第4章多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)題解

1、4-1 在題 3-10 中，設(shè) mi=m2=m.,(m1+ m2)gm2g ,m2k1 =匕 +，k21I1I 2I 2m?gm2gk12 一 ?k22_ k2 +I 2I2代入 mt = m2 = m，k=k?=0 ， h =2 = I可求出剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M一 3mgmg 1"m0 1IIM = I1；K =i1mmgmg-II 一gIi = l2=l，ki=k2=0，求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。 解：由題3-10的結(jié)果由頻3mg-mp ImgImgI mgmpI4m2gPil2=0(2 ' 2) g為求系統(tǒng)主振型，先求出mgadjB2mpImgIadjB1的第一列分別

2、將頻率值Pi和P2代入,得系統(tǒng)的主振型矩陣為卜$ -1A©1-1 -.1 一(1)A 二634-2題4-2圖所示的均勻剛性桿質(zhì)量為mi，求系統(tǒng)的頻率方程。解：設(shè)桿的轉(zhuǎn)角二和物塊位移x為廣義坐標(biāo)。利用剛 度影響系數(shù)法求剛度矩陣k。設(shè)V -1,x=：0，畫(huà)出受力圖，并施加物體力偶與力ku , k2i，由平衡條件得到,題4-2圖2 2ki 二 kb k?a ，k 21#ki2, k22，由平衡條件得到,ki2 = k2 a ，得作用力方程為k 22-1 - 3a2 k-2o o-.- X .由頻率方程K - p 2 M =0，得2kib2 1 2 2 -k?a -一 mia p3- k?

3、a2k?a - m2 p4-3題4-3圖所示的系統(tǒng)中，兩根長(zhǎng)度為I的均勻剛性桿的質(zhì)量為 mi及m2，求系統(tǒng)設(shè)V -0, x =1，畫(huà)出受力圖，并施加物體力偶與力#題4-3圖的剛度矩陣和柔度矩陣，并求出當(dāng)mi=m2=m和 ki=k2=k時(shí)系統(tǒng)的固有頻率。解：如圖取 九亠為廣義坐標(biāo)，分別畫(huà)受力圖 由動(dòng)量矩定理得到，-33331門=-ki I R I - ki I v2 I4444-3333I II 26 = ki I 為 I - ki I 二2I - k22 444422整理得到，99 2cI li kiI = - bI 2 = 06i6659R (匕 I16912 R - 匕 I162I .川,

4、k 2) r 2 二 04#則剛度矩陣和柔度矩陣分別得,169IL 16169 2I &1621k14k2系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為lmJ23I2由頻率方程=0，9 2 I 161 adj K72m2I 48并代入已知條件得,1k 一 一 ml392kI 21613 kl1692kI167-mI48-4k2I216+9 k, 124k2124 1k2I24k2I2k整理得到 112 p4 -813 p2 - - 324 m2 k2 m，求得P120.65052 pO，P2 二 2.6145用剛度影響系數(shù)法求解剛度矩陣。令=1, v2 = 0，分別由兩桿的受力圖，列平衡方程為#k 2122胡丄&#

5、39;fl212 丿 169 kJ 169k1116同理，令日=1,小=0得到#-92k1l92k1l1k =16169292丄121一k 11k1l+ k2I-16164169k11lxlx k12 k 21 4-4題4-4圖所示，滑輪半徑為R,繞中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 并忽略繞滑輪的繩子的彈性及質(zhì)量，求系統(tǒng)的固有頻率及相應(yīng) 的主振型。解：如圖選Xi，X2，X3為廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求 剛度矩陣k。設(shè)X1 = 1，X2 = X3 = 0，畫(huà)出受力圖，并施加物體kii , k 21 ,由平衡條件得到,題4-4圖-33-ink11 = k , k21 =0 , k 31 - - kR67#設(shè)

6、X2 = 1, Xi-x0，畫(huà)出受力圖，并施加物體k12 , k22 , k32，由平衡條件得到,#k12= 0, k22 二 k , k32 二 kRk13 , k23 , k33，由平衡條件得到,設(shè)X3 =1, X1 =X2 =0，畫(huà)出受力圖，并施加物體#k 23 二 kR2k33 = 2kR#則剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別得,由頻率方程-0，得2k mp-kRmpkR-kRkR2 2 22 kR - 2 mR p-k0-kR '-m00 10kkR,M =0m0-kRkR22kR10022mRK#解出頻率為,P3P1 = 0 , P展開(kāi)為 2m(k mp2)p2(mp2 2k)R2 =

