量子力學(xué)51中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)

1、第第 5 5 章章 中心力場(chǎng)中心力場(chǎng)中心力場(chǎng)的特征：中心力場(chǎng)的特征： 中心力場(chǎng)是球?qū)ΨQ場(chǎng)，勢(shì)V(r).幾種特殊中心力場(chǎng)：幾種特殊中心力場(chǎng)：萬(wàn)有引力場(chǎng) 庫(kù)侖場(chǎng) 后者在原子結(jié)構(gòu)中占有特別重要的地位 各向同性諧振子場(chǎng) 無(wú)限深球方勢(shì)阱 兩者在原子核結(jié)構(gòu)中常用rrV1)(2( )V rr5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的特征：中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的特征：角動(dòng)量守恒 即即 但但 彼此不對(duì)易，由此得出： 能級(jí)必是簡(jiǎn)并的（角動(dòng)量為零的態(tài)除外） ,0l H ,0 xl H ,0ylH ,0zl H ,xyzl l l 5.1.1 角動(dòng)量守恒與徑向方程角動(dòng)量

2、守恒與徑向方程ddddddrplprttt 1( )V r ppr d ( )00drrV rrr 一、角動(dòng)量守恒一、角動(dòng)量守恒在經(jīng)典力學(xué)中，在中心力場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子（質(zhì)量為 ）,角動(dòng)量 lrp是守恒量.因?yàn)?二、徑向方程二、徑向方程設(shè)質(zhì)量為的粒子在中心勢(shì)V(r)中運(yùn)動(dòng)，則Hamilton量表示為2221( )( )(1)22HV rV r p 對(duì)易關(guān)系 ,0H l（2）（角動(dòng)量守恒）在球坐標(biāo)系下，能量本征方程可寫成222221( )(3)22lrV rErrrr離心勢(shì)能項(xiàng)離心勢(shì)能項(xiàng)的共同本征態(tài)構(gòu)成守恒量的完全集合2lzHl, 取為2,lzl( , ,)( )Y ( , )0,1,2,1

3、,(4)llmrR rlml ll 代入方程（1），得到徑向方程2222d2 d2(1)( )( )( )( )0(5)ddllll lR rR rEV rR rrrrr( )( )(6)llrR rr令則( )lr滿足2222d( )2(1)( )( )0(7)dllrl lEV rrrr不同的中心力場(chǎng)中粒子的能量本征函數(shù)的差別僅在于徑向波函數(shù)，他們由中心勢(shì)V(r)的性質(zhì)決定.一般說(shuō)來(lái)，中心力場(chǎng)中粒子的能級(jí)是（2l+1）重簡(jiǎn)并. 5.1.2 徑向波函數(shù)在徑向波函數(shù)在r0鄰域的漸進(jìn)行為鄰域的漸進(jìn)行為假定V(r)滿足20( )0(8)limrr V r 此條件下，當(dāng)r0時(shí)，方程（5）漸近地表示成

4、2222d( )d2(1)( )( )0(9)ddlllR rl lR rR rrrrr 在正則奇點(diǎn)r=0鄰域，設(shè)slrrR)(,代入（9）式得0) 1() 1(llss解得) 1(,lls即 當(dāng)r 0時(shí)，）（或1)(lllrrrR(10)(11)按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在任何體積元中找到按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在任何體積元中找到粒子的概率都應(yīng)為有限值粒子的概率都應(yīng)為有限值當(dāng)r 0時(shí)，若1( )lsR rr，則要求3/2s 因此，當(dāng)l1時(shí)，1( )llR rr（）解必須拋棄. r 0處只有( )llR rr的解才是物理上可以接受的.0( )0limlrr（12）等價(jià)地，要求徑向方程(7)的解( )

5、( )llrrR r滿足5.1.3 兩體問(wèn)題化為單體問(wèn)題兩體問(wèn)題化為單體問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的中心力場(chǎng)問(wèn)題，常為二體問(wèn)題. 設(shè)二粒子的質(zhì)量分別為m1和m2，相互作用勢(shì)為2(|)rrV1二粒子體系的能量本征方程為 221222212(|)()()22(13)TVE mm111,rrr rr r 引入質(zhì)心坐標(biāo)R及相對(duì)坐標(biāo)r12112212rrrrrRmmmm222212121111RmmM 其中 M = m1+m2 （總質(zhì)量）1212()m mmm （約化質(zhì)量）(14)(15)可證明這樣，方程（13） 化為2222( )22RTV rE M (16)22( )( )2RcEMRR（18）代入（16）

