33蝴蝶定理

1、不會(huì)飛的蝴蝶蝴蝶定理在中學(xué)平面幾何中，有這樣一個(gè)著名的命題：過(guò)一圓的弦AB的中點(diǎn)M引任意兩弦CD和EF，連結(jié)CF和ED交AB于Q、P。求證：PM=MQ。由于題目的圖形象一只蝴蝶，因此后人給它取名為“蝴蝶定理”。這個(gè)題最早出現(xiàn)在公元1815年西歐的一本通俗雜志男士日記上，登出來(lái)是為了征求證明。登出的當(dāng)年，英國(guó)一個(gè)自學(xué)成才的中學(xué)數(shù)學(xué)教師霍納就給出了第一個(gè)證明。不過(guò)，霍納的證明比較繁，使用的知識(shí)也比較深。158年以后的1973年，又一位中學(xué)教師斯特溫利用三角形面積關(guān)系，給出了一個(gè)漂亮而簡(jiǎn)捷的證明。從這以后，這個(gè)定理限于初等數(shù)學(xué)，甚至只限于初中數(shù)學(xué)的證明象雨后春筍般脫穎而出，證法多得不枚勝舉。下面僅舉

2、四例與讀者共同欣賞。證法一：（斯特溫法）如圖，設(shè)AM=MB=a，MQ=x，PM=y。又設(shè)EPM、CMQ、FMQ、DMP的面積分別為S1、S2、S3、S4。因?yàn)镋=C，D=F，CMQ=PMD，F(xiàn)MQ=PME，所以有 =1，即 =1。就是 PE·DP·(MQ)2=CQ·FQ·(MP)2。由相交弦定理有 CQ·FQ=BQ·QA =(a-x)(a+x) =a2-x2， PE·DP=AP·PB =(a-y)(a+y) =a2-y2，所以有 (a2-y2)x2=(a2-x2)y2，即 a2y2=a2x2， x、y都是正數(shù)， x

3、=y，即 PM=MQ。這就是斯特溫的證明方法。證法二：（反證法）仍采用證法一的各種記法。假設(shè)QM>MP，即 x>y。這時(shí)有 a2-x2<a2-y2，即 AQ·BQ<BP·AP。根據(jù)相交弦定理，就有 CQ·FQ<EP·DP。 由正弦定理，有 CQ=·QM， FQ=·QM， EP=·PM， DP=·PM，將它們代入，化簡(jiǎn)得(QM)2<(PM)2，這與假設(shè)QM>PM矛盾。同理可證QM<PM不可能。 QM=PM。證法三：（三角法）如圖。設(shè)MQ=x，MP=y，其余如圖所示。在E

4、PM中，由正弦定理 MP=。 在PMD中，MP=。 ×，得 MP2=。同理，MQ2=。 ，即 。從而得 x=y，即 MP=MQ。證法四：（四點(diǎn)共圓法）如圖，作OGCF，OHDE，則垂足G、H分別為CF、DE的中點(diǎn)，且M、Q、G、O四點(diǎn)共圓；M、O、H、P四點(diǎn)共圓。連結(jié)OQ、OM、MG、OP、MH。又令MOQ=1，MOP=2，MGQ=3，MHP=4。于是1=3，2=4。又MCFMED，G、H為FC、DE的中點(diǎn)， ，MFGMHD。3=4，1=2，從而可得 MP=MQ。有趣的“蝴蝶定理”磨練著無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)愛(ài)好者的毅力和才華，歷史名題，象顆顆鉆石反射著人類(lèi)智慧的光芒。執(zhí)著的人們，不僅追求構(gòu)思巧妙

5、的解法，而且還追求變化、延伸和推廣?！昂ɡ怼钡挠腥?，還在于它的變形和推廣。變形定理：過(guò)一圓的弦AB的中點(diǎn)M，引任意兩條不相等的弦CD、EF，連結(jié)CE、FD并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線分別交于H、G，則HM=GM。有興趣的讀者可以嘗試證明它。推廣定理（坎迪定理） 設(shè)AB是某個(gè)圓的一條弦，通過(guò)AB上任意一點(diǎn)M作兩條弦CD和EF，連結(jié)ED、CF分別交AB于P和Q。若令A(yù)M=a，MB=b，QM=x，PM=y，求證：。令人驚奇的是，蝴蝶定理中的圓改為橢圓，可進(jìn)一步推廣為“橢圓蝴蝶定理”，而且它的逆定理也成立。有興趣的讀者可作進(jìn)一步的研究?！靖戒洝恳?、【愛(ài)因斯坦簡(jiǎn)介】1879年3月14日，一個(gè)小生命降生在德國(guó)

