《中考課件初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》專(zhuān)題17 等腰、等邊三角形問(wèn)題（解析版）

1、專(zhuān)題17 等腰、等邊三角形問(wèn)題 專(zhuān)題知識(shí)回顧 一、等腰三角形1. 定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角.2.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)互相重合（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一”）3.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)性質(zhì)2用來(lái)證明線(xiàn)段相等，角相等，垂直關(guān)系等4.等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線(xiàn)或底邊上的中線(xiàn)）所在直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸，通常情況只有一條對(duì)稱(chēng)軸5.等腰三角

2、形的判定如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)旱妊切蔚呐卸ㄊ亲C明兩條線(xiàn)段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.二、等邊三角形1. 定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形2. 性質(zhì)性質(zhì)1：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°；性質(zhì)2：等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，并且有三條對(duì)稱(chēng)軸，分別為三邊的垂直平分線(xiàn)。3.判定（1） 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（2） 有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；（3） 有兩個(gè)角是60°

3、的三角形是等邊三角形。三、含30的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它對(duì)的等于的一半.四、解題方法要領(lǐng)1.等腰（邊）三角形是一個(gè)特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時(shí)幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線(xiàn)，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。2.常用的輔助線(xiàn)有：（1）作頂角的平分線(xiàn)、底邊上的高線(xiàn)、中線(xiàn)。（2）在三角形的中線(xiàn)問(wèn)題上，我們常將中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，這樣添輔助線(xiàn)有助于我們解決有關(guān)中線(xiàn)的問(wèn)題。3.分類(lèi)討論是等腰三角形問(wèn)題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角

4、，要對(duì)已知的邊和角進(jìn)行討論，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)一般是根據(jù)邊是腰還是底來(lái)分類(lèi)。專(zhuān)題典型題考法及解析 【例題1】（2019重慶）如圖，在abc中，abac，d是bc邊上的中點(diǎn)，連結(jié)ad，be平分abc交ac于點(diǎn)e，過(guò)點(diǎn)e作efbc交ab于點(diǎn)f（1）若c36°，求bad的度數(shù)；（2）求證：fbfe【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）abac，cabc，c36°，abc36°，bdcd，abac，adbc，adb90°，bad90°36°54°（2）證明：be平分abc，abecbeabc，efbc，febcbe，fbefeb，fbfe【例題2】

5、（2019黑龍江哈爾濱）如圖，在四邊形abcd中，abad，bcdc，a60°，點(diǎn)e為ad邊上一點(diǎn)，連接bd.ce，ce與bd交于點(diǎn)f，且ceab，若ab8，ce6，則bc的長(zhǎng)為 【答案】2【解析】連接ac交bd于點(diǎn)o，由題意可證ac垂直平分bd，abd是等邊三角形，可得baodao30°，abadbd8，bood4，通過(guò)證明edf是等邊三角形，可得deefdf2，由勾股定理可求oc，bc的長(zhǎng)如圖，連接ac交bd于點(diǎn)oabad，bcdc，a60°，ac垂直平分bd，abd是等邊三角形baodao30°，abadbd8，bood4ceabbaoace30&

6、#176;，cedbad60°daoace30°aece6，deadae2cedadb60°edf是等邊三角形，deefdf2cfceef4，ofoddf2oc2bc2【例題3】（2019黃石）如圖，在abc中，b50°，cdab于點(diǎn)d，bcd和bdc的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)e，f為邊ac的中點(diǎn)，cdcf，則acd+ced（）a125°b145°c175°d190°【答案】c 【解析】根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到cdf是等邊三角形，進(jìn)而得到acd60°，根據(jù)bcd和bdc的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)e，即

7、可得出ced115°，即可得到acd+ced60°+115°175°cdab，f為邊ac的中點(diǎn)，dfaccf，又cdcf，cddfcf，cdf是等邊三角形，acd60°，b50°，bcd+bdc130°，bcd和bdc的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)e，dce+cde65°，ced115°，acd+ced60°+115°175°，故選：c 專(zhuān)題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1.（2019寧夏） 如圖，在abc中，點(diǎn)d和e分別在ab和ac上，且連接de，過(guò)點(diǎn)a的直線(xiàn)gh與de平行，若，則的度數(shù)為（

8、） a b c d 【答案】c【解析】平行線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故本題正確選項(xiàng)為c2.（2019浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的。借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒oa，ob組成，兩根棒在o點(diǎn)相連并可繞o轉(zhuǎn)動(dòng)，c點(diǎn)固定，oc=cd=de，點(diǎn)d，e可在槽中滑動(dòng)，若bde=75°，則cde的度數(shù)是（    ） a. 60°          &#

9、160;                   b. 65°                           c.&#

10、160;75°                                d. 80°【答案】 d 【解析】考點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì) 。 oc=cd=de， o=odc，dce=dec，設(shè)o=odc=x，dce=