6、式，分離變量后，得( ) ( )Rr令（17）22( )( )( )2V rErr -描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)TCEEE-描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì) 考慮質(zhì)量為的粒子在半徑為a的球形匣子中運(yùn)動(dòng)，這相當(dāng)粒子在一個(gè)無(wú)限深球方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)0( )raV rra，V(r)ar 先考慮s態(tài)（l=0），此時(shí)，徑向方程為20022d( )2( )( )0drEV rrr邊條件為00(0)0( )0a(1)(2)(3a)(3b)5.2 無(wú)限深球方勢(shì)阱量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子

7、運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)2000k在阱內(nèi)，方程（2）化為（4）式中2(0)kEE（5）代入（5）式,得出粒子能量本征值22220(1),0,1,2,.2rrrnnEEna相應(yīng)的歸一化波函數(shù)可表示為0(1)2( )sin,0rrnnrrraaa（7）（8）（6）解得sin0,ka (1),0,1,2,rrkann解得 即( ) sinrkr，再利用邊界條件（3b）量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)其次,考慮l0情況，此時(shí)，徑向方程為2222d( )d( )2(1)( )0(0)lllR rR rl

8、 lkR rradrrdrr（9）邊條件為( )0lR a （10）222dd2(1)10(0)ddlllRRl lRl（11） 此為球貝塞爾方程，其兩個(gè)特解可取為球貝塞爾函數(shù) 12( )( )2lljJ球諾伊曼函數(shù) 11()2( )( 1)( )2lllnJ （12）,則方程（9）變?yōu)橐M(jìn)無(wú)量綱變量kr量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)球方勢(shì)阱內(nèi)的解應(yīng)取為( )()llR rj kr（13）式中k由邊條件（10）確定，即()0lj ka （14） 粒子的能量本征值為22,0,1,2,2rrn ln lrEna（

9、15）相應(yīng)的能量本征函數(shù)表示為1211320( )()2()()( )( )rrrrrrrrrrn ln lln ln lln lln lan ln ln nRrCj k rCjk a jk aaRr Rr r dr（16）當(dāng)a時(shí)，為自由粒子。此時(shí)，式（14）自動(dòng)滿足，能量連續(xù)變化量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì) nr l012301234.4935.7646.98827.7259.09510.417310.90412.32313.698414.06615.51516.924較低的幾個(gè)根見表量子力學(xué)教程（第二版

10、）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)2s0h1d0g1p0f1s0d0p0s20 9.0005 8.6612 8.37004 6.7711 6.0403 4.9410 4.0002 3.3601 2.0400 1nrl Enrl/E00較低的幾條能級(jí)見圖量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì) 考慮質(zhì)量為的粒子在三維各向同性線性諧振子勢(shì)V(r)中運(yùn)動(dòng)2221)(rrV（1）是刻畫勢(shì)阱強(qiáng)度的參量，徑向方程為222222d2 d21(1)( )( )()( )0(

11、2)dd2llll lR rR rErR rrrrr 采用自然單位，令1,方程（2）化為222(1)( )( )2( )0(3)llll lR rR rErR rrr5.3 三維各向同性諧振子量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)r=0，是微分方程的奇點(diǎn)，其余r為常點(diǎn).現(xiàn)在研究當(dāng)r0及r 時(shí)，解Rl(r)的形式 當(dāng)r 時(shí)，方程（3）化為2( )( )0llR rr R rRl(r)有兩個(gè)解212 erR( ) (4)llR rr 當(dāng)r0鄰域，物理上可接受的徑向波函數(shù)的漸近行為是當(dāng)r0時(shí)，212, e(5)rrR 但2

12、212 erR不滿足束縛態(tài)條件，棄之，因此量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)212( )e( )(6)rllR rru r因此方程（3）的解可以表示為代入（3）式,得222d2d(1)2(23)0(7)dduulrElurrr 22dd0(8)dduuu上式化為2r令量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)（8）式屬于合流超幾何方程，其中參數(shù)13/ 23/ 22lEl （ ）， （整數(shù)）（9）方程（8）有兩個(gè)解112F( , , )F(1

13、,2, )uu 由于121lr 在0鄰域，u2解是物理上不能接受的，因此，方程（8）的解只能取F( , , )F(3/2)/2,3/2, )(10)ulEl 量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)合流超幾何函數(shù)表示為23(1)(1)(2)F( , , )1(11)(1)2!(1)(2)3! (3/ 2)/ 2,0,1,2,(12)rrlEnn 即23/ 2rEnl ，添上自然單位得23/ 2,0,1, 2,(13)2(14)3/ 20,1, 2,(15)rrrNEnln lNnlEENN 三維各向同性諧振子的能量本征

