線性變換習題答案

1、精品資料第七章線性變換3 .在 Px中，A f(x) f (x), B f (x) xf(x),證明：AB BA = E .解題提示直接根據(jù)變換的定義驗證即可.證明任取f(x) Px,則有(AB BA)f(x) AB f(x) BA f(x) A (xf (x) B (f (x)(xf(x) xf (x) f(x) Ef(x),于是 A B BA = E .4 .設A , B是線性變換，如果 AB BA = E ,證明：kkk 1A B BA kA , k 1 .解題提示利用數(shù)學歸納法進行證明.證明當k 2時，由于AB BA = E，可得A 2B BA 2 A (AB BA ) (A B BA

2、 )A 2A , 因此結論成立.假設當k s時結論成立，即 A sB BA s sA s 1 ,那么，當k s 1時，有As1B BA s 1 A (A sB BA s) (AB BA )A s sA s A s (s 1)A s , 即對k s 1結論也成立.從而，根據(jù)數(shù)學歸納法原理，對一切 k 1結論都成立.特別提醒由 A 0 E可知，結論對k 1也成立.5 .證明：可逆映射是雙射.解題提示只需要說明可逆映射既是單射又是滿射即可.證明 設A是線性空間V上的一個可逆變換.對于任意的 ， V,如果A A ，那么，用A1 作用左右兩邊，得到A 1(A ) A 1(A ) ，因此A是單射；另外，對

3、于任意的V ,存在A 1 V ,使得A A (A 1 ) ，即A是滿射.于是 A是雙射.特別提醒由此結論可知線性空間V上的可逆映射 A是V到自身的同構.可修改精品資料6 .設1, 2, L , n是線性空間V的一組基，A是V上的線性變換，證明A可逆當且僅當A 1,A 2,L ,A n線性無關.證法1 若A是可逆的線性變換，設 k1A 1 k2A 2 L knA n 0,即A (ki 1 k2 2 Lkn n) 0 .而根據(jù)上一題結論可知 A是單射，故必有k11k2 2 L kn n 0,又由于1, 2,L , n是線性無關的, 因此K k2 Lkn 0 .從而A 1, A 2,L , A n線

4、性無關.反之，若A 1,A 2,L ,A n是線性無關的，那么 A 1, A 2,L , A n也是V的一組基.于是，根據(jù)教材中的定理1,存在唯一的線性變換 B ,使得B(A i)i 1,2,L ,n .顯然BA ( i)i , AB(A J A - i 1,2,L ,n .再根據(jù)教材中的定理1知，AB BA E .所以A是可逆的.證?t 2設A在基1, 2,L , n下的矩陣為A,即A ( 1, 2,L , n) (A 1,A 2,L ,A n) ( 1, 2,L , n)A .由教材中的定理 2可知，A可逆的充要條件是矩陣 A可逆.因此，如果A是可逆的，那么矩陣 A可逆，從而 A 1, A

5、 2,L , A n也是V的一組基，即是線性無關的.反之，如果 A 1,A 2,L ,A n是線性無關，從而是 V的一組基，且 A是從基1, 2,L , n到A 1,A 2,L ,A n的過渡矩陣，因此 A是可逆的.所以 A是可逆的線性變換.方法技巧方法1利用了上一題的結論及教材中的定理1構造A的逆變換；方法2借助教材中的定理2,將線性變換 A可逆轉(zhuǎn)化成了矩陣 A可逆.9.設三維線性空間 V上的線性變換 A在基1, 2, 3下的矩陣為a11a12a13a21a22a23a31a32a331 )求A在基3, 2, 1下的矩陣;2)求A在基1, k 2, 3下的矩陣，其中k P且k 0；3）求A在

6、基12, 2, 3下的矩陣解題提示可以利用定義直接寫出線性變換的矩陣，也可以借助同一個線性變換在兩組不同基下的 矩陣是相似的進行求解.解1）由于a13a23a33a33a23a13a12a22a32a32a22a)2a11a21a31a31a21a11故A在基3, 2 ,1下的矩陣為a33a32出1B1a23a22a21a13a12a11可修改2）由于a11a21 2a31 3a11la k.a212kka12ka22 2ka323ka121 a22 kka32 3 ，a13a23a33 3a13 1a33 3 故A在基1, k2,3下的矩陣為a11ka12a13B211 a21a221 a2

7、3kk3）由于從1, 2, 3到12 , 2,a31ka32a333的過渡矩陣為1 00X 110,0 01故A在基12, 2, 3下的矩陣為1001ana12a13100a11a12a12a13B3110a21a22a23110a21a11a22a12a22a12a23a13001a31a32a33001a31a32a32a33方法技巧根據(jù)線性變換的矩陣的定義，直接給出了1)和2)所求的矩陣；3)借助了過渡矩陣, 利用相似矩陣得到了所求矩陣.事實上，這三個題目都可以分別用兩種方法求解.10 .設A是線性空間 V上的線性變換，如果 A k 10 ,但A k 0 ,求證：，A , L , A證明

8、 由于A k0,故對于任意的非負整數(shù)i ,都有A k i A i (A k ) 0 .當k 0時，設_ k 1一XiX2AL XnA0 ,用A k 1作用于上式，得X1A k 10 ,但A k 10,因此X 0 .于是x2A L xnA k 10 ,k 2k 1再用A作用上式，同樣得到X20.依此下去，可得X1X2Lxk0,從而，A ,L ,A 線性無關.16 .證明：相似，其中i1,i2, ,in是1,2,L ,n的一個排列.解題提示利用同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的或直接相似的定義.證法1 設V是一個n維線性空間，且 1, 2,Ln是V的一組基.另外，記i1i2O于是，在基1, 2

