn)的球面距離為 ，則正三棱柱的體積為 111ABCABC,A B362322,23222,60sin222rrr即：60sin2,180sin23ranran由公式：真題賞析真題賞析由球面距離公式：得：,Rl

19、332964422rRd83322)22(43243222dadShSV解析：222,2RABAOB設(shè)正ABC的外接圓半徑為r球心O到平面ABC的距離為 8一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為2，將八個(gè)直徑各為1的球放進(jìn)去之后，正中央空間能放下的最大的球的直徑為 13 棱長(zhǎng)為a的正方體外接球的表面積為（ ） 2222.2.3.4.aDaCaBaA B八個(gè)球的球心連線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)立方體，且其棱長(zhǎng)為1.解析：O1O7O1O7MN137171NOMOOOMNd設(shè)過(guò)對(duì)角線(xiàn)設(shè)過(guò)對(duì)角線(xiàn)O1O7的對(duì)角面與球的對(duì)角面與球O1、O7分別交于分別交于M、N，如圖。則所求為：，如圖。則所求為：作業(yè)：已知體積為 的正三棱錐的外接球的球心為

20、，滿(mǎn)足 ,則三棱錐外接球的體積為 31630OAOBOC OBADC6,2ABACAD23如圖, 設(shè)A、B、C、D為球O上四點(diǎn)，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且，則AD兩點(diǎn)間的球面距離 . 提示：由已知得：球心O為正三棱錐底面ABC的中心。如圖，則有PAM為等腰直角三角形，O為斜邊PM中點(diǎn)。設(shè)底面正邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b，則aaAOhR332332aRb3624312939331231213343313133332aRaaaaShV得：由錐提示：21642222RADACABRAOD為等邊三角形.323RlAOD即半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn)，B、C間的球面距離是 ，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球

21、面距離均為 ，球心為O。23 Rl求： AOB，BOC的大??； 球心到截面ABC的距離； 球的內(nèi)接正方體的表面積與球面積之比解：球面距離2BOC3AOCAOBOA=OB=OC=1 2,1,BCACABBOC是等腰直角三角形而222,2BCrBCABCBACABC中點(diǎn)，外接圓半徑外接圓圓心是的是等腰直角三角形，2221122rRdABCO的距離到截面球心 設(shè)球的內(nèi)接正方體棱長(zhǎng)為a，則332,223aRa:24:)332(64:6222RaSS球正：OBACAOBACOBCOCBA的正三角形都是邊長(zhǎng)為、1AOCAOBA、B、C是半徑為1的球面上三點(diǎn)，B、C間的球面距離是 ，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為 ，球心為O