11、dec=2x，cde=180°-dce-dec=180°-4x，bde=75°，odc+cde+bde=180°，即x+180°-4x+75°=180°，解得：x=25°，cde=180°-4x=80°.3.（2019湖南長(zhǎng)沙）如圖，rtabc中，c90°，b30°，分別以點(diǎn)a和點(diǎn)b為圓心，大于ab的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于m、n兩點(diǎn)，作直線(xiàn)mn，交bc于點(diǎn)d，連接ad，則cad的度數(shù)是（）a20° b30° c45° d60°【答案】

12、b 【解析】在abc中，b30°，c90°，bac180°bc60°，由作圖可知mn為ab的中垂線(xiàn)，dadb，dabb30°，cadbacdab30°4.（2019湖南長(zhǎng)沙）如圖，abc中，abac10，tana2，beac于點(diǎn)e，d是線(xiàn)段be上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則cd+bd的最小值是（）a2b4c5d10【答案】b 【解析】如圖，作dhab于h，cmab于m由tana2，設(shè)aea，be2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明dhbd，推出cd+bdcd+dh，由垂線(xiàn)段最短即可解決問(wèn)題如圖，作dhab于h，cmab于mbeac，abe90&

13、#176;，tana2，設(shè)aea，be2a，則有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍棄），be2a4，abac，beac，cmac，cmbe4（等腰三角形兩腰上的高相等）dbhabe，bhdbea，sindbh，dhbd，cd+bdcd+dh，cd+dhcm，cd+bd4，cd+bd的最小值為45.（2019湖南邵陽(yáng)）如圖，在rtabc中，bac90°，b36°，ad是斜邊bc上的中線(xiàn)，將acd沿ad對(duì)折，使點(diǎn)c落在點(diǎn)f處，線(xiàn)段df與ab相交于點(diǎn)e，則bed等于（）a120°b108°c72°d36°【答案】b 【解析】根據(jù)三

14、角形內(nèi)角和定理求出c90°b54°由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)得出adbdcd，利用等腰三角形的性質(zhì)求出badb36°，dacc54°，利用三角形內(nèi)角和定理求出adc180°dacc72°再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出adfadc72°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出bedbad+adf108°在rtabc中，bac90°，b36°，c90°b54°ad是斜邊bc上的中線(xiàn)，adbdcd，badb36°，dacc54°，adc180°dacc72°

15、將acd沿ad對(duì)折，使點(diǎn)c落在點(diǎn)f處，adfadc72°，bedbad+adf36°+72°108°二、填空題6.（2019湖南懷化）若等腰三角形的一個(gè)底角為72°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為【答案】36°【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論等腰三角形的一個(gè)底角為72°，等腰三角形的頂角180°72°72°36°7.（2019湖南邵陽(yáng)）如圖，將等邊aob放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)b在第一象限，將等邊aob繞點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到ao

16、b，則點(diǎn)b的坐標(biāo)是【答案】（2，2）【解析】作bhy軸于h，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到ohah2，boa60°，再計(jì)算出bh，從而得到b點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），然后根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)b的坐標(biāo)作bhy軸于h，如圖，oab為等邊三角形，ohah2，boa60°，bhoh2，b點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），等邊aob繞點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到aob，點(diǎn)b的坐標(biāo)是（2，2）故答案為（2，2）8.（2019湖北天門(mén)）如圖，為測(cè)量旗桿ab的高度，在教學(xué)樓一樓點(diǎn)c處測(cè)得旗桿頂部的仰角為60°，在四樓點(diǎn)d處測(cè)得旗桿頂部的仰角為30°，點(diǎn)c與點(diǎn)b在同一

17、水平線(xiàn)上已知cd9.6m，則旗桿ab的高度為 m【答案】14.4【解析】作deab于e，如圖所示：則aed90°，四邊形bcde是矩形，becd9.6m，cdedea90°，adc90°+30°120°，acb60°，acd30°，cad30°acd，adcd9.6m，在rtade中，ade30°，aead4.8m，abae+be4.8m+9.6m14.4m9.（2019貴州畢節(jié)）如圖，以abc的頂點(diǎn)b為圓心，ba長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交bc邊于點(diǎn)d，連接ad若b40°，c36°，則dac的大

18、小為 【答案】34°【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出bac180°bc104°，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得出badadb（180°b）÷270°，進(jìn)而根據(jù)角的和差得出dacbacbad34°b40°，c36°，bac180°bc104°abbdbadadb（180°b）÷270°，dacbacbad34°10. （2019湖北武漢）如圖，在abcd中，e.f是對(duì)角線(xiàn)ac上兩點(diǎn)，aeefcd，adf90°，bcd63°，則ade的

