第二章自測題答案

1、湖北民族7院理學(xué)院數(shù)值計算方法教學(xué)輔導(dǎo)材料陳以平編寫#湖北民族7院理學(xué)院數(shù)值計算方法教學(xué)輔導(dǎo)材料陳以平編寫第二章自測題答案1. 設(shè)/(Q可微，則求解方程x=f(x)的牛頓迭代格式是心-心)1 一廣(心)2. 用二分法求非線性方程/=0在區(qū)間,歷內(nèi)的根，則二分“次后的誤差限為答案:“+13. 設(shè)函數(shù)幾丫)在區(qū)間。上上連續(xù)，若滿足,則方程用)=0在區(qū)間力一定有實根.答案：./©)Ab)vO解答：因為幾0在區(qū)間o,b上連續(xù)，在兩端點函數(shù)值異號，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必 存在c,使得幾。)=0故f(x)=0 定有根.4. 用二分法求方程/(x) = x3 + x-l = 0在區(qū)間0, 1內(nèi)的

2、根，進行一步后根的所在區(qū)間 為,進行兩步后根的所在區(qū)間為 .答案：0.5,1,0.5,0.75；5. 用迭代法求方程加)=0的實根，把方程金)=0改寫成A-(p(.r),則.©)=0的根是()(A)尸x與尸<p(x)的交點(B)尸x與)=(p交點的橫坐標(biāo)(C) )=.¥與X掃的交點的橫坐標(biāo)(D)尸呎丫)與A軸交點的橫坐標(biāo)答案：(B)解答：把y(X)=0表成4(p(x),滿足x=(p(x)的X是方程的解，它正是v=x與)=<p(x)的交點 的橫坐標(biāo).6. 牛頓法是用曲線張)上的與x軸的交點的橫坐標(biāo)逐步逼近幾丫)=0的解,而弦截法是用曲線冗。上的與X軸的交點的橫坐標(biāo)

3、逐步逼近Av)=0的解.答案：點的切線；兩點的連線7. 因方W)=x-4+2l=C在區(qū)間1,2上滿足,所以/匕)=0在區(qū)間1,2內(nèi)有根.若將方程改寫為x=4-2則迭代函數(shù)諷0=4-2*，乂因為，故迭代公式(收斂，不收斂，二選一).答案:/0)<0,/(2)>0 : |/(x)|=|-2xln2|>21n2«1.3863>l；不收斂8. 為求方程卩-/-1 = 0在心=1.5附近的一個根，設(shè)將方程改寫成下列等價形式，并 建立相應(yīng)的迭代公式，試分析每種迭代公式的收斂性.1）兀=1+%2,迭彳弋公式忑4=1 + %；2）,? = l+x2,迭代公式忑乜=/ +3）X

4、2 = ,迭代公式盡* = 打兀TX-1解:vl.43-1.42-1 =-0.216 <0, 1.53-1.52-1 = 0.125 >0 1.4丄5為有根區(qū)間。1)A = 1 + 1/X3,勿 x) =l + l/x|0卜-p-召0.7X3湖北民族7院理學(xué)院數(shù)值計算方法教學(xué)輔導(dǎo)材料陳以平編寫#湖北民族7院理學(xué)院數(shù)值計算方法教學(xué)輔導(dǎo)材料陳以平編寫迭代公式耳+i =1 + 1/彳收斂。 2 22)P =l + x2, 久 Q = yjl + x2, (p (x)| = i(l+.v2) 5x2x < 2：二 / (I+ 1.0) 了 « 0.63 <10(兀)-

5、扣-1）峙34>12迭代公式+ =收斂。3).=,久 i)=.X-ly/x-1迭代公式如發(fā)散。lxk -19.方程a-3 + 2x2+10.v-20 = 0在x = l附近有根，試建立收斂的簡單迭代格式. 解:令/(x) = ? + 2x2+10x-20,則 /(1) =-7 <0,/(1.5) = 2.8750 >0 ,乂當(dāng)xel,1.5時,/V)>0,故方程在1,1.5上存在唯一根.將原方程改為20A°匕 + 2X + 10則迭代函數(shù)20做丫)-AT + 2X + 10因為1 八 I40X+40/40x1.5 + 40(0 = T < T VI, X

