因式分解習(xí)題大全

1、存在問題：不能熟練、靈活的因式分解。原因分析：1 、公式記得不牢，不能區(qū)分各自的特點(diǎn)，由于思想上的模糊，從而把平方差公式 和完全平方公式記混淆。2、沒有養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，看見兩項(xiàng)就想用平方差公式，看見三項(xiàng)就想用完全平方公式，不首先考慮提公因式法，而且也很少考慮是否分解的徹底。3、雖然因式分解只有三個(gè)方法，但也不能靈活運(yùn)用，只要與平時(shí)所做的題稍有出入，便不知從何下手。對(duì)策：1.講練結(jié)合模式。通過對(duì)典型例題的詳細(xì)分析和講解，總結(jié)歸納出解決一類數(shù)學(xué)問題的方法和技巧。 在此基礎(chǔ)上，再給出同類型題讓她練習(xí)，通過這個(gè)過程使胡雪婷達(dá)到“做一題，通一 類，會(huì)一片”的效果。2、歸納模式選擇一些容易出錯(cuò)的問題讓

2、她自己說出解題思路，這樣會(huì)暴露出各種錯(cuò)誤思路，錯(cuò)誤結(jié)論，然后再根據(jù)暴露出來的問題分析歸納，最終得出一般性的結(jié)論這種教學(xué)模式可使她在錯(cuò)誤中主動(dòng)地審視、體驗(yàn)、反思自己所掌握的知識(shí)，培養(yǎng)其知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)的良好習(xí)慣3多練習(xí)，多樣練習(xí)，采取自主練習(xí)，變式練習(xí)，題型多樣練習(xí)結(jié)合的方法，讓她在 不斷思考和探索中進(jìn)步，提高，能夠靈活運(yùn)用三種方法分解因式。因式分解知識(shí)總結(jié)歸納因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互 為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛 應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。1. 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式

3、；3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式；6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；7. 因式分解的一般步驟是：（1）通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首 先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不 能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利 用公式法繼續(xù)分解；（2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、 試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法；一、提公因式法 概念：公因式：各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做

4、這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式 提公因式法：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式 提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做 提公因式法.女口 am+ bm + cm = m （a+b+c） 具體方法:(1) 若各項(xiàng)系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；(2) 取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的；(3) 取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的指數(shù)取較低的.(4) 所有這些因式的乘積即為公因式.二、運(yùn)用公式法。 平方差公式：.a2 - b2= (a+ b)(a - b) 完全平方公式：a2± 2ab+ b2= (a± b)2注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須

5、是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍.(運(yùn)用完全平方公式也叫配方法)立方和公式：a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2).立方差公式：a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2).完全立方公式：a3± 3a2b + 3ab2± b3= (a± b)3三、十字相乘法分解因式：利用十字交叉來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法。例4、在多項(xiàng)式X2 3x 2分解時(shí)，也可以借助畫十字交叉線來分解。x2分解為x X，常數(shù)項(xiàng)2分解2 1，把它們用交叉線來表示：所以 x2 3x 2 =(x 1)(x 2

6、)冋樣： x ' px q = x2 (a b)x ab = (x a)(x b)可以用父叉線來表示: 其中 q=ab , p=a b四、通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的1. 用分組分解法分解因式。(1) 定義：分組分解法，適用于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，例如a2_b2a_b沒有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)分別結(jié)合，把原多項(xiàng)式分成兩組。再提公因式，即可達(dá)到分 解因式的目的。例如：a2 -b2 a _b = (a2 -b2) (a b) =(a b)(a b) (a b) =(a b)(a b 1)，這種利用分組來分解因式的方法叫分組分解法。(2) 原則：分組后可直

7、接提取公因式或可直接運(yùn)用公式，但必須使各組之 間能繼續(xù)分解。(3) 有些多項(xiàng)式在用分組分解法時(shí)，分解方法并不唯一，無論怎樣分組，只要能將多項(xiàng)式正確分解即可。例：分解因式X' X4 XX2 X-1分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把 xXx 4 + 3和xX + -1分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后， 再進(jìn)一步分解；也可把X5 -X4，x3x2，X-1分別看成一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變 成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。解一：原式=解二：原式=2. 通過變形達(dá)到分解的目的例1.分解因式x3 3X2 _4解一：將3x2拆成2x2 x2，則有原式=x32x2(x2 -

8、4)= x2(x 2) (x 2)(x -2)=(x 2)(x2x 2)=(x -1)(x2)2解二：將常數(shù)-4拆成一1一3，則有原式=x3 -1(3x2 -3)2=(x -1)(x2 x 1) (x -1)(3x3)2=(x -1)(x2 亠4x 亠4)=(x -1)(x2)211、填空：（30分）1、 若x2 +2(m3)x+16是完全平方式，則m的值等于。2、x2 +x + m = (x n)2貝卩 m=n=3、2x3y2與12x6y的公因式是4、若 xm _yn = (x+y2)(x _y2)(x2+y4)，貝寸 m=，n=。5、 在多項(xiàng)式m2 n2,a2 -b2,x4 4y24s2