7、 02k由特征矩陣B =K - p2M的伴隨矩陣的第一列,_22 "Ik mp )(2kR 2mR p ) k R(1)adj B 二2 2 2 2 2 2 k R (k - mp )( 2kR - - 2 mR p )2kR (k mp )并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的主振型矩陣為- 1iiiA =-i i -iii0RR4-5三個(gè)單擺用兩個(gè)彈簧聯(lián)結(jié)，如題 4-5圖所示。令mi=m2=m3=m及ki=k2=k。試用微小的角二、二2和力為坐標(biāo)，以作用力方程方法求 系統(tǒng)的固有頻率及主振型。解：如圖選 九亠，內(nèi)為廣義坐標(biāo)。利用剛度影 響系數(shù)法求剛度矩陣K。設(shè)TI1二1,二2 -宀=0，畫(huà)出受

8、力圖，并施加物題4-5圖體于kii , k2i , k3i，由平衡條件得到,2 2kii 二 kh 亠 mgl ， k2i 一 -kh ， k3i = 069#設(shè)-2 =i，K =0，畫(huà)出受力圖，并施加物體 匕2飛22飛32，由平衡條件得到,2k22 二 2kh mgl，k 32#設(shè)-3 =i,= -2 = 0，畫(huà)出受力圖，并施加物體ki3 , k23 , k33，由平衡條件得到,2 2ki3 =0， k23 二-kh ， k33 二 kh - mgl#則剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別得,kh 2 - mgl2K =-kh. 0特征矩陣：2kh22 kh mgl-kh0 1- 2ml0022一 kh,

9、M =0ml02kh + mgl1 100ml 2kh 2 mgl - mp 2| 2B = kh-kh由頻率方程K - p2 M(mgl2 2 22kh mgl - mp l2 kh-kh 22kh 亠 mgl2 2-mp l2kh + mgl2 2-ml p-kh 20-kh22kh 222+ mgl - ml p-kh 2=0222 20-khkh 十 mgl - mlp展開(kāi)為，(kh 2 + mgl-mp 2l2I 2kh2 + mgl - mp 2l2(kh 2 + mgl - mp2l2)-(-kh 叮=0，得 B = 0,kh 2 mgl2 22)(2 2-mp l_ _ kh

10、mgl mp 212kh 2二 kh 2 mgl mp 212 mgl2 2 2 2 2 -ml p )( mgl - ml p )解出頻率為Pimgl2 2mp l kh 2 mgl-mpkh 2 I2 2 2 2 2mp l 3kh mgl mp l = 024kh (mgl.22 丄.4-ml p)4kh=03kh2 0 ml由特征矩陣B二K - p2M的伴隨矩陣的第一列,7122222224 -(2kh mgl - ml p )(kh - mgl - ml p ) _k h 2 2 2 2adj B =kh (kh + mgl -ml p )24- k h _并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的

11、主振型矩陣為1-11A =10-2111X1、X2和X3為坐標(biāo),4-6題4-6圖所示的簡(jiǎn)支梁的抗彎剛度為EJ,本身質(zhì)量不計(jì)，以微小的平動(dòng)用位移方程方法求出系統(tǒng)的固有頻率及主振型。假設(shè)m1 = m2=m3=m。解：如圖取廣義坐標(biāo)，用柔度影響系數(shù)法 求柔度矩陣。F=1，其余各質(zhì)量塊處不受力，則m!產(chǎn)生的靜首先，僅在質(zhì)量m,處施加豎直單位力撓度是；m2處產(chǎn)生的靜撓度是s ； m3處產(chǎn)生的靜撓度是。則由材料力學(xué)知識(shí), 得到39l：；21768 EJ311l，5 31768 EJ37l768 EJ同理可得到其它柔度矩陣的各列,最后得到柔度矩陣為l3911768 EJ11161111#得到系統(tǒng)的位移方程為

12、%'3-|X2.l廣I768 EJ111I12 p11161111X1X2X3由系統(tǒng)的特征矩陣L二M得頻率方程L#11口 16皿一人 11口 =07G11。9« 一乙#3其中:ml768 EJP733#32 2（，一2）（ -32：- 14）=0解出=31 .556 I, / =2，3 =0.444 ：。#3#3由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列adj L（16- ）（ 9-，） - 121 :- 277。2 11。（9口一 入）2 121 a _7a （16a 九）分別代入特征#3#31.0001.414。1 .0001.000 1.000值，得到主振型為A = 1.4140.0

