第二講式-代數(shù)式與不等式(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二講 式、代數(shù)式與不等式用字母表示數(shù)，數(shù)學(xué)研究的對象便從數(shù)擴展到式。式本身不僅是代表數(shù)的符號，也是表明對于數(shù)和字母按怎樣的次序進行什么運算的符號。按照一定的數(shù)學(xué)法則，把數(shù)學(xué)符號連接起來的符號串，我們稱之為數(shù)學(xué)式。數(shù)學(xué)式是數(shù)學(xué)研究的基本對象。一、數(shù)學(xué)符號簡史古代數(shù)學(xué)涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象符號。歐幾里得幾何原本就不使用數(shù)學(xué)符號。中國古代數(shù)學(xué)雖然很早就使用小數(shù)和分?jǐn)?shù)，包括使用0，也大量求解方程，但是因為計算過程依賴于算籌，所以也沒有使用小數(shù)點、分?jǐn)?shù)和其它運算符號，0只是一個空格。公元10世紀(jì)左右的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，用文字代表數(shù)，使得數(shù)和文字可以實行運算，并借此求未知

2、數(shù)，這是一項重大貢獻，但是他們?nèi)匀灰晕淖直硎鰹橹?。最早使用?”“-”表示加減的是15世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家?，F(xiàn)存于德累斯頓圖書館的數(shù)學(xué)手稿（1486年）中，首見此符號。1631年，英國數(shù)學(xué)家奧特雷德在數(shù)學(xué)之鑰一書中使用“×”表示乘法，而1698年萊布尼茨在一封信中使用“.”表示乘法，這樣可以避免“×”和字母混淆。除法的記號“÷”在1659年由瑞士人雷恩引入。等號是英國數(shù)學(xué)家雷科德于1557年在勵智石一書首先使用。表示方程的符號，世界各國很不相同，可以說五花八門。19世紀(jì)末20世紀(jì)初國際交往的擴大，終于有了比較統(tǒng)一的國際通用的數(shù)學(xué)符號。中國普遍使用國際通用數(shù)學(xué)符號相當(dāng)晚

3、。滿清政府推行“中學(xué)為體，西學(xué)為用”的政策，在符號使用上拒絕和國家接軌。1897年京師同文館數(shù)學(xué)大考題中的兩則考題：詳見中學(xué)代數(shù)研究1859年代微積拾級出版算起，取代天、地、人、元的過程，前后經(jīng)歷了半個世紀(jì)之久。二、數(shù)學(xué)符號語言代數(shù)式自學(xué)中學(xué)代數(shù)研究三、字母表示數(shù)自學(xué)中學(xué)代數(shù)研究四、解析式解析式用運算符號、函數(shù)符號、括號，作用于數(shù)字和字母之上形成的數(shù)學(xué)式。代數(shù)式：只含有加、減、乘、除四則運算和有理數(shù)次的乘方開方運算的解析式。超越式：解析式中如果除了代數(shù)運算之外，還有超越運算，稱之為超越式。代數(shù)式中不含開方運算的稱為有理式，否則稱為無理式。整式整式（多項式）是一個數(shù)域，稱為數(shù)域上的多項式，其中稱

4、為多項式的項，稱為項的系數(shù)，變數(shù)字母所取的數(shù)值都屬于數(shù)域，都是非負(fù)整數(shù)。各個系數(shù)都等于零的多項式稱為零多項式。零多項式的值總是零。多項式的次數(shù)對于非零多項式，中的最大的非負(fù)整數(shù)值稱為這個多項式的次數(shù)。多項式恒等數(shù)域上的兩個具有相同變數(shù)字母的多項式，如果對于變數(shù)字母的所有取值，這兩個多項式的值都相等，那么稱這兩個多項式是恒等的。定理：以標(biāo)準(zhǔn)形式給出的兩個多項式恒等的充分且必要的條件是這兩個多項式的對應(yīng)項分別是具有相同系數(shù)的同類項。（待定系數(shù)法的理論依據(jù)）例 求證是一個完全平方式的充分必要條件是，并且都是非負(fù)實數(shù)。證（必要性）如果，那么由此可得：因而都是非負(fù)實數(shù)，并且。（充分性）如果都是非負(fù)實數(shù)，

5、并且，那么分式有理分式兩個多項式的比稱為有理分式，也可簡稱為分式。有理分式的定義域在已知數(shù)域內(nèi)，任意一組使分式的分母不為零的自變數(shù)值，使分式有一個完全確定的值與它對應(yīng)，所有這樣的自變數(shù)值組的集合稱為這個分式的定義域。例 化簡解將原式各項通分，得到公分母，分子顯然，當(dāng)時，。因此可以斷定能被整除。同理可知，能被所含有的每一個二項式因式整除。如果以的所有二項式因式的積除，可得，這里是零次多項式。設(shè)代入的兩個表達式，得到，于是，從而原式化簡為。根式算術(shù)根次冪等于的非負(fù)實數(shù)，稱為數(shù)的次算術(shù)根，并記作，其中稱為根指數(shù)，稱為被開方數(shù)。最簡根式如果根式的被開方數(shù)的指數(shù)和根指數(shù)是互質(zhì)的，被開方數(shù)的每一個因式的指