6、的一個(gè)叫烏爾姆的小城。父母為他起了一個(gè)很有希望的名字：阿爾伯特·愛(ài)因斯坦。看著他那可愛(ài)的模樣，父母對(duì)他寄托了全部的期冀。然而，沒(méi)過(guò)多久，父母就開(kāi)始失望了：人家的孩子都開(kāi)始學(xué)說(shuō)話了，已經(jīng)三歲的愛(ài)因斯坦才“咿呀”學(xué)語(yǔ)。后來(lái)，愛(ài)因斯坦的妹妹，比他小兩歲的瑪伽已經(jīng)能和鄰居交談了，愛(ài)因斯坦說(shuō)起話來(lái)卻還是支支吾吾，前言不搭后語(yǔ)，看著舉止遲鈍的愛(ài)因斯坦，父母開(kāi)始憂慮。他們擔(dān)心他的智能是否會(huì)不及常人。直到10歲時(shí)，父母才把他送去上學(xué)?？墒?，在學(xué)校里，愛(ài)因斯坦受到了老師和同學(xué)的嘲笑，大家都稱(chēng)他為“笨家伙”。學(xué)校要求學(xué)生上下課都按軍事口令進(jìn)行，由于愛(ài)因斯坦的反應(yīng)遲鈍，經(jīng)常被教師呵斥、罰站。有的老師甚至指

7、著他的鼻子罵：“這鬼東西真笨，什么課程也跟不上！”一次工藝課上，老師從學(xué)生的作品中挑出一張做得很不像樣的木凳對(duì)大家說(shuō)：“我想，世界上也許不會(huì)有比這更糟糕的凳子了！”在哄堂大笑中，愛(ài)因斯坦紅著臉站起來(lái)說(shuō)：“我想，這種凳子是有的！”說(shuō)著，他從課桌里拿出兩個(gè)更不像樣的凳子，說(shuō)：“這是我前兩次做的，交給您的是第三次做的，雖然還不行，卻比這兩個(gè)強(qiáng)得多！”一口氣講了這么多話，愛(ài)因斯坦自己也感到吃驚。老師更是目瞪口呆，坐在那里不知說(shuō)什么好。在譏諷和侮辱中，愛(ài)因斯坦慢慢地長(zhǎng)大了，升入了慕尼黑的盧伊特波爾德中學(xué)。在中學(xué)里，他喜愛(ài)上了數(shù)學(xué)課，卻對(duì)其余那些脫離實(shí)際和生活的課不感興趣。孤獨(dú)的他開(kāi)始在書(shū)籍中尋找寄托，尋

8、找精神力量。就這樣，愛(ài)因斯坦在書(shū)中結(jié)識(shí)了阿基米德、牛頓、笛卡爾、歌德、莫扎特書(shū)籍和知識(shí)為他開(kāi)拓了一個(gè)更廣闊的空間。視野開(kāi)闊了，愛(ài)因斯坦頭腦里思考的問(wèn)題也就多了。一天，他對(duì)經(jīng)常輔導(dǎo)他數(shù)學(xué)的舅舅說(shuō)：“如果我用光在真空中的速度和光一道向前跑，能不能看到空間里振動(dòng)著的電磁波呢？”舅舅用異樣的目光盯著他看了許久，目光中既有贊許，又有擔(dān)憂。因?yàn)樗?，?ài)因斯坦提出的這個(gè)問(wèn)題非同一般，將會(huì)引起出人意料的震動(dòng)。此后，愛(ài)因斯坦一直被這個(gè)問(wèn)題苦苦折磨著。1895年秋天，愛(ài)因斯坦經(jīng)過(guò)深思熟慮，決定報(bào)考瑞士蘇黎士大學(xué)?？墒?，他卻失敗了，他的外文不及格。落榜后的他沒(méi)有氣餒，參加了中學(xué)補(bǔ)習(xí)。一年以后，他獲得了中學(xué)補(bǔ)習(xí)合格