13、001.000 -1.000m1=m2=m3=m4=m4-7如題4-7圖所示，用三個(gè)彈簧連接的四個(gè)質(zhì)量塊可以沿水平方向平動(dòng)，假設(shè)和k1=k2=k3=k，試用作用力方程計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率及主振型。i*1 1*1i1（JH!巧J* -*jif .題4-7圖解：如圖選擇廣義坐標(biāo)。求質(zhì)量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為-_k-k00 1fm0001-k2k-k00m00K =0-k2k-k，M =00m000一 kk _1I000m由頻率方程K - p 2 M =0，得2k mp-k00-k22kmp-k00-k22k mp-k00-k2k - mp0因此可得到頻率方程解出p0,p2_22k，p3

14、-2k，mmP42 =（2 W）巴m26443p p m 6 k p m 1 0k22 2p m 43k m 0#解出頻率為p1 = Q , P2(2 - 2 ) ， p3k由特征矩陣B二K - p2 M ,B =特征矩陣的伴隨矩陣的第一列，（2k _ mpadj（i）)(k - mp3-6k3加。mp4 = J(2+為上m-kQQ 12 pm-kQ-k2k 一 p2m-kQ-kk - p2m2k (2k2-mp )-2 2 -1k (k mp ) |2k2)2 一k(2k - mp )(k - mp ) - k2 2k (k mp )3k-3k3 k4263、+ 5kp m -pm242p

15、m +kp m2 -kkPi =Q代入，即得2P2代入，得1、31k歸一化得A=31k3lk丿3A（1），Z -k3'r -1、(1)k3(2)1 一石歸一化得A =-(1 -T2)k3-(1 - J2)3 k< 1 A（2）k、r 1 2kA (3) =-k歸一化得A（3）=-1代入，得m-k-1<k丿i 1丿2P3P4(2<2) k 代入,r -k、r -1、(1 +72 )k八(4)1 +72歸一化得A =-(1 +V2)k-(1 +丫2)< k < 1 丿A（4）得系統(tǒng)的主振型矩陣為7Q各階主振型如下圖所示:1 -12 -11-1-1J 11 +込

16、-1-41 1 11(a)=02#=02#4-8題4-8圖表示一座帶有剛性梁和彈性立柱的三層樓建筑。假設(shè)m1=m2=m3=m.h1=h2=h3=h, EJ1=3EJ, EJ2=2EJ, EJ3=EJ。用微小的水平平動(dòng)X1、X2和X3為坐標(biāo)，用位移方程方法求出系統(tǒng)的固有頻率和 正則振型矩陣。解：由材料力學(xué)知，當(dāng)懸臂梁自由端無(wú)轉(zhuǎn)角時(shí)，其梁的等12 EI效剛度為k =-J，由此可將題4-11圖等效為（a）圖，其中12 EJ!12 EJ 212EJ3匕=2廠，k2=2廠，k3=20h2h3廣義坐標(biāo)如圖（a）示。利用柔度影響系數(shù)法求柔度矩陣。即，對(duì)圖（a）中的施加單位力，其余不受力，此時(shí)第一個(gè)彈簧變形為

17、丄，第二和第k1三個(gè)彈簧變形為零。由此可得個(gè)坐標(biāo)位移為,同理求出其余各列。最后得到柔度矩陣為144 EJ2222 25 55 1111m00系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為M =0m000m得到系統(tǒng)的位移方程為fx/32221-00nh1 -JX22550m0X2$144 EJ-2511 一00mj由系統(tǒng)的特征矩陣L = M .丄I，得頻率方程L =0，即P解出固有頻率為Pi9.979 & p2V mh.55.07EJ3mhEJ3mh值,-（5口 一上）（11。一人）一2510（2由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列adj L =210a 20（11。_ 扎），210 a - 2a. （5a - 入）&quo

18、t;1.0001 .0001.0001得到主振型為A =2.2951 .377-0.645。13.929-1.0370.1220 _"21.6508 m0 0 03.92430mpT=A MA分別代入特征主質(zhì)量振型為M2 ct -九2 a2a2 a5a - Z5a=02ot5a11o（入3其中Gmh ，人1，展開(kāi)頻率方程為144 EJp-18 aZ2+ 54 a 2 Z336 0（二 0解出=14.43，二=2.62，3 = 0.954。=0273=02#1.4303 m=02#=02#正則振型的第i列為，由此得到正則振型振型為N10.21490.4927-0.50490.8361