9、9t4中，可以用平方差公式分解因式的有，其結(jié)果是。6、 若x2 +2(m-3)x+16是完全平方式，則 m=。7、x2 +( )x+2 = (x + 2)(x +)&已知 1 + x + x2 + +x2004 +x2005 = 0,則 X2006 =.9、 若16(a-b)2+M +25是完全平方式 M=。10、 x2 6x _ =(x 3)2 ,x2 _ 9=(x-3)211、 若9x2 k y2是完全平方式，貝U k=。12、若x2 "x-4的值為0,則3x2 12x-5的值是。13、若 x2 -ax T5 = (x 1)(x T5)貝H a=。14、 若 x y =4

10、,x2 y6貝卩 xy 二。15、 方程x2 40，的解是。二、選擇題：（10分）1、多項(xiàng)式a（a 一 x）（x 一 b） ab（a 一 x）（b 一 x）的公因式是（）A、一 a、B、-a（a-x）（x-b） C、a（a-x） D、-a（x-a）2、若 mx2 kx 9 =（2x 3）2，則 m , k 的值分別是（）A、m= 2, k=6, B、m=2, k=12, C、m=4, k= 12、D m=4 , k=12、3、 下列名式：x2y2,x2 y2,x2 y2,（x）2 （ y）2,x4 y4 中能用平方差公 式分解因式的有（）A、1 個(gè)，B、2 個(gè)，C、3 個(gè)，D、4 個(gè)4、計(jì)算（

11、1（1的值是（）23910A、1 B、丄,c 丄，D0 10 20三、 分解因式：（30分）x4 -2x3 -35x23x6 -3x225(x -2y)2 -4(2y -x)2x2 _4xy1 4y2-1ax2bx2bx ax bax4 -18x2819x4 -36y23a2x2 -15a2xy-42a2y2;m2(p q) p+ q;a(ab + bc + ac) abc；x4 2y4 2x3y + xy3;(x 1)(x2)(x 3)(x4)-24abc(a2+ b2 + c2) a3bc + 2abc；2 2 2a (b c) + b (c a) + c (a b)2 2(x 2x) +

12、 2x(x 2) + 1;x2 4ax + 8ab 4b2;(x y)2+ 12(y x)z + 36z2;2 2(ax + by) + (ay bx) + 2(ax + by)(ay bx)(1 a2)(1 b2) (a2 1)2(b2 1)2; (x + 1)2 9(x 1)2；4a2b2 (a2+ b2 c2)2;2 2ab ac + 4ac 4a；3n |3nx + y ;(x+ y)3 +125(3m- 2n)3 + (3m+ 2n)36 2 2 6 2 2X(X - y) + y (y - x)8(x + y)3+ 1 ；(a+ b+ c) a b cx2 + 4xy + 3y2m

13、+ 18ni 17;7(a +1) 6(a + 1)2;(x2+ x)(x 2 + x 1) 2。四、證明(求值)：1 .已知 a+ b=0,求 a3 2b3 + ap5 .若 x + mx+ n=(x 3)(x + 4)，求(m+ n)的值.b-2ab2的值.2 .求證：四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個(gè)完全平方數(shù).3 .證明：(ac bd)2+ (be + ad)2=(a2+ b2)(c 2 + d2).4 .已知 a=k + 3, b=2k+ 2, c=3k 1，求 a + b + c + 2ab 2bc 2ac 的值.6 .當(dāng)a為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2+ 7xy + ay2 5x +

14、43y 24可以分解為兩個(gè)一次因式的乘積.7 .若x, y為任意有理數(shù)，比較 6xy與x2 + 9y2的大小.&兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是 4的倍數(shù).五、代數(shù)式求值(15分)1、已知 2x-y,xy =2，求 2x4y3-x3y4 的值。32、若x、y互為相反數(shù)，且(x 2)2 -(y 1)2 =4，求x、y的值3、已知 a b =2，求(a2 -b2)2 -8(a2 b2)的值五、計(jì)算： (15)(1)0.75 3 66 -3 2.664(3)2 562 8 56 22 2 442六、試說明：(8分)1、對(duì)于任意自然數(shù)n , (n 7)2 -(n-5)2都能被動(dòng)24整除。2、 兩個(gè)連續(xù)奇

15、數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個(gè)連續(xù)奇 數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計(jì)算(8分)1、一種光盤的外 D=11.9厘米，內(nèi)徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。(結(jié)果 保留兩位有效數(shù)字)2、正方形1的周長(zhǎng)比正方形2的周長(zhǎng)長(zhǎng)96厘米，其面積相差960平方厘 米求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。八、在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項(xiàng)式(x2 -4)(x2 -102 ir 100的值一定是非負(fù)數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值 本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。證明：九、因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式：(a 2b c)3 -(a b)3 -(b -

16、 c)3分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b, b+c與a+2b+c 的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解：說明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對(duì)原式進(jìn)行“代換”是很重要 的。中考點(diǎn)撥例 1.在 ABC 中，三邊 a,b,C 滿足 a將a2 (a 1)2 (a2 a)2分解因式，并用分解結(jié)果計(jì)算62 - 72 422。 -16b2 _c2 6ab - 10bc = 0 求證：a 2b證明：說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不 能丟分。例2.已知：x十丄=2，則x解：十丄=xx3解：題型展示1. 若x為任意整數(shù)，求證：(7x)(3x)(4 X2)的值不大于100。解：實(shí)戰(zhàn)模擬1.分解因式：(13 x5 -10x4 -8x3 -3x210x8(2) (a2 3a -3)(a2 3a