線段的垂直平分線與角平分線(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線段的垂直平分線與角平分線【知識框架】1、線段垂直平分線的性質(zhì)（1）垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等. 定理的數(shù)學表示：如圖1， CDAB，且ADBD ACBC.定理的作用：證明兩條線段相等（2）線段關(guān)于它的垂直平分線對稱.2、線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上. 定理的數(shù)學表示：如圖2， ACBC 點C在線段AB的垂直平分線m上.定理的作用：證明一個點在某線段的垂直平分線上.3、關(guān)于線段垂直平分線性質(zhì)定理的推論（1）關(guān)于三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且

2、這一點到三個頂點的距離相等.性質(zhì)的作用：證明三角形內(nèi)的線段相等.（2）三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形內(nèi)部；若三角形是直角三角形，則它三邊垂直平分線的交點是其斜邊的中點；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形外部. 反之，也成立。4、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等. 定理的數(shù)學表示：如圖4， OE是AOB的平分線，F(xiàn)是OE上一點，且CFOA于點C，DFOB于點D， CFDF. 定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平

3、分線所在的直線.5、角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角平分線的判定定理：在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上. 定理的數(shù)學表示：如圖5，點P在AOB的內(nèi)部，且PCOA于C，PDOB于D，且PCPD，點P在AOB的平分線上. 定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線 注意角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別和聯(lián)系.6、關(guān)于三角形三條角平分線的定理：（1）關(guān)于三角形三條角平分線交點的定理：三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.定理的數(shù)學表示：如圖6，如果AP、BQ、CR分別是ABC的內(nèi)角BAC、 ABC、ACB的平分線，那么： AP、BQ、CR相交

4、于一點I； 若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點D、E、F，則DIEIFI. 定理的作用：用于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實際中的幾何作圖問題.（2）三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點一定在三角形的內(nèi)部.這個交點叫做三角形的內(nèi)心（即內(nèi)切圓的圓心）.7、關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：（1）會作已知線段的垂直平分線； （2）會作已知角的角平分線；（3）會作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形.【典型例題】例1、如圖1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，BCE的周長等于18cm，則AC的長

5、等于（）A6cm B8cmC10cm D12cm【跟蹤練習】（1） 如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，如果EBC的周長是24cm，那么BC=_;（2） 如圖，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，如果BC=8cm，那么EBC的周長是_;（3） 如圖，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，如果A=28度，那么EBC=_.例2、已知： AB=AC，DB=DC，E是AD上一點，求證：BE=CE.【跟蹤練習】已知：在ABC中，ON是AB的垂直平分線,OA=OC.求證：點O在BC的垂直平分線. C例3、在ABC中，AB=

6、AC，AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50°，ABC的底角B的大小為_。【跟蹤練習】在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°，則底角B的大小為_。例4、如圖8，已知AD是ABC的BC邊上的高，且C2B，求證：BDACCD.例5、已知：如圖，點B、C在A的兩邊上，且AB=AC，P為A內(nèi)一點，PB=PC，PEAB，PFAC，垂足分別是E、F。求證：PE=PF【跟蹤練習】已知： PA、PC分別是ABC外角MAC和NCA平分線，它們交于P，PDBM于D，PFBN于F，求證：BP為MBN的平分線。例6、如圖10，已知在直角梯形ABC

7、D中，ABCD，ABBC，E為BC中點，連接AE、DE，DE平分ADC，求證：AE平分BAD.【跟蹤練習】如圖所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE=DF。例7、如圖11，已知在四邊形ABCD中，對角線BD平分ABC，且BAD與BCD互補，求證：ADCD.【課堂練習】1.如圖，AC=AD，BC=BD，則（ ）A. CD垂直平分AD B. AB垂直平分CD C. CD平分ACB D. 以上結(jié)論均不對2.如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部，那么，這個三角形是（ ）A.直角三角形B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形3. ABC中，AB的垂直平分線交A

8、C于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC的周長是（ ）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm4. 如圖所示，AB/CD，O為A、C的平分線的交點，OEAC于E，且OE=2，則AB與CD之間的距離等于_。5. 已知，如圖，在ABC中，AB=AC，O是ABC內(nèi)一點，且OB=OC，求證：AOBC.6. 如圖7，在ABC中，AC23，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，ACE的周長為50，求BC邊的長.7. 已知：如圖所示，ACB，ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一點，求證：CP=DP.8. 如圖，ADDC，BCDC，E是DC上一點，AE平分DAB (1)如果

9、BE平分ABC，求證：點E是DC的中點； (2)如果E是DC的中點，求證：BE平分ABC9. 如圖，在ABC中，AB=BC=AC，ADBC于D，E、F分別為AB、AC中點求證：DA平分EDF10. 如圖，在直線MN上找一點P，使點P到直線AB和射線OC的距離相等【課后作業(yè)】1.下列命題中正確的命題有（ ）線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等；線段上任一點到垂直平分線兩端距離相等；經(jīng)過線段中點的直線只有一條；點P在線段AB外且PA=PB，過P作直線MN，則MN是線段AB的垂直平分線；過線段上任一點可以作這條線段的中垂線.A.1個B.2個C.3個D.4個2. ABC中，AB=AC，AC的中垂線交AB于E，EBC的周長為20cm，AB=2BC，則腰長為_。3. 如圖所示，直線表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)在要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（ ） A. 一處B. 二處C. 三處D. 四處4.如圖，在ABC中，AB=AC，A=120°，AB的垂直平分線M