課時(shí)學(xué)案——正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性

1、課時(shí)學(xué)案正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性江蘇 韓文美【課前準(zhǔn)備】1課時(shí)目標(biāo)（1）正確理解周期函數(shù)的定義與性質(zhì)；（2）會(huì)求正、余弦函數(shù)的最小正周期，會(huì)求函數(shù)y=Asin（x+）、y=Acos（x+）的最小正周期；（3）會(huì)判斷正、余弦函數(shù)的奇偶性，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用2基礎(chǔ)預(yù)探（1）周期性：對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有_，那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的_（2）周期函數(shù)的周期不止一個(gè)如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的_（3）正弦函數(shù)是周期函數(shù)，_（kZ且k0）都是它的周期，最小正

2、周期是_余弦函數(shù)是周期函數(shù)，_（kZ且k0）都是它的周期，最小正周期是_（4）一般地，函數(shù)y=Asin（x+）與y=Acos（x+）（其中A，為常數(shù)，且A0，>0）的周期T=_（5）就奇偶性而言，正弦函數(shù)是_函數(shù)，余弦函數(shù)是_函數(shù)【知識(shí)訓(xùn)練】1函數(shù)y=2sinx的周期是（ ）A B2 C3 D42下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（ ）Ay=cosxsinx By=|sinx| Cy=sinx+1 Dy=3y=5sin（2x+）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則=_4y=2sin（3x）的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是_5若f（x）是以2為周期的奇函數(shù)，且f（）1，則f（）的值為 6求函數(shù)y=|sin（x+

3、）+|的最小正周期【學(xué)習(xí)引領(lǐng)】1對(duì)周期函數(shù)的定義還要進(jìn)一步加以理解：（1）式子f（x+T）=f（x）是定義域內(nèi)的恒等式，即對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值都成立也就是對(duì)于定義域內(nèi)任何x式子都成立，而不能是“一個(gè)x”或“某些個(gè)x”式子成立；從另一方面說，要判斷一個(gè)函數(shù)不是周期函數(shù)，只需舉一個(gè)反例就可以了（2）式子f（x+T）=f（x）是對(duì)“x”而言的，即周期函數(shù)的周期與自變量x的系數(shù)有關(guān)（3）周期函數(shù)的周期不只一個(gè)，若T是周期，則kT（kZ且k0）一定也是周期定義規(guī)定了T為一個(gè)實(shí)常數(shù)，而不是一個(gè)變數(shù)；同時(shí)也規(guī)定了T的取值范圍，只要求不為零，不要誤認(rèn)為T一定是的倍數(shù)2一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，但它不一定有最小正周期

4、，即并不是任何周期函數(shù)都有最小正周期3研究三角函數(shù)奇偶性時(shí)，就先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)為了能簡(jiǎn)便迅速地判斷三角函數(shù)的奇偶性，有時(shí)還需要先作適當(dāng)?shù)牡葍r(jià)變形【典例導(dǎo)析】題型一：函數(shù)周期性的應(yīng)用例1已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f（x）=2sin（x+）（|<）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和分別為（ ）AT=6，= BT=6，= CT=6，= DT=6，=思路導(dǎo)析：直接利用求解函數(shù)y=Asin（x+）的周期公式加以分析與求解解析：由于T=6，把點(diǎn)（0，1）代入f（x）=2sin（x+），得sin=，因?yàn)閨<，所以|<，故選

5、擇答案：A點(diǎn)評(píng)：此類問題是高考中最常見的，公式法是求解三角函數(shù)最小正周期的基本方法，一般地，有：（1）y=Asin（x+）+h與y=Acos（x+）+h的最小正周期為T=；（2）y=|sinx|或y=|cosx|的最小正周期為T=變式練習(xí)1：已知函數(shù)f（x）=sin（x+）（>0）的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象（ ）A關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱 B關(guān)于直線x=對(duì)稱C關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱 D關(guān)于直線x=對(duì)稱題型二：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2若f（x）=asin（x+）+3sin（x）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_思路導(dǎo)析：利用三角函數(shù)的奇偶性及其誘導(dǎo)公式進(jìn)行變換，通過系數(shù)對(duì)應(yīng)的關(guān)系來確定相應(yīng)的參數(shù)問題解析：由偶函數(shù)