19、0.6848-0.5390J3.84320.52780.1017=02#柔度矩陣還可以這樣解出:F1 =1, F2 = F3 =0 時(shí):=0275=02#：如丄一，M224 EJ1324 EJ 1、1F2 =1, F1=F3 = 0時(shí)：.3,324 EJ124 EJ224h13-EJ1F3 =1, Fi=F2 = 0 時(shí):3h124EJ1243-EJ13h124 EJ 1h23+24 EJ23h2+ ,24 EJ2-333h124 EJ13h224 EJ2+ 242h3-EJ3=02#=02#3h13h1=02#=02#24 EJ13hi24 EJ13hi24 E J14-9在題4-924 E

20、J 13h224 EJ 13hr3h224 EJ 124 EJ 224 EJ 1+24 EJ 224 EJ 1324 EJ 23hr24 EJ 1324 EJ 22h3+24 EJ3圖所示的系統(tǒng)中，各個(gè)質(zhì)量只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，假設(shè) m1 = m2= m3= m，k1=k2=k3=k4 =k5=k6=k，試求系統(tǒng)的固有頻率及振型矩陣。解:如圖選擇廣義坐標(biāo)。求質(zhì)量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法 求剛度矩陣為m 003k-k-k3k-k3k由頻率方程K - p 2 M =0，得題4-9圖=02#k23k mp-kkk3k mp=02#=02#解出頻率為=02#P1P3由特征矩陣B =K _ p2M的伴隨矩

21、陣的第一列,(3k(1)adj Bmp )k-k(3k -2mp )-k(3k -2mp )2 22 k2將P1k代入得系統(tǒng)的第一階主振型為A (1)A滿足如下關(guān)系:(1) T)MAp2M )A (2) =0展開(kāi)以上二式得，Af +A22)a32)=0。取 a22)=°， A1(2)-1，可得到a32) =1。即有A(2) - -1A滿足如下關(guān)系:)T MA(3)小0 ，(A (2)T MA(3) =0(K(3)(3)(3)c" (3)(3)!A2A30 ， - A1A3-0)=-2。即得(A一2展開(kāi)以上二式得，Aa33)=1，可得到a2-p； M )A (3) =0，聯(lián)立

22、得aT” (3)(3)A3o 取 At1 ，A (3)主振型矩陣為4-10試計(jì)算題4-5的系統(tǒng)對(duì)初始條件oT的響應(yīng)。解：在習(xí)題4-5中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為=0277-111-ml200 110-2，M =0ml 201111 1002mlA主質(zhì)量振型為3TM p =A MA2=ml題4-5圖正則振型的第i列為A N)(i)，由此得到正則振型振型為0,3初始條件為02mlot6(0) = A N M 天二(0) = A Tn M -o= 0正則坐標(biāo)的響應(yīng)為其中P1g，P24-11試計(jì)算題應(yīng)。J2l ： COS P1t，二 N2 =0，-111a> =31u.COS Ptt

23、 + 32ILl11-1(3)cos p3t2-A (N2N2 - A N3Sn3，展開(kāi)得到g 3kh 2g TA，, 2l ml2mI: cos3Pat4-7的系統(tǒng)對(duì)初始條件X。= 0 0 0 o T和Xov r的響79#解：在習(xí)題4-7中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為#A1A2Af ) AC )=1-111 - .2-1_(1 _、2)-111-111 +逅(1 + 血)1(4)#(4)#-11一1_m00011 J2-11十爲(wèi)0 m001逅-1-1_1 _丫2M =0 0m0J1110 00m-4.000000 1主質(zhì)量振型為MTp = A MA=m0 0.41400004.00

24、00-00013.657 _A正則振型的第i列為a N)0.5000由此得到正則振型振型為 0.65730.5000-0.2706 0.2706-0.50000.65330.2706-0.5000-0.65330.65330.50000.27060.50000.50000.5000(4)#正則坐標(biāo)初始條件為(4)#(4)#-T'0.5000-0.65330.5000-0.2706Xn (0) = An MX。=仆0.5000-0.5000-0.27060.65330.50000.5000 10000l010.27060.6533010000-0.50000.5000001000-0.6

