海文考研鉆石卡系列容易混淆的概念之?dāng)?shù)學(xué)三

1、高等數(shù)學(xué)部分易混淆概念第一章：函數(shù)與極限一、數(shù)列極限大小的判斷例1：判斷命題是否正確若，且序列的極限存在，解答：不正確在題設(shè)下只能保證，不能保證例如：，而例2選擇題設(shè)，且（ ） A存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C不一定存在 D. 一定不存在 答：選項C正確 分析：若，由夾逼定理可得，故不選A與D. 取，則，且，但 不存在，所以B選項不正確，因此選C例3設(shè)（ ） A都收斂于 B. 都收斂，但不一定收斂于 C可能收斂，也可能發(fā)散 D. 都發(fā)散 答：選項A正確 分析：由于，得，又由及夾逼定理得 因此，再利用得所以選項A二、無界與無窮大無界：設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在正數(shù)，使得則稱函數(shù)在上有

2、界，如果這樣的不存在，就成函數(shù)在上無界；也就是說如果對于任何正數(shù)，總存在，使，那么函數(shù)在上無界無窮大：設(shè)函數(shù)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或大于某一正數(shù)時有定義）如果對于任意給定的正數(shù)（不論它多么大），總存在正數(shù)（或正數(shù)），只要適合不等式（或），對應(yīng)的函數(shù)值總滿足不等式則稱函數(shù)為當(dāng)（或）時的無窮大例4：下列敘述正確的是： 如果在某鄰域內(nèi)無界，則 如果，則在某鄰域內(nèi)無界解析：舉反例說明設(shè)，令，當(dāng)時，而 故在鄰域無界，但時不是無窮大量，則不正確 由定義，無窮大必?zé)o界，故正確結(jié)論：無窮大必?zé)o界，而無界未必?zé)o窮大三、函數(shù)極限不存在極限是無窮大當(dāng)（或）時的無窮大的函數(shù)，按函數(shù)極限定義來說，極限是不存在的，但

3、是為了便于敘述函數(shù)的性態(tài)，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”但極限不存在并不代表其極限是無窮大例5：函數(shù)，當(dāng)時的極限不存在四、如果不能退出例6：，則，但由于在的任一鄰域的無理點(diǎn)均沒有定義，故無法討論在的極限結(jié)論：如果，且在的某一去心鄰域內(nèi)滿足，則反之，為無窮大，則為無窮小。五、求函數(shù)在某點(diǎn)處極限時要注意其左右極限是否相等，求無窮大處極限要注意自變量取正無窮大和負(fù)無窮大時極限是否相等。例7求極限解：，因而時極限不存在。 ，因而時極限不存在。六、使用等價無窮小求極限時要注意：（1）乘除運(yùn)算中可以使用等價無窮小因子替換，加減運(yùn)算中由于用等價無窮小替換是有條件的，故統(tǒng)一不用。這時，一般可以用泰勒公式來求極

4、限。（2）注意等價無窮小的條件，即在哪一點(diǎn)可以用等價無窮小因子替換例8：求極限分析一：若將寫成，再用等價無窮小替換就會導(dǎo)致錯誤。分析二：用泰勒公式原式。例9：求極限解：本題切忌將用等價代換，導(dǎo)致結(jié)果為1。七、函數(shù)連續(xù)性的判斷（1）設(shè)在間斷，在連續(xù)，則在間斷。而在可能連續(xù)。例10設(shè)，則在間斷，在連續(xù)，在連續(xù)。若設(shè)，在間斷，但在均連續(xù)。（2）“在點(diǎn)連續(xù)”是“在點(diǎn)連續(xù)”的充分不必要條件。分析：由“若，則”可得“如果，則”，因此，在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)連續(xù)。再由例10可得，在點(diǎn)連續(xù)并不能推出在點(diǎn)連續(xù)。（3）在連續(xù)，在連續(xù)，則在連續(xù)。其余結(jié)論均不一定成立。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)必連