6、的定義知：f（x）f（x），又f（x）=asin（x+）+3sin（x）=asin（x）3sin（x+），即asin（x+）+3sin（x）=asin（x）3sin（x+），所以，解得a3，故填答案：3點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的奇偶性是高考的?？純?nèi)容，熟練掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義是解決此類問題的關(guān)鍵在三角函數(shù)中，往往也會(huì)綜合相應(yīng)的公式與性質(zhì)加以應(yīng)用變式練習(xí)2：f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=3sinx+4cosx+7，則x>0時(shí)，f（x）的表達(dá)式是（ ）A3sinx4cosx7 B3sinx4cosx+7 C3sinx4cosx7 D3sinx+4cosx+7題型三：判斷函數(shù)的奇偶性

7、例3判斷下面函數(shù)的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）思路導(dǎo)析：判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再看f（x）與f（x）的關(guān)系解析：由于函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f（x）+f（x）= lg（sinx+）+ lg（sinx+）= lg（sinx+）（sinx+）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）為奇函數(shù)點(diǎn)評(píng)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要（但不充分）條件要注意判斷奇偶性的步驟：一是分析定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二是分析f（x）與f（x）的關(guān)系變式練習(xí)3：函數(shù)f（x）=xsinx（xR）的部分圖象可能是（ ）題型四：綜合應(yīng)用問題例4關(guān)于函數(shù)f（

8、x）=sin（|x|+）有下列判斷：是偶函數(shù)；是奇函數(shù)；是周期函數(shù)；不是周期函數(shù)，其中正確的是（ ）A與 B與 C與 D與思路導(dǎo)析：通過對(duì)函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用誘導(dǎo)公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而判斷其對(duì)應(yīng)的奇偶性與周期性問題解析：由于f（x）=sin（|x|+）=cos|x|=cosx，所以f（x）是偶函數(shù)，且是周期函數(shù)，故選擇答案：B點(diǎn)評(píng)：主要考查三角函數(shù)的變換、圖象及其性質(zhì)在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題中，要注意在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用，并且要注意數(shù)形結(jié)合的方法變式練習(xí)4：定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小周期是，當(dāng)x0，時(shí)，f（x

9、）sinx，則f（）的值是（ ）A B C D【隨堂練習(xí)】1定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是，且當(dāng)x0，時(shí)，f（x）=sinx，則f（）的值為（ ）ABCD2已知y=f（x）是周期為2的函數(shù)，當(dāng)x0，2）時(shí)，f（x）=sin，則f（x）=的解集為（ ）Ax|x=2k+，kZBx|x=2k+，kZCx|x=2k±，kZDx|x=2k+（1）k ，kZ3已知函數(shù)f（x）=sin（x）1，則下列命題正確的是（ ）Af（x）是周期為1的奇函數(shù) Bf（x）是周期為2的偶函數(shù)Cf（x）是周期為1的非奇非偶函數(shù)Df（x）是周期為2的非奇非偶函數(shù)4如果函數(shù)f（

10、x）2sin（2x）的最小正周期是4，則 5已知函數(shù)f（x）=1cosx，則f（0）+f（1）+f（2）+f（2011）=6已知函數(shù)f（x）=2sin（x+），如果使函數(shù)f（x）的周期在（，）內(nèi)，求正整數(shù)k的值【課后作業(yè)】1函數(shù)y=xcosx的部分圖象可能是（ ）2如果函數(shù)f（x）=sin（x+）（0<<2）的最小正周期是T，且當(dāng)x=2時(shí)取得最大值，那么（ ）AT=2，= BT=1，= CT=2，= DT=1，=3設(shè)f（x）是（，+）上的奇函數(shù)，f（x+2）=f（x），當(dāng)0x1時(shí)，f（x）=x，則f（7.5）等于_A0.5 B0.5 C1.5 D1.54若f（x）具有性質(zhì)：f（x）