9、證書(shū)，并且考入了蘇黎士綜合工業(yè)大學(xué)。這時(shí)的他，已經(jīng)在為自己的未來(lái)做準(zhǔn)備了。他把精力全部用在課外閱讀和實(shí)驗(yàn)室里。教授們看見(jiàn)他讀和學(xué)習(xí)無(wú)關(guān)的書(shū)、做和考分無(wú)關(guān)的試驗(yàn)，非常不滿和生氣，認(rèn)為他“不務(wù)正業(yè)”。愛(ài)因斯坦大學(xué)畢業(yè)時(shí)，正趕上經(jīng)濟(jì)危機(jī)爆發(fā)，由于他是猶太人血統(tǒng)，又沒(méi)有關(guān)系，沒(méi)有錢(qián)，所以只好失業(yè)在家。為了生活，他只好到處張貼廣告，靠講授物理獲得每小時(shí)3法郎的生活費(fèi)。這段失業(yè)的時(shí)間，給了愛(ài)因斯坦很大的幫助。在授課過(guò)程中，他對(duì)傳統(tǒng)物理學(xué)進(jìn)行了反思，促成了他對(duì)傳統(tǒng)學(xué)術(shù)觀點(diǎn)的猛烈沖擊。經(jīng)過(guò)高度緊張興奮的五個(gè)星期的奮斗，愛(ài)因斯坦寫(xiě)出了9000字的論文論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)，狹義相對(duì)論由此產(chǎn)生?？梢哉f(shuō)，這是物理學(xué)史上的

10、一次決定性的、偉大的宣言，是物理學(xué)向前邁進(jìn)的又一里程碑。盡管還有許多人對(duì)此表示反對(duì)，甚至還有人在報(bào)上發(fā)表批評(píng)文章，但是，愛(ài)因斯坦畢竟還是得到了社會(huì)和學(xué)術(shù)界的重視。在短短的時(shí)間里，竟然有15所大學(xué)給他授予了博士證書(shū)，法國(guó)、德國(guó)、美國(guó)、波蘭等許多國(guó)家的著名大學(xué)也想聘請(qǐng)他做教授。當(dāng)年被人們稱(chēng)為“笨蛋”，“笨東西”，認(rèn)為無(wú)法成才的愛(ài)因斯坦，終于成了全世界公認(rèn)的、當(dāng)代最杰出的聰明人物。這個(gè)當(dāng)年被校長(zhǎng)認(rèn)為“干什么都不會(huì)有作為”的笨學(xué)生，經(jīng)過(guò)艱苦的努力，成了現(xiàn)代物理學(xué)的創(chuàng)始人和奠基人，成了現(xiàn)代最杰出的物理學(xué)家，科學(xué)的巨人。當(dāng)許多年輕人纏住愛(ài)因斯坦，要他說(shuō)出成功的秘訣時(shí)，他信筆寫(xiě)下了一個(gè)公式：A=x+y+z，

11、并解釋道：“A表示成功，x表示勤奮，y表示正確的方法，那么z呢，則表示務(wù)必少說(shuō)空話。”許多年來(lái)，愛(ài)因斯坦的這個(gè)神奇的成功等式一直被人們傳頌著。從愛(ài)因斯坦的奮斗歷程中，我們不難看出，正是勤奮、正確的方法和少說(shuō)空話使愛(ài)因斯坦由笨頭笨腦變?yōu)榫奕说?。由“丑小鴨”變?yōu)椤鞍滋禊Z”，這說(shuō)明了什么呢？一個(gè)人不聰明并不可怕，可怕的是自己先泄自己的氣。只要你肯為你的目標(biāo)付出艱辛的勞動(dòng)，并配合正確的方法，就一定會(huì)得到成功女神的酬勞。許多在事業(yè)上有成就的人，在童年時(shí)代、少年時(shí)代并不一定能顯出鋒芒畢露的優(yōu)勢(shì)，相反，他們卻太平凡，甚至顯出遲鈍、愚笨的樣子，常常要被周?chē)娜顺靶Α⒆I諷。如果因?yàn)樽约罕烤突倚膯蕷?，不再努力，那不是將自己潛在的才華、能力都扼殺在搖籃之中了嗎？其實(shí)，每一個(gè)人都有不同的才能，每一個(gè)人在生命的長(zhǎng)河中都會(huì)找到屬于自己的