有限制條件排列、組合問題解法

1、有限制條件排列、組合問題解法有限制條件的排列、組合問題是排列、組合題目中 較難的一類。限制條件越多問題越復(fù)雜。在解這一類問題時, 應(yīng)首先根據(jù)限制條件進行分類或分步，然后在每一類或每一 步中再進行分步，聯(lián)合運用加法原理和乘法原理進行計算。例1：由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少個無重復(fù) 數(shù)字的(1) 自然數(shù)？(2) 比213456大的自然數(shù)？(3) 首位數(shù)是2的四位數(shù)？(4) 是5的倍數(shù)的四位數(shù)？解：(1)可組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)為a16+a26+a36+a46+a56+a66=6+30+120+360+720+720=1956 (個)。(2) 方法一(直接法)，因為213456是首位數(shù)為

2、2的 六位數(shù)中最小的一個，故首位數(shù)可選2、3、4、5、6中的一 個，即有a15種，其余位數(shù)由剩余的5個數(shù)全排，但213456 不符合要求，故滿足條件的自然數(shù)有：a15a55-1=599(個)。方法二(間接法)，所有的六位數(shù)有a66個，而不符合 條件的六位數(shù)是首位為1的六位數(shù)有a55個及213456本身, 故有：a66-a55-1=599 （個）。（3）首位數(shù)是2的四位數(shù)，因首位數(shù)確定后，其余三 個位置有a35種排法，故滿足條件的四位數(shù)有a35=60 （個）。（4）是5的倍數(shù)的四位數(shù)，個位數(shù)巳確定，必須是5, 其余三位置有a35種排法，故滿足條件的四位數(shù)有a35=60（個）。例2：有4名男生，3

3、名女生排成一行，按下列情況， 問各有多少種不同排法？（1）甲必須站在某一固定位置；（2）甲必須不站在兩端；（3）甲必須站在中間，乙必須站在甲的旁邊；（4）甲乙必須相鄰；（5）男、女生各排在一起；（6）女生不能相鄰排。解：（1）因甲只能站在某一固定位置，其余6人在剩下 的位置排列有a66種排法，故滿足要求的不同排法有： a66=720 （種）。（2）方法一（元素分析法）；因甲不站在兩端，故甲有 5個位置，有a15種不同排法，甲在某一位置站好后，其余 位置由其余6人排，有a66種排法，故滿足要求的不同排法 有 a15 a66=3600 （種）。方法二（位置分析法）：甲不站在兩端，故兩端可由其 余6

4、人中選出兩人站好，而余的位置可由包括甲在內(nèi)的5人 排列，故滿足條件的不同排列數(shù)為a26a55=3600 （種）。方法三（間接法）：先不考慮限制條件，7人全排有 a77種排法;考慮不符合限制條件的排法，即甲站在兩端的排法有 a12a66種排法;因此，滿足限制條件的排法有a77-a12 a66=3600（種）。注：一題多解是活躍思維、掌握多種解題技巧，檢驗 結(jié)果的重要手段。較復(fù)雜的排列、組合問題往往對選取的元素加以限 制，這類問題的解法是抓住題目的限制條件，以正反兩方面 進行分析，運用不同的方法求解，有時間接解法比直接解法 簡潔。（3）元素分析法：甲站在中間位置，乙必須站在甲的 旁邊，則乙有兩個位

5、置可站，有a12種站法，乙站好后，其 余5人有a55種站法，故滿足條件的不同站法有a12 a55=240 （種）。位置分析法：甲站在中間位置，與中間位置相鄰的兩個 位置可由乙與其余5人中的1人去站，有a15a22 （種），相 鄰兩個位置站好后，余下的四個位置其余4人站有a44種站 法，故滿足條件的不同站法有：a15 - a25 - a44=240 （種）。（4）方法一：甲乙相鄰有a22種排法，甲乙作為一個 整體（新元素）再與其余5人排成一行，相當(dāng)于6個元素排 列，有a66種站法，故滿足條件的不同站法有a66 a22=1440 （種）。方法二（插空法）：先不管乙，將其余6人排好有a66 種排法，

6、然后將乙插入甲的左或右面的空間中，故共有a66 a12=1440 （種）。（5）男生連排在一起有a44種排法，女生連排在一起 有a33種排法，又男，女生作為兩個整體有a22種排法，故 有a44 a33 a22=288種不同排法。（6）插空法：先將男生排成一行有a44種排法，再將 女生插入男生之間或兩頭有a35種排法，故滿足條件的不同 站法有 a44 a35=1440 （種）。一般來說，插空法是先將一部分較多的元素排好，再將 另一部分較少元素按限制條件插入空間中。例3：平面上有9條直線，其中（1）有4條互相平行，其余的沒有任何兩條平行，也 沒有任何三條共點，可構(gòu)成多少個三角形？（2）有四條共點，

7、其余的沒有任何三條共點，也沒有 任何兩條平行，可構(gòu)成多少個三角形？解：（1）方法一（直接法）：從4條平行線中取一條， 從其余5條直線中取兩條，可構(gòu)成c14c25個三角形；從 其余五條中取三條，可構(gòu)成c35個三角形，故共可構(gòu)成三角 形 c14 c25+c35=50 （個）。方法二（間接法）：從9條直線中任取三條有c39種取 法，但其中不能構(gòu)成三角形的是從互相平行的4條中取三條 有c34種取法和從4條平行線中取二條、從其余5條中取一 條有c24c15種取法，故可構(gòu)成三角形有c39-c34-c24 c15=50 （個）。（2）方法一（直接法）：從四條共點的直線中取一條， 從其余5條中取2條構(gòu)成c14

8、 c25個三角形，從4條共點 的直線中取2條，從其余的5條中取1條有c24 c15個三 角形，從其余5條中取3條有c35個三角形，故可構(gòu)成三角 形 c14 c25+c24 c15+c35=80 （個）。方法二（間接解法）：從9條中任取3條有c39種取法, 但不能構(gòu)成三角形的是從共點的4條中取3條有c34種，故 構(gòu)成三角形有c39-c34=80 （個）。不難看出直接法是從滿足題目里的限制條件出發(fā)來分 類，然后把每一類再分步，運用加法原理和乘法原理進行解 題的。應(yīng)該指出的是在分類時要注意以下三點：第一、各類之間應(yīng)當(dāng)沒有互相重復(fù)的情況；第二、每一類都必須滿足題目的限制條件；第三、不能遺漏某些滿足題目

9、條件的情況。間接法是從不考慮題目里的限制條件出發(fā)，即在沒有限 制條件的情況下，找出所有的排列（或組合）的種數(shù)，而這 些種數(shù)包括滿足限制條件的和不滿足限制條件的兩類。從所 有的排列（或組合）的種數(shù)里減去不滿足限制條件的一類種 數(shù)，就得到滿足限制條件的排列（或組合）的種數(shù)。例4：從1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數(shù)字中，任 取兩個作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可得多少個不同的對數(shù)值？解：分兩步，第一步選底數(shù)，第二步選真數(shù)。因1不能 為底數(shù)，只能從余下的八個數(shù)字中任取一個為c18種，第二 步再選真數(shù)，只能從選底數(shù)余下的七個數(shù)字加上1共八個數(shù) 字中任選一個，故有c18種，共得c18c18=64個對數(shù)。而 這些對數(shù)中，1當(dāng)真數(shù)時有8個，這時對數(shù)的值都為0,故 應(yīng)扣去七個，另外還有2為底4為真數(shù)、3為底9為真數(shù)兩 個值一樣，2為底3為真數(shù)、4為底9為真數(shù)時對數(shù)值一樣, 4為底2為