5、續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。例11在連讀，在處不可導(dǎo)。二、與可導(dǎo)性的關(guān)系（1）設(shè)，在連續(xù)，則在可導(dǎo)是在可導(dǎo)的充要條件。（2）設(shè)，則是在可導(dǎo)的充要條件。三、一元函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)與不可導(dǎo)函數(shù)乘積可導(dǎo)性的討論設(shè)，在連續(xù)，但不可導(dǎo)，又存在，則是在可導(dǎo)的充要條件。分析：若，由定義 反之，若存在，則必有。用反證法，假設(shè)，則由商的求導(dǎo)法則知在可導(dǎo)，與假設(shè)矛盾。利用上述結(jié)論，我們可以判斷函數(shù)中帶有絕對值函數(shù)的可導(dǎo)性。四、在某點(diǎn)存在左右導(dǎo)數(shù)時原函數(shù)的性質(zhì)（1）設(shè)在處存在左、右導(dǎo)數(shù)，若相等則在處可導(dǎo)；若不等，則在連續(xù)。（2）如果在內(nèi)連續(xù)，且設(shè)則在處必可導(dǎo)且。若沒有如果在內(nèi)連續(xù)的條件，即設(shè)，則得不到任何結(jié)論。例11，顯然設(shè)，但

6、，因此極限不存在，從而在處不連續(xù)不可導(dǎo)。第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、若若，不妨設(shè)，則，再由微分中值定理同理，當(dāng)時，若，再由微分中值定理 同理可證時，必有第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用8.1多元函數(shù)的基本概念1. ,使得當(dāng),且時,有,那么成立了嗎?成立,與原來的極限差異只是描述動點(diǎn)與定點(diǎn)的接近程度的方法不一樣,這里采用的是點(diǎn)的矩形鄰域, ,而不是常用的圓鄰域,事實上這兩種定義是等價的.2. 若上題條件中的條件略去,函數(shù)就在連續(xù)嗎?為什么? 如果條件沒有,說明有定義,并且包含在該點(diǎn)的任何鄰域內(nèi),由此對,都有,從而,因此我們得到,即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).3. 多元函數(shù)的極限計算可以用洛必塔法則嗎?為

7、什么? 不可以,因為洛必塔法則的理論基礎(chǔ)是柯西中值定理.8.2 偏導(dǎo)數(shù)1. 已知,求 令,那么解出,得,所以或者8.3全微分極其應(yīng)用1.寫出多元函數(shù)連續(xù),偏導(dǎo)存在,可微之間的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù), 連續(xù)Z可微 連續(xù) 極限存在偏導(dǎo)數(shù), 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 存在2. 判斷二元函數(shù)在原點(diǎn)處是否可微.對于函數(shù),先計算兩個偏導(dǎo)數(shù):又令,則上式為因而在原點(diǎn)處可微.8.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1. 設(shè),可微,求.8.5隱函數(shù)的求導(dǎo)1. 設(shè),都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),證明.對于方程,如果他滿足隱函數(shù)條件.例如,具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且,則由方程可以確定函數(shù),即是,的函數(shù),而,是自變量,此時具有偏導(dǎo)數(shù),同理, ,所以.8

8、.6多元函數(shù)的極值及其求法1.設(shè)在點(diǎn)處具有偏導(dǎo)數(shù),若,則函數(shù)在該點(diǎn)取得極值,命題是否正確? 不正確,見多元函數(shù)極值存在的充分必要條件.2.如果二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域內(nèi)有惟一的極小值點(diǎn)，且無極大值，那么該函數(shù)是否在該點(diǎn)取得最小值？ 不一定，對于一元函數(shù)來說上述結(jié)論是成立的，但對于多元函數(shù)，情況較為復(fù)雜，一般來說結(jié)論不能簡單的推廣。 例如，二元函數(shù)，由二元函數(shù)極值判別法： ，解得 ， 解得 故得駐點(diǎn)， 由于 ，以及，所以，是函數(shù)的惟一極小值點(diǎn)，但是，故不是在D上的最小值.第十一章 無窮級數(shù)11.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)1. 若通項，則級數(shù)收斂，這種說法是否正確？否2. 若級數(shù)加括號后所成的新級數(shù)