6、數(shù)都小于根指數(shù)，并且被開方數(shù)不含有分母，那么稱這個根式為最簡根式。例 化簡解因為，所以，。因為，所以，是符號相同的數(shù)。由；得 可知，當(dāng)時，原式； 當(dāng)時，原式； 當(dāng)，并且時，原式； 當(dāng)，并且時，原式。指數(shù)式與對數(shù)式指數(shù)式定義1如果，規(guī)定。定義2，這里的。定義3，這里的定義4，這里的，是任何正有理數(shù)。定義5當(dāng)是正無理數(shù)，是正實數(shù)，分別是的精確到的不足近似值和過剩近似值時，規(guī)定數(shù)列的共同極限是的無理數(shù)指數(shù)冪，記作，即定義6當(dāng)是正無理數(shù)，是正實數(shù)時，規(guī)定。對數(shù)式定理（對數(shù)存在定理）：如果正實數(shù)不等于1，那么對于任一給定的正實數(shù)，有唯一的實數(shù)，使的次冪等于，即。定義如果不等于1的正實數(shù)的某次乘方的冪等于

7、正實數(shù)，那么稱這個冪的指數(shù)是以為底的的對數(shù)。三角式與反三角式在初等數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)由幾何性質(zhì)給出定義，但研究由三角式與反三角式給出的解析式主要是運用代數(shù)的方法，并且著重于三角式與反三角式的恒等變形。三角式在初等數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)的定義是用幾何方法建立起來的，它僅僅給出了自變數(shù)的取值與三角函數(shù)值的對應(yīng)，而不能給出直接由自變數(shù)的值計算三角函數(shù)值的公式。在數(shù)學(xué)分析教程中，用泰勒公式可將三角函數(shù)展開為冪級數(shù)。事實上，三角式的概念及其運算關(guān)系的建立并不依賴于幾何的解釋。定義對于實數(shù)，符號稱為解析余弦，稱為解析正弦，其中反三角式對于實數(shù)，如果，并且，那么表達式分別稱為反正弦、反余弦。等式兩個解析式用等號連接

8、起來的式子稱為等式：等式可以分為兩類：恒等式和條件等式。當(dāng)不定元取一切有意義的數(shù)值時，等號兩邊的解析式都取相同的值，稱之為恒等式，也稱之為絕對等式。當(dāng)一個等式，只在不定元取某些特殊的數(shù)值時才成立，稱之為條件等式。不等式兩個解析式用不等號連接起來的式子稱為不等式：不等式可以分為兩類：絕對不等式和條件不等式。當(dāng)不定元取一切有意義的數(shù)值時，不等式恒成立，稱之為恒不等式，也稱之為絕對不等式。當(dāng)一個不等式，只當(dāng)不定元取某些特殊的數(shù)值時才成立，我們稱之為條件不等式。（補充）不等式基本性質(zhì)不等式具有如下的基本性質(zhì)定理1（傳遞性） 若，則。定理2（三歧性） 若中有且只有一個成立。定理3 若，則推論1 可以把不

9、等式中任何一項變?yōu)橄喾吹姆柡?，從一邊移到另一邊。推? 若，則。推論3 若，則。定理4 若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，。推論1 若則。推論2 若則。推論3 若，整數(shù)，則。推論4 若，整數(shù)，則。定理5 設(shè)，則的充要條件是；的充要條件是或。定理6 ，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。推論1 推論2 五、絕對不等式的證明l 用放縮法證明不等式利用放縮法證明不等式的關(guān)鍵是尋找中間變量，使成立，在量與之間架起一座橋梁，通過橋梁的過渡，使與之間間接地建立起不等關(guān)系。例 已知為正整數(shù)，試證：分析由不等式，得將這個同向不等式相乘得故，證畢。l 構(gòu)造函數(shù)證明不等式某些不等式從結(jié)構(gòu)上接近某一函數(shù)，把某一字母看成自變量構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)

10、，利用函數(shù)的某些性質(zhì)來證明不等式。利用構(gòu)造函數(shù)證明不等式關(guān)鍵是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)牟坏仁健＠?已知，求證：分析從不等式的結(jié)構(gòu)來看，易構(gòu)造函數(shù)，易證在上是增函數(shù)。因為，所以。從而有l(wèi) 構(gòu)造幾何圖形證明不等式如果說不等式中的抽象的數(shù)量關(guān)系能用圖形表示，利用圖形的幾何性質(zhì)即可證明不等式。例 設(shè)，求證：分析從左式四個表達式特征可以看出，它們表示兩點間的距離。故可構(gòu)造點四邊形為正方形，令點坐標(biāo)為，則由三角形的性質(zhì)得所以， 即。l 反證法在不等式證明中的應(yīng)用反證法是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法，在不等式的證明中也有廣泛的應(yīng)用。用反證法證明不等式，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步導(dǎo)出

11、與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原結(jié)論是正確的。例 已知，求證：中至少有一個不小于。分析此題從正面解決比較困難，可用反證法，假設(shè)結(jié)論不成立，即都小于，則由于得此式與矛盾，這說明假設(shè)不成立，故原命題成立。六、條件不等式的求解l 分類討論例 為自然數(shù)，解關(guān)于的不等式：分析此不等式比較復(fù)雜，不僅含有參數(shù)，還有自然數(shù)。先把此不等式化簡，再對參數(shù)進行討論。不等式化簡為：對進行討論：當(dāng)為偶數(shù)時，原不等式轉(zhuǎn)化為當(dāng)為奇數(shù)時，原不等式轉(zhuǎn)化為下面再對進行討論，由于為對數(shù)的底，故當(dāng)時，不等式變?yōu)椴坏仁浇M當(dāng)時，不等式變?yōu)椴坏仁浇Ml 用幾何方法求解不等式如果不等式的結(jié)構(gòu)可以通過某種方式與圖形建立起聯(lián)系，則可設(shè)法構(gòu)造圖形，將不等式所表達的抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決。例 設(shè)，是關(guān)