9、,L , n下，矩陣A對應V的一個線性變換 A ,即精品資料A( 1, 2,L , n) (i, 2,Ln)(1, 2,L , n)A.從而A i 一一 1,2,L,n.又因為i1, i2,K , in也是V的一組基，且i1A(小 i2，K，Q ( §, i2，K , Q(Ji2,K , in)B.故A與B相似.證法2 設1i2Oin對A交換i, j兩行，再交換i, j兩列，相當于對A左乘和右乘初等矩陣1P(i, j) P(i, j)和P(i,j),而P(i,j) 1AP(i, j)即為將A中的i和j交換位置得到的對角矩陣.于是，總可以通過這樣的一系列的對調(diào)變換，將A的主 對角線上白

10、元素 1, 2,L , n變成i1, i2,L , in ,這也相當于存在一系列初等矩陣 Q1,Q2,L ,Qs,使得Qs1L QzUaQQL Qs B , 1令Q Q1Q2LQS,則有Q AQ B,即A與B相似.方法技巧證法1利用同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的這一性質(zhì)；證法2利用了矩陣的 相似變換，直接進行了證明.17 .如果A可逆，證明AB與BA相似.證明由于A可逆，故A 1存在.于是 1_1_A (AB)A (A A)BA BA,因此，根據(jù)相似的定義可知AB與BA相似.19 .求復數(shù)域上線性變換空間 V的線性變換 A的特征值與特征向量.已知 A在一組基下的矩陣為:可修改精品資料5

11、630 0 14) A解1）設A在給定基1, 2下的矩陣為 A.由于A的特征多項式為3E A| 514 (7)(2),可修改故A的特征值為17,22.當17時，方程組（1E A）X4x1 4x2 0,5x1 5x2 0.1解得它的基礎解系為 .從而A的屬于特征值1 7的全部特征向量為1其中k為任意非零常數(shù).當22時，方程組（2E A）X 0 ,即為5x1 4x2 0,5x1 4x2 0.解得它的基礎解系為,從而A的屬于特征值2的全部特征響向量為241 151 2 ,其中l(wèi)為任意非零常數(shù).4）設A在給定基2,3下的矩陣為A,由于A的特征多項式為56311(2)(1 73)(1 33),121故A

12、的特征值為12,2 1方，3 16.i 2時，方程組(iE即為3x1 6x2 3x30,x1 2x2 x3 0,x1 2x2 3x3 0.2求得其基礎解系為1 ，故A的屬于特征值2的全部特征向量為0k1 2其中K為任意非零常數(shù).當2 1 J3時，方程組（2E A）X=0,即為(4 13)x1 6x2 3x3 0,Xi (1.3)X2 X3 0,xI 2x2 (2. 3) x3 0.3求得其基礎解系為1 ，故A的屬于特征值1 J3的全部特征向量為2.33k2 1k2 2 (2.3)k2 3其中k2為任意非零常數(shù).當3 1出時，方程組（3E A）X = 0 ,即為(4 . 3)x1 6x2 3x3

13、 0, x, (1 3)x2 x3 0, xI 2x2 (2 、.3)x3 0.3求得其基礎解系為1 ，故A的屬于特征值1 73的全部特征向量為233k3 1 k3 2 (23)k3 3其中k3為任意非零常數(shù).5）設A在給定基1, 2,3下的矩陣為A,由于A的特征多項式為01_2E A 010（1）（1）,10故A的特征值為11 （二重），21 .當11時，方程組（1E A）X = 0 ,即為X X3 0,X1 X3 0.10求得其基礎解系為 0 , 1 ，故A的屬于特征值1的全部特征向量為1011 12 213其中k1, k2為任意不全為零的常數(shù).當21時，方程組（2E A）X = 0,即為

14、X1 X30,2X20,X1 X30.1求得其基礎解系為0 ，故A的屬于特征值 1的全部特征向量為1其中l(wèi)為任意非零常數(shù).方法技巧求解一個線性變換的特征值即求其矩陣的特征多項式的根，再對每個根求得所對應的特 征向量，但一定要注意表達成基向量的線性組合形式.24.1） 設1, 2是線性變換A的兩個不同特征值，1, 2是分別屬于 1, 2的特征向量，證明：1 2 不是A的特征向量；2）證明：如果線性空間 V的線性變換A以V中每個非零向量作為它的特征向量，那么 A是數(shù) 乘變換.證明1）反證法.假設 12是A屬于特征值 的特征向量，即A( 12)( 12)12而由題設可知 A 11 1, A 22 2

15、 ，且 12 ，故A(12)A11 12 2比較兩個等式，得到(1)1 (2)200， 即 12 這再根據(jù) 1, 2 是屬于不同特征值的特征向量， 從而是線性無關性， 因此 1與 12 矛盾所以 12 不是 A 的特征向量2 )設 1 , 2 ,L , n 是 V 的一組基，則它們也是A 的 n 個線性無關的特征向量，不妨設它們分別屬于特征值1 , 2 , L , n ，即A i i i ， i 1, 2, L , n 根據(jù) 1 )即知 12 L n 否則，若12 ，那么 120 ，且不是 A 的特征向量，這與V中每個非零向量都是它的特征向量矛盾所以，對于任意的 V ，都有 A ，即 A 是數(shù)乘變換25 .設V是復數(shù)域上的n維線性空間，A , B是V上的線性變換，且 AB BA .證明：1 )如果 0 是 A 的一個特征值，那么 V 0 是 B 的不變子空間；2 ) A