9、發(fā)散，則原級數(shù)必定發(fā)散，而加括號后所的級數(shù)收斂，則無法判定原級數(shù)的斂散性，這種說法是否正確？正確11.2常數(shù)項級數(shù)的審斂法1. 若級數(shù)收斂，則級數(shù)一定收斂。判斷這句話是否正確？不正確，如，2. 若正項級數(shù)收斂，判斷級數(shù)的斂散性。 收斂 因為，由于收斂，收斂，于是收斂。3. 收斂則一定絕對收斂，絕對收斂不一定收斂。線性代數(shù)部分知識點(diǎn)、難點(diǎn)1、 關(guān)于 是考研題中一個常見的已知條件，對于應(yīng)當(dāng)有兩種思路：設(shè)是矩陣，是矩陣，若，則（1）的列向量是齊次方程組的解（2）2、關(guān)于 也是考研中常見的一種題型，也是考生比較畏懼的一種題型，他的特點(diǎn)是題干簡單，已知較少，所以考生有時候覺得無從下手，其實所有的題都是由

10、基本東西轉(zhuǎn)換而來的，考生只要掌握其基本思路，就不會覺得太難了。下面僅舉兩例以示說明：例1， 設(shè)是階非0矩陣，滿足，且，證明行列式?！咀C法一】（用秩）據(jù)已知有，那么因為，即，那么秩從而秩，故。【證法二】（用有非零解）據(jù)已知有，即的列向量是齊次方程組的解，又因，所以有非零解，從而。例2， 設(shè)A為階矩陣，滿足，證明?！咀C明】因為所以 又因于是故必有 3、代數(shù)余子式求和一般這類題，出題者絕對不會考察考生的計算求余子式的能力，而是重點(diǎn)考察對代數(shù)余子式的理解和其基本性質(zhì)的應(yīng)用，所以考生一定要靈活掌握，掌握基本思想。下面請看一例：例3， 設(shè)行列式 則第4行元素余子式之和的值為_【分析】4、伴隨矩陣伴隨矩陣是

11、現(xiàn)代中比較重要的概念，也是一個常考的點(diǎn)，出題點(diǎn)一般是結(jié)合逆矩陣來求解的，所以考生在深刻掌握伴隨矩陣概念的同時，也應(yīng)該熟記一些和伴隨有關(guān)的公式定理，這類型題一般解法較多比較靈活，所以關(guān)鍵還是它的定義和基本性質(zhì)，考生因該以不變應(yīng)萬變，一個典型例題就是證明：5、初等變換 初等變換是一個非常重要的概念，它可以簡化許多問題，但是考生在應(yīng)用初等變換上還不是很熟練，有時候根本就不知道初等變換是用來干什么的。首先建議學(xué)員一定要弄清楚概念，它具有什么性質(zhì)。知道行變換就是左乘初等矩陣，列變換就是右乘初等矩陣，然后就可以化簡計算。初等矩陣均可逆，且其逆是同類型的初等矩陣。例如：即 例4，設(shè)，則 答案：【分析】利用初

12、等矩陣。矩陣A的一、二兩行互換后再二、三兩行互換，然后一、二兩列互換后再二、三兩列互換，即是矩陣B，即可見6、線性相關(guān)性線性相關(guān)性是考察的重點(diǎn)之一。而且多以證明題的形式出現(xiàn)，通常在選擇題中出現(xiàn)較多，對于這塊內(nèi)容，應(yīng)用定義去證明線性相關(guān)性是考生的難點(diǎn)，同時也是考察的重點(diǎn)。解題的方法也比較單一，多用定義證明。所以考生一定要在深刻理解定義的基礎(chǔ)上去靈活運(yùn)用，通過練習(xí)掌握這塊僅有的一點(diǎn)方法。例5，設(shè)是階矩陣，是維列向量，若，證明向量組， ，線性無關(guān)【證】（用定義、同乘）設(shè) （1）由于知，用左乘（1）式兩端，并把，代入，有 因為，故=0把代入（1）式，可知 從而類似可得，所以， ，線性無關(guān)。例6，設(shè)4維