25、5330.27060001 _0 一10 一110“1100T X N (0)_ AN M X00.50000.50000.50000.5000-0.6533-0.27060.27060.65330.5000-0.5000-0.50000.5000-0.27060.6533-0.65330.270600(0)M0x 0x N (0) = A N Mxx N=A N°=0,0v正則坐標(biāo)的響應(yīng)為xN . mvt ,Xn 2 = 0，Xn 3sin patP3Xn4 = 0其中頻率為最終得到響應(yīng)(1)N x n 1(2)N x N 2(3)N x N 3，展開(kāi)得到(4)81U_1 1X2X

26、3vt1v-1+cos P3t212 Ps-11I1X4Vdn p/2P3X = An Xn i - An Xn 2 ' An Xn3 ' An Xn4v1(t sin2P3(t 1 sinP3P3t)Pst)V (t - sinPst)4-12試確定題4-8中三層樓建筑框架由于作用于第三層樓水平方向的靜載荷P忽然去除所引起的響應(yīng)。解：在習(xí)題4-8中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為"0.21490.50490.8361Im 00 0.49270.68480.5390，M =0 m 00.84320.52780.1017i0 0m11A-31FVIFtEJiTO

27、 題4-8圖當(dāng)作用于第三層樓水平方向的靜載荷 于受到了初始條件的激勵(lì)，P忽然去除時(shí)，相當(dāng)2 15，x o = |oil0_i3Phx o ''44 EJ正則坐標(biāo)初始條件為"12.168 |o-1.379T，x N (0) = A N M x0 =0. 0.099 _1Ph 3、m0144 EJ正則坐標(biāo)的響應(yīng)為Ph 、mX N '144 EJ12.168 cos Pit 一1.379 cos P2t 0.099 cos p3t由 x =A N)x N1-A (n2)x N2 - A N3)x N3，展開(kāi)得到83Ph144 EJ其中p1979EJmh 3.55 .

28、07VEJmh3EJmh 32.616 cos pj 0.702 cos p2t 0.083 cos p3t5.999 cos pj 0.938 cos p2t 0.053 cos p3t10.258 cos 卩勺t + 0.727 cos p2t + 0.010 cos p3t0#0#4-13假定一個(gè)水平向右作用的斜坡力Rt施加與題4-5中中間擺的質(zhì)量上，試確定系統(tǒng)的響應(yīng)。解：在習(xí)題4-10中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為-21一 6ml20ml0題4-5圖00ml 2200由題意，施加的作用力為=2Rtl將作用力變換到正則坐標(biāo):TRt=A N fml.302，6由方程（2-28）

29、得到對(duì)于斜坡力的卷積積分,i個(gè)正則坐標(biāo)的響應(yīng):NiqNi (t2 pi1sin pit) pi用正則坐標(biāo)表示的位移矢量1t - sinP101t sinP3由二二A NN，展開(kāi)得到1(t-P111卩1七)2P31P1sin(t-P3sinP3t)11212 (t -sinP1t)+ 2(t-sinP3t)P1P1P3P31111(t-sinPJ)2(t-sinP3t)kp1P1P3P3R3ml其中4-14試確定題4-7的系統(tǒng)對(duì)作用于質(zhì)量mi和質(zhì)量m4上的階躍力Fi=F4=F的響應(yīng)。085解：在習(xí)題4-11中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為-0.5000 0.65730.5000-0.2

30、706 m000 110.5000 0.2706-0.50000.65330m00A N = ，M =NJm0.50000.2706-0.5000-0.653300m0I0.50000.65330.50000.27061I000m由題意，施加的作用力為將作用力變換到正則坐標(biāo):用正則坐標(biāo)表示的位移矢量2L212P30(1 一 COS P3t)0#由X =A N X N，展開(kāi)得到丫42t+F4X =2mt42t+412 (1 - cos2 P312 (1 -cos2 P312 (1 - cos2 P312 (1 - cos2 P3P3t)P3t)P3t)P3t)4-15在題4-8的三層樓建筑中，假

31、定地面的水平運(yùn)動(dòng)加速度xs二a sin ，t，試求各層樓板相對(duì)于地面的穩(wěn)態(tài)水平強(qiáng)迫振動(dòng)。解：在習(xí)題4-12中已求得系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣分 別為"0.2149-0.50490.83611_m000.4927-0.6848-0.5390，M =0m00.84320.52780.1017一00m1=.m由題意，施加的作用力為-masin t-masin ，tsin t將作用力變換到正則坐標(biāo):1.5510 ma sin ，tNS 0.6604 ma sin t用正則坐標(biāo)表示的位移矢量一0.3988 ma sin 國(guó) t1.5510-ma si n t0.66040.39882 2 3