11、為偶函數(shù)，對(duì)任意xR，都有f（x）=f（+x），則f（x）的解析式可以是_（只寫一個(gè)即可）5判斷下面函數(shù)的奇偶性：f（x）=sin4xcos4x+cos2x6設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（x+），>0，x（，+），且以為最小正周期（1）求f（0）；（2）求f（x）的解析式；（3）已知f（+）=，求sin的值答案：【課前準(zhǔn)備】2基礎(chǔ)預(yù)探（1）f（x+T）=f（x），周期；（2）最小正周期；（3）2k，2，2k，2；（4）；（5）奇，偶【知識(shí)訓(xùn)練】1B；解析：函數(shù)y=2sinx的周期與函數(shù)y=sinx的周期一樣，都是2；2B；解析：A、C是非奇非偶函數(shù)，D是奇函數(shù)，只有B是偶函數(shù)3=k+（kZ）

12、；解析：解析：y=f（x）為偶函數(shù)，則有=k+（kZ）；4；解析：由于T=，相鄰對(duì)稱軸間的距離為；51；解析：f（）= f（）= f（）1；6解析：由于y=|sin（x+2+）+|=|sin（x+）+|，即f（x+2）=f（x），所以T=2【典例導(dǎo)析】變式練習(xí)1：A；解析：由題意知=2，所以解析式為f（x）=sin（2x+），經(jīng)驗(yàn)證可知它的一個(gè)對(duì)稱中心為（，0）；變式練習(xí)2：C；解析：設(shè)x>0，則x<0，f（x）=3sin（x）+4cos（x）+7=3sinx+4cosx+7，對(duì)于任意的xR，f（x）是奇函數(shù)，f（x）=f（x），f（x）=3sinx+4cosx+7，f（x）=3s

13、inx4cosx7；變式練習(xí)3：D；解析：判斷可知f（x）=xsinx（xR）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值y，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)值y，僅選項(xiàng)D滿足；變式練習(xí)4：D；解析：因?yàn)閒（x）的最小正周期是，所以f（）f（2）=f（），函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以f（）= f（），因?yàn)?，所以f（）=sin=，即f（）；【隨堂練習(xí)】1D；解析：f（）=f（2）=f（）=f（）=sin=；2C；解析：f（x）=sin=，x0，2），0，），=或，x=或，f（x）是周期為2的周期函數(shù)，f（x）=的解集為x|x=2k±，kZ；3B；解析：由于T=2，且f（x）=sin（x）1=cos2x1

14、，f（x）為偶函數(shù)；4±；解析：由于T=4，則±；52012；解析：由f（x）=1cosx知這個(gè)函數(shù)的周期是4，而f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0+1+2+1=4，由周期性，這樣連續(xù)四項(xiàng)的和均為4，共有2012項(xiàng)，是4的503倍，故可得結(jié)果為4×503=2012；6解析：由于k為正整數(shù)，則函數(shù)f（x）=2sin（x+）的周期為：T=，而函數(shù)f（x）的周期在（，）內(nèi)，那么<<，解得8<k<9，所以滿足條件的正整數(shù)k的值為26、27或28【課后作業(yè)】1D；解析：由于y=xcosx為奇函數(shù)，且當(dāng)x從正數(shù)方向無限接近于0時(shí)，圖象在x軸下方；2A；解析：T=2，又當(dāng)x=2時(shí)，sin（·2+）=sin（2+）=sin，要使上式取得最大值，可取=；30.5；解析：由f（x+2）=f（x），得f（x）為周期函數(shù)，且4為f（x）的一個(gè)周期，故f（7.5）= f（80.5）= f（0.5）=f（0.5）=0.5；4f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等；解析：此類屬于開放性題，答案不唯一，只要滿足條件即可；5