13、列向量線性無關(guān)，且與4維列向量均正交，證明線性相關(guān)?！咀C】（用秩）構(gòu)造矩陣 則矩陣A是秩為3的矩陣，由于 所以均是齊次方程組的解。那么，從而線性相關(guān)。7、線性表出 線性表出也是常考得一類題型，考察的形式多結(jié)合線性相關(guān)，線性無關(guān)。應(yīng)結(jié)合他們的定義與線性表出的概念，以及他們之間的聯(lián)系來解題。這類題多用反正法，考生應(yīng)熟練掌握這部分的題型，負(fù)責(zé)可能拿到手后根本沒有思路，當(dāng)遇到這種情況時，建議從最基本的定義和概念出發(fā)，一步步往結(jié)論處求證。有些題可以利用線性相關(guān)、五官、向量組得知、極大線性無關(guān)組等概念之間的關(guān)系直觀的得出結(jié)論。例7，設(shè)是維向量組，則（ ）不正確。（A） 如果，則任何維向量都可以用線性表示；

14、（B） 如果任何維向量都可以用線性表示，則；（C） 如果，則任何維向量都可以用唯一線性表示；（D） 如果，則存在維向量不能用線性表示?！痉治觥坷谩坝弥扰袛嗑€性表示”的有關(guān)性質(zhì)。當(dāng)時，任何維向量添加進(jìn)時，秩不會增大，從而（A）正確。如果（B）的條件成立，則任何維向量組都可以用線性表示，從而如果取是一個階可逆矩陣的列向量組，則得到，從而（B）正確。（D）是（B）的逆否命題，也正確。當(dāng)時，不能保證任何維向量可用線性表示（如時），因此（C）不正確。8、過渡矩陣過渡矩陣是考試所要求的考點(diǎn)之一，但不是每年都出題的。所以考生在復(fù)習(xí)時容易忽略這個考點(diǎn)，其實考察的東西很簡單，只要考生抓住概念就可以了，出題也只

15、會考察它的概念，不會出很深的知識點(diǎn)。【定義】設(shè)和都是V的基，并設(shè)在中的坐標(biāo)為稱矩陣 為到的過渡矩陣。此時，如果V中的向量在中德坐標(biāo)為，在中的坐標(biāo)為，則有坐標(biāo)變換公式 兩個規(guī)范正交基之間的過渡矩陣是正交矩陣。9、關(guān)于基礎(chǔ)解系 基礎(chǔ)解系是線性代數(shù)中一個非常重要的概念，對于這塊內(nèi)容的考察也是一個重點(diǎn)，但是我們在答疑或者是改卷過程中發(fā)現(xiàn)還是有很多同學(xué)概念混淆，所以由必要在此強(qiáng)調(diào)?！径x】設(shè)是的解向量，如果（1）線性無關(guān)；（2）的任一個解向量可由線性表示，則稱是的一個基礎(chǔ)解系。10、如何確定自由變量并賦值？很多考生在這塊也容易犯錯誤，因為不同的賦值方法可能得到不同的結(jié)果，所以考生只要概念理解清楚，按照步

16、驟就一定能得到正確答案，下面介紹確定自由變量并賦值的基本步驟：（1） 對系數(shù)矩陣作初等行變換化其為階梯形（2） 由秩確定自由變量的個數(shù)（3） 找出一個秩為的矩陣，則其余的列對應(yīng)的就是自由變量（4） 每次給一個自由變量賦值為1，其余的自由變量賦值為0（注意共需賦值次）。 對階梯形方程組由下往上依次求解，就可以得到方程組得解。11、關(guān)于公共解 公共解也是一個考點(diǎn)，公共解的求解一般有固定的方法，考生針對題型掌握其中的一兩種就可以了，下面以例題形式介紹公共解的幾種處理方法：例8，設(shè)有兩個4元齊次線性方程組 （） （）（5） 求線性方程組（）的基礎(chǔ)解系；（6） 試問方程組（）和（）是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解；若沒有，則說明理由。關(guān)于公共解，有以下幾種處理方法：（1） 把（）和（）聯(lián)立起來直接求解；（2） 通過（）和（）各自的通解，尋求公共解；（3） 把（）的通解代入（）中，如仍是解，則把（）的通解代入（）中尋求公共解。如：（）的基礎(chǔ)解系為 ，那么他的通解就是要是（）的解，就因該滿足（）的方程，故