32、p-2 3p87由X A N x *Nr ,展開(kāi)得到0.3335=_ a sin t 0.76421.30800.3334 Pi0.4511 Pi-4 -0.3484PiP22P2罠2P22P22P332P3P32P30.3334-0.21500.0407P31其中：i, (i =1,2,3) ; p1CO 21-()Pi；9.979 JJ_ ,p2mh.55.07EJ3 mh151EJ3mh的滑塊用兩個(gè)剛度分別為k1及k2的彈簧連接在基礎(chǔ)上，滑塊上有質(zhì) 量為m1、擺長(zhǎng)為l的單擺，假設(shè) m1=m2=m及k1=k2=k，4-16質(zhì)量為m1基礎(chǔ)作水平方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)X=a s i n t ，其中，試

33、求：（1）單擺的最大擺角-max ； （ 2）系統(tǒng)的共振頻率。解：如圖所示選擇廣義坐標(biāo)。利用質(zhì)量影響系數(shù)法求質(zhì)量矩陣,設(shè)x =1 - 0，畫(huà)慣性力及mu , m?1由平衡條件得到,m11 = 2m， m21 = ml。設(shè)x =0,二=1，畫(huà)慣性力及m12 , m22利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣由平衡條件得到,2m12 = ml ， m22 = ml 。設(shè) x = 1, d =0 ，畫(huà)出受力圖,并施加物塊力k11 ' k 21列平衡方程，得到畫(huà)出受力圖,k11 = 2 k ，k21 = 0并施加物塊力k125 k22列平衡方程，得到k12- 0 ， k22= mgl#得作用力方程為#!m

34、 mlml ml 20mgl2ka0sin CO t#isin國(guó)t為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，代入上式得, Q丿89#展開(kāi)為0 1mgl-.22mmlml2 mlBj f2ka )B2I0丿#2(2 k -2m )Bt - ml，B2 = 2ka2 2 2ml B1 (mgl ml JB?二 0#代入可得到B22a。穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)有d(t)二日max2al由頻率方程#=022k - 2 p m2mlp-mlp2mglp ml#2)2 =0，解出頻率為展開(kāi)為(2 k 2mp 2)( mgl ml 2 p2) (mlp#g、2，P2g m-(g>2 k 22 ( )2m#7k一 k-2k"kk0題4-

35、17圖. 2k03k0K =系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為，M4m0即為共振頻率。4-17題4-17圖示的系統(tǒng)中，各個(gè)質(zhì)量只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，假設(shè)在質(zhì)量4m上作用 有鉛垂力P。COS .t，試求：各個(gè)質(zhì)量的強(qiáng)迫振動(dòng)振幅;統(tǒng)的共振頻率。解：如圖選擇廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度 矩陣為，#由頻率方程K - p2M =0，得27 k - 4mpk-2k-kk mp0-2k0 = 023k -2mp解得,p. 0.590 k ,mP2 ="211 , b mP3 = . 2.449m由特征矩陣B =K - p2M的伴隨矩陣的第一列,_(k(i)adj B 二并分別代入頻率值，得系統(tǒng)的主振型矩陣為2

36、2 - -mp )(3k - 2mp )2k (3k 2mp )22k ( - mp )1.0001.0001.000A =2.4394.7420.6901.1043.4621.087刁 2 .386 m00 1050 .452 m0006.839 m主質(zhì)量振型為 M P = A T MA1正則振型的第i列為A N)A，由此得到正則振型振型為Jm iN10.2820.693-0.3140.141-0.6690.4880.382-0.264-0.41591#正則坐標(biāo)表示的微分方程- 2p100 1X N +02P20x n = q n002P3由題意，施加的作用力為將作用力變換到正則坐標(biāo):TPo

37、0.284q n = A N f = <0.141C0SK>t <m 0.382#用正則坐標(biāo)表示的位移矢量#X NPo0.284 Pn0.141 為,0.382COS co t#中1 'B2 cos cot<B* 3 J即:、/ 、-k-2 kB!P02k -co m0B2=0203k -灼 2m y厲丿1°7k -CO24m_k-2 k其中- At , (i = 1,2,3)。Pi 一尬由X二A N X N，展開(kāi)得到0.081 斷,+0.020 曳1 +0.146 031 、 PX= 0.197 貝,一0.094 021 0.101 P31 coscot m (0.089 優(yōu),+0.069 21 -0.159 P31 可用直接方法求解：列出運(yùn)動(dòng)方程,z4m00、廣7k-k-2k、'b、0m0x；