19、大小為 【答案】21°【解析】設(shè)adex，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形得出daeadex，deafaeef，得出decd，證出dcedec2x，由平行四邊形的性質(zhì)得出dcebcdbca63°x，得出方程，解方程即可設(shè)adex，aeef，adf90°，daeadex，deafaeef，aeefcd，decd，dcedec2x，四邊形abcd是平行四邊形，adbc，daebcax，dcebcdbca63°x，2x63°x，解得：x21°，即ade21°11.(2019黑龍江綏化)如圖,在abc中,abac,點(diǎn)d在ac上,且bd

20、bcad,則a_度.【答案】16【解析】bdad,設(shè)aabdx,bdc2x,bdbc,cbdc2x,abac,abcc2x,x+2x+2x180°,x36°.三、解答題12.（2019湖北孝感）如圖，已知cd90°，bc與ad交于點(diǎn)e，acbd，求證：aebe【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥坑蒱l證明rtacbrtbda得出abcbad，由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論證明：cd90°，acb和bda是直角三角形，在rtacb和rtbda中，ab=baac=bd，rtacbrtbda（hl），abcbad，aebe13.（2019杭州）如圖，在abc中，aca

21、bbc（1）已知線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)與bc邊交于點(diǎn)p，連接ap，求證：apc2b（2）以點(diǎn)b為圓心，線(xiàn)段ab的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與bc邊交于點(diǎn)q，連接aq若aqc3b，求b的度數(shù)【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）證明：線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)與bc邊交于點(diǎn)p，papb，bbap，apcb+bap，apc2b；（2）根據(jù)題意可知babq，baqbqa，aqc3b，aqcb+baq，bqa2b，baq+bqa+b180°，5b180°，b36°14（2019重慶）如圖，在abc中，abac，adbc于點(diǎn)d（1）若c42°，求bad的度數(shù)；（2）若點(diǎn)e在邊ab上，efac

22、交ad的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)f求證：aefe【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）abac，adbc于點(diǎn)d，badcad，adc90°，又c42°，badcad90°42°48°；（2）abac，adbc于點(diǎn)d，badcad，efac，fcad，badf，aefe15（2019南岸區(qū)）如圖，直線(xiàn)abcd，acd的平分線(xiàn)ce交ab于點(diǎn)f，afe的平分線(xiàn)交ca延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)g（1）證明：acaf；（2）若fcd30°，求g的大小【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）證明：acd的平分線(xiàn)ce交ab于點(diǎn)f，acfdcf，abcd，afcdcf，acfafc，acaf；（2

23、）解：fcd30°，abcd，acdgaf60°，afc30°，afe的平分線(xiàn)交ca延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)g75°，g180°gafafg180°60°75°45°16（2019攀枝花）如圖，在abc中，cd是ab邊上的高，be是ac邊上的中線(xiàn)，且bdce求證：（1）點(diǎn)d在be的垂直平分線(xiàn)上；（2）bec3abe【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）連接de，cd是ab邊上的高，adcbdc90°，be是ac邊上的中線(xiàn)，aece，dece，bdce，bdde，點(diǎn)d在be的垂直平分線(xiàn)上；（2）deae，aade，ad

24、edbe+deb，bdde，dbedeb，aade2abe，beca+abe，bec3abe17.（2019湖北十堰）如圖，abc中，abac，以ac為直徑的o交bc于點(diǎn)d，點(diǎn)e為c延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且cdebac（1）求證：de是o的切線(xiàn)；（2）若ab3bd，ce2，求o的半徑【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥勘绢}考查了圓的切線(xiàn)的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形或等腰三角形（1）如圖，連接od，ad，ac是直徑，adc90°，adbc，abac，cadbadbac，cdebaccdecad，oaod，cadado，ado+odc

25、90°，odc+cde90°ode90°又od是o的半徑de是o的切線(xiàn)；（2）解：abac，adbc，bdcd，ab3bd，ac3dc，設(shè)dcx，則ac3x，ad2x，cdecad，decaed，cdedae，即de4，x，ac3x14，o的半徑為718.（2019甘肅武威）如圖，在abc中，abac，bac120°，點(diǎn)d在bc邊上，d經(jīng)過(guò)點(diǎn)a和點(diǎn)b且與bc邊相交于點(diǎn)e（1）求證：ac是d的切線(xiàn)；（2）若ce2，求d的半徑【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥窟B接ad，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到bc30°，badb30°，求得adc60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到dac180°60°30°90°，于是得到ac是d的切線(xiàn)；連接ae，推出ade是等邊三角形，得到aede，aed60°，求得eacaedc30°，得到aece2，于是得到結(jié)論（1）證明：連接ad，abac，bac120°，bc30°，adbd，badb30°，adc60°，dac180°60°30°90°，ac是d的切線(xiàn)；（2）解：連接ae，adde，