14、值 對(duì)于束縛態(tài)，必須要求F(, ,)中斷為一個(gè)多項(xiàng)式，從（11）式看出，這要求0或負(fù)整數(shù)量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)徑向波函數(shù)(添上自然單位)為2 212223( )eF,2rrln lrRrrn lr經(jīng)歸一化后2 211223 222222(221)!3( )() eF,2!(21)!rrlnrlrn lrrlnRrrn lrnl 220( )1(16)rn lRrr dr量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)2211223 2

15、202() e(21)!lrllRrl2211323 222212() e3/ 2(23)!lrllRrlrlnr=0,1的徑向波函數(shù)分別量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)討 論 1、能級(jí)簡(jiǎn)并度三維各向同性諧振子的能級(jí)一般是簡(jiǎn)并的.表現(xiàn)為能量本征值只依賴于nr和l的特殊組合N2nr+l2,2,4, 1 ()0,1,2,1rrlNnNNNNNnNN奇 或0（ 偶）（）/2或/2對(duì)于給定能級(jí)EN(即給定N) ,有下列各種組合:量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心

16、力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)EN能級(jí)的簡(jiǎn)并度為：(1)(2)(18)2NNNf圖2給出了各向同性諧振子的能級(jí)和簡(jiǎn)并度3p,2f,1h,0j3s,2d,1g,0i2p,1f,0h2s,1d,0g1p,0f1s,0d0p0s362821151063117/215/213/211/29/27/25/23/2EN()N76543210fNnrl量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì) 2、直角(Cartesian)坐標(biāo)系中求解采用直角坐標(biāo)系，利用2222,rxyz三維各向同性諧振子可分解為振子強(qiáng)度相同的三個(gè)彼此獨(dú)立的一維諧振子，即

17、(19)xyzHHHH22222122xHxx 22222122yHyy 22222122zHzz 量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)(,)()()(),0,1, 2,(20)xyzxyn nnnnnzxyzxyzxyznnn相應(yīng)的能量本征值為31/21/21/22NxyzEnnnN（21）(0,1, 2,)xyzNnnnN 上式中的每個(gè)方程式的形式與一維線性諧振子的定態(tài)Schrdinger方程相同，這樣可用一維線性諧振子的求解結(jié)果（這相當(dāng)于選擇 作為力學(xué)量的完全集），H , H , Hxyz它們的共同本征態(tài)為量

18、子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)0,1,2,1,1,2,1,0 xyznNNnnNNN對(duì)于給定的N而（ny, nz)可能取值的數(shù)目為1,1,2,1NNN所以（ nx ,ny, nz)可能取值的數(shù)目，即能級(jí)簡(jiǎn)并度為(1)(2)()(1)(1).3212NNf NNNN量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì) 3、球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系求解得出的本征函數(shù)的關(guān)系球坐標(biāo)系：本征函數(shù)( , , )rn lmr 對(duì)易守恒量完全集2(, )lzHl直角坐

19、標(biāo)系：( , , )xyzn n nx y z(,)xyzHHH 它們之間通過(guò)么正變換相聯(lián)系量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)例如N1（第一激發(fā)能級(jí)）有三個(gè)態(tài)，可取為rn lm01101 1010,也可取為xyzn n n100010001,可以證明01110001 10100100011/2i/201/2i/20(22)001量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)對(duì)于基態(tài)（N=0），能級(jí)是不簡(jiǎn)并的.以上兩組對(duì)易守恒量完全集的共同本征態(tài)

20、是相同的，事實(shí)上222222223/2/20,0,03/41/21/21/2/2/2/20,0,01/41/41/4e(23)eee(24)rxyzrnlmxyznnn二者完全相同.量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì) 量子力學(xué)發(fā)展史上早期最突出的成就是對(duì)氫原子光譜和化學(xué)元素周期律給予了相當(dāng)滿意的解釋. 氫原子是最簡(jiǎn)單的原子，其Schrdinger方程可以嚴(yán)格求解.氫原子理論還是了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ).5.4 氫原子量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì) 氫原子的原子核是一個(gè)質(zhì)子，荷電+e.它與電子的Coulomb吸引能為（取無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)）2( )eV rr （1）22222d( )2(1)()( )0dllrel lErrrr（2）邊條件(0)0l（3）具有一定角動(dòng)量的氫原子的徑向波函數(shù) ( )( )llrrR r滿足下列方程：式中m為電子的約化質(zhì)量，mme/(1+ me/ mp), me和 mp分別為電子和質(zhì)子的質(zhì)量量子力學(xué)教程（第二版）量子力學(xué)教程（第二版）5.1 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一