6、 w 1J.511 (F + 2x + 10)2(1.5- + 2X1.5 + 10)-故迭代格式和2 + 2心0收斂.10. 構(gòu)造求方程”+10x-2 = 0的根的迭代格式陥廠俠心）, =0丄,2廠，并討論收斂性.解：將方程fM = 0變形為x = (2-ev),得迭代格式x/r+1=(2-er")因?qū)?W = er +10X-2,成立/(0)= -1 <0,/(1)= 8 + e>0XG 0J11又當(dāng)吋，.v) = (2-er), |(x)|=且廠(x) = er+10>0對Vxw(-s, + s)成立,故/(x) = 0在0, 1內(nèi)有唯一實根. ".

7、e t <<110 10故迭代格式 S廠2（2-“"）收斂.11. 給定方程/(x) = (x-l)er-l = O1) 分析該方程存在兒個根：2) 用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字:3) 說明所用的迭代格式是收斂的.解：1)將方程(x-l)ev-l = O(1)改寫為x -1= ev(2)作函數(shù) fi(x) = x-lt /2(x)=e-"的圖形(略)，知(2)有唯一根 X* e (1,2).2)將方程(2)改寫為x = l + e-xx =i+e心構(gòu)造迭代格式(k = 0X2,-)l/o =1.5計算結(jié)果列表如下:k1234567891.223131.

8、294311.274091 279691.278121.278561.278441.278471 278463)因(p(x) = 1+ e v, 0(x) = -e'A當(dāng) xel,2時，w(x)g0(2),/(1)u1,2,且|(px) < e_1 < 1 所以迭代格式耳+1"(忑)伙= 0X2, )對任意x0 eU均收斂.12.解:試構(gòu)造迭代收斂的公式求解下列方程：cos x+ sin xx=4 迭代公式和=竺土也4ra ,、 cosx+sinx |因勿 x)=4，9°)卜(1)(1)(2) x=4-2r.-sinx+ cosx4令戶，故公式收斂.5湖

9、北民族7院理學(xué)院數(shù)值計算方法教學(xué)輔導(dǎo)材料陳以平編寫(2)設(shè)f(x)=x-4 + 2則/<OJ>0,故有根區(qū)間為1, 2. 因 久。=4 - 2*, |0(x)| = |-2 vln2|> 21112 «1.36829 > 1 故不能用和=4-2“來迭代求解.若將原方程改寫為 x= ln(4-x)/In 2,此時(p(x) = ln(4 -a)/In 2,-1 14-x 11121 1 1<< 14-2 111221112故可用迭代公式忑* =來求解111213. 已知x =(p(x)在區(qū)間a,b內(nèi)只有一根，而當(dāng)avxvb時，|0(小|*>1,

10、試問如何將 X二僅X)化為適丁迭代的形式？試將2®化為適丁迭代的形式，并求a = 4.5 (弧 度)附近的根.解：由反函數(shù)微分法則有 (0一】(兀),= 卩故當(dāng) |(x)|>* >1 時，有 |(0 】(/)'卜若將X =(p(x)改寫為x=(Px)則迭代格式母+1 = 01(忑)伙= 0,1,)是收斂的.為求方程“/gx在x=4.5 (弧度)附近的根，改寫方程為：x = 7T + arclgx 得迭代格式：+ arctxk用搜索法知在4.45,4.50內(nèi)有根，取勺=4.45迭代，x= 4.49341.14. 證明計算心(°0)的牛頓法迭代公式為：和=*

11、(斗+邑)/ = 0,，并用它求VIZ Xn的近似值(迭代1步求出州即可)解(1)因計算需等于求x2-n = 0的正根，令f(x) = x2-at則fx) = lx 代入牛頓法迭代公式得二扣+丄)2 百7湖北民族7院理學(xué)院數(shù)值計算方法教學(xué)輔導(dǎo)材料陳以平編寫(2)設(shè) f(x) = x2-29 因 /a)= l2-2 = -l<0, /(1.5) = 1.52-2>0 所以 x* = >/2 g1J.5在1丄5上 f'(x) = 2x>0t r(x) = 2>0由 /(15)/”(15)>0,取心=1.51217用(1)導(dǎo)出的迭代公式計算得i=tCv0+

12、 ) = « 1416715. 應(yīng)用牛頓法于方程x" - d = 0(a>0),試導(dǎo)出求x=a的迭代公式解:令f(x,則"亦為方程f(x) = xn-a = Q的根，且f 5 = nx"'故求x=i的牛頓迭代格式為X"二耳-二f =(1-丄)耳+_篡.nxkn nxk因為/(0) = -r/<0 ,由/的連續(xù)性知，在0點的鄰域內(nèi)存在一點xL>0,使 /(丫厶)<0,又取心=(1 + °),則 /()>0 .在氐心上，/ (x) =0 , /"(X)= /(«-i)r-3不變號，

13、取初始值心滿足/(心)廠(心)>0,則牛頓迭代序列收 斂于f(x) = xn-a的根，即“訴16.解:牛頓迭代格式為:建立利用方程x3-c=0求近(c > 0)的Newt on迭代格式，并討論算法的收斂性.因為/(0)=-c<0 ,由f(x)的連續(xù)性知，在0點的鄰域內(nèi)存在一點址>0,f(xL)<0 ,又取心=1 + 00,則 f(xK)>0 .在氏,心上，/r(x) = 3x2 >0 , /'(.v) = 6x>0,不變號,取初始值必滿足/(x0)y(x0) > 0,則上述牛頓迭代序列收斂于f(x)=x3-c = 0的根.8湖北民族

14、7院理學(xué)院數(shù)值計算方法教學(xué)輔導(dǎo)材料陳以平編寫17-建立利用方程一十。求必 >。)的New迭代格式，并討論算法的收斂性.解：牛頓迭代格式為：無乜=無-心)廣(心)#湖北民族7院理學(xué)院數(shù)值計算方法教學(xué)輔導(dǎo)材料陳以平編寫#湖北民族7院理學(xué)院數(shù)值計算方法教學(xué)輔導(dǎo)材料陳以平編寫令/*(x) = x-tr，因為當(dāng) x>0 時，廣(x) = l + 40,所以廠(c) = l+p = O TXC故上述Newton迭代產(chǎn)生的迭代序列局部收斂于坯.18. 利用Newton法導(dǎo)出求下列各式值的迭代格式：(1) ；，不使用除法運算；b(2) 亦，不使用開方運算；(3) 1/麗不使用開方和除法運算.解：令

15、/W =丄-b,方程f(x) = 0的根就是1/b.X又f (a) = -x-2,因此求/(X)= 0的根的Newton格式為心+i = -r=xk + 忑一加；=2無一加； 因f(x) = x2 -b = 0的根就是麗，而f '(x) = 2xy b b所以求/W = 0根的Newton迭代格式為兀沖=心-=-(+)2無2血(3) 方程/(x) = 4- = 0 的根就是21/少，而 f '(x) = -2x-3因此求/(X) = 0的根的Newton格式為:19. 寫出求解方程/(X)= -1 = 0的Newton迭代格式,并判斷以下情形的收斂性. X(1) 心>2

16、或心 <0；(2) Xq = 2sJcr0 = 0 ；(3) 0 < x0 < 2 .±-1解：牛頓迭代格式為：無+1 =無-f)= xk = 2xk -卅伙=0,2,)廣(忑)_2_xk由上述格式得 1 - 忑乜=1 - lxk + xf = (1- xj3 = = (1- .¥0)2* (k = 0J,2,)即Xk = U _ xq )' 1（1）當(dāng) x0 2 £?Jcv0 0 時，limQ-x。）丁故迭代序列g(shù) 不收斂：A-»oo（2）當(dāng)心=2或r。= 0時，|l-x0 |=1, ihnxk =0 ,迭代序列xj收斂,但不收斂于人一8方程的解；（3）當(dāng) 0旺2 時，|1- x0 |1,從而山11（1一旺）'=0 , lim x. = 1,迭代序列無火一8VT8收斂，且收斂于方程的解.20. 寫出用弦截法求方程PH 1=0在x=1.5附近的根的迭代公式. 解 設(shè)心）=.卩_”_1,因為/= _1VO, /（2）=30,所以1，2為兀0=0的有根區(qū)間.