2022年2022年《常微分方程》期末模擬試題

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品資料歡迎下載常微分方程模擬練習(xí)題及參考答案一.填空題（每個(gè)空格4 分,共 80 分）1.n 階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好為n個(gè)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.一階微分方程dydx2 x 的通解為yx2c （ c為任意常數(shù)）,方程與通過(guò)點(diǎn)（2, 3）的特解為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載yx21,與直線y=2x+3 相切的解為yx24,滿意條件3ydx03 的解為yx22；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.李普希茲條件為保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的必要條件；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

2、- 歡迎下載dy4.對(duì)方程dx xy2 作變換uxy,可將其化為變量可分別方程,其通解為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ytan xc x；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dy5.方程dx1y 2過(guò)點(diǎn) 2、 1共有很多個(gè)解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載''2x4x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6.方程 yx1的通解為yc1xc2122,滿意初始條件y |x 12、 y |x 35 的特解為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x4x219yx；12264精品學(xué)習(xí)

3、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dy7.方程dxyxx無(wú)奇解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8.微分方程d 2 ydydx 2dx6 y0 可化為一階線性微分方程組dyz dx；dzz6 y dx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dy9.方程dxy 的奇解為y=0；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10.d 3 ydy2x53 為 3階常微分方程；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dx311.方程dx

4、dyx2dxy2 滿意解得存在唯獨(dú)性定理?xiàng)l件的區(qū)域?yàn)閤oy平面；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12.微分方程dyz dxd 2 ydy245ydxdx；0 通解為5 xyc1exc2e,該方程可化為一階線性微分方程組精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dz4z5 y dx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13.二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y1 x、 y2 x成為其基本解組的充要條件為線性無(wú)關(guān)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料

5、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13dxe 2 t3e5t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載14.設(shè) a,就線性微分方程組42dtax 有基解矩陣te 2t；4e5t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.解方程（每個(gè)小題8 分,共 120 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 . x2 ydxxdy0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dyy答案：方程化為12dxx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令 yxu ,就 dydxduduux,代入上式,得x1u dxdx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

6、資料 - - - 歡迎下載分別變量,積分,通解為ucx1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 原方程通解為ycx 2x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dx2.dt dydtx y4 xy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11答案：特點(diǎn)方程為ae410 即223 0 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載特點(diǎn)根為13 ,21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載131a10a11對(duì)應(yīng)特點(diǎn)向量應(yīng)滿意可確定出413b10b12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

7、- - 歡迎下載同樣可算出2a211 對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量為b22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xe3te t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 原方程組的通解為yc12e3 tc2；2e t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dy2x3.3 ye dx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案：齊次方程的通解為yce 3 x3x15 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令非齊次方程的特解為ycxec xec 5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載代入原方程,確定出原方程的通解為yce3x + 15e2 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

8、- - - 歡迎下載4 . dydx2 x y ；精品資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dy答案：2 x ydx為一個(gè)變量分別方程精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變量分別得2 y dy2x dx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載兩邊同時(shí)積分得2 y2 xc （其中 c 為任意常數(shù)）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dyyxy5.edxxdyxexyy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答

9、案：dxxdye xyxexyxyydxxxdyydxxexy dx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dxyxexy dxdxyxyxdx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載積分：e xye1 x22c故通解為：1 x 22e xyc0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6.yx x2y 2 dxxdy0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案：ydxxdyx x 2y 2 dx0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載兩邊同除以x2y2 得ydx x 2

10、xdy y2xdx0 ,即xd arctg y1 dx20 ,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故原方程的解為arctgxy1 x2c2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dx7.dt dydt2 x4 y.5 x3 y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案：方程組的特點(diǎn)方程為24ae053精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 23450 ,即25140特點(diǎn)根為17 ,22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì)應(yīng)特點(diǎn)向量應(yīng)滿意274a1537b1

11、0a41,可得0b15精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a21同樣可算出22 時(shí),對(duì)應(yīng)特點(diǎn)向量為b21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 原方程組的通解為y4e7tc15e7te 2tc2e 2t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8. xxsin tcos2t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案：線性方程xx0 的特點(diǎn)方程210 故特點(diǎn)根i精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f1t

12、 sin ti為特點(diǎn)單根,1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載原方程有特解xt acostb sint 代入原方程a=-b=02精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f2 t cos2t2i不為特點(diǎn)根,1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載原方程有特解xacos2tb sin 2t 代入原方程ab=03精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以原方程的解為xc costcsin t1 t cost11223cos2t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9. 2 x2 y1dx xy 2 dy0精品學(xué)習(xí)

13、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dy2xy1dzdy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案：,令 z=x+y ,就1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dxdz1 dx xy2 z1z 22z1、z2dxdx1z2 dzdx z1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 z+3ln|z+1|=x+c1 , ln| z1|3 =x+z+ c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 xy1 3ce2 x y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10.d

14、2 xdxdt 2dtx0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案：所給方程為二階常系數(shù)齊線性方程；其特點(diǎn)方程為210精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載特點(diǎn)根為113 i ,22213 i22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載213131精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 方程的通解為xi t22i t2233t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c1ec2ec1 costc2 sin22t e精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dy11.dxxy1x y 23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

15、料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答案： x-y+1dx-x+y 2 +3dy=0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xdx-ydx+xdy+dx-y2 dy-3dy=0 即1 d x 2 -dxy+dx-21 dy 3 -3dy=03精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 1 x 22xyx1 y 33yc3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三.證明題（共160 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.（ 12 分）證明假如（ t）為x /ax 滿

16、意初始條件t 0 的解,那么tea tt0 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明： 設(shè)t的形式為t= e at c（ 1）（c 為待定的常向量）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就由初始條件得t0 = e at0 c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 eat0 1 = eat 0所 以 c=eat 0 1= e at 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載代入（

17、 1）得t = eat eat 0ea tt 0 即命題得證；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.（ 12 分）設(shè) x在區(qū)間 、 上連續(xù)試證明方程dydx x siny的全部解的存在區(qū)間必為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載、 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明： 由已知條件,該方程在整個(gè)xoy 平面上滿意解的存在唯獨(dú)及解的延展定理?xiàng)l件；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載明顯 y1 為方程的兩個(gè)常數(shù)解；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載任取初值 x0 、 y0 ,其中 x0、 、y

18、01 ；記過(guò)該點(diǎn)的解為yyx ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由上面分析可知,一方面yyx可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)限延展；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載另一方面又上方不能穿過(guò)y1 ,下方不能穿過(guò)y1 ,否就與惟一性沖突；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故該解的存在區(qū)間必為、 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.（ 12 分）設(shè)y1 x ,y2 x為方程 yp x yq x y0 的解,且滿意y1 x0 = y2 x0 =0,y1 x0 ,精品學(xué)習(xí)

19、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這里 p x、q x 在 、 上連續(xù),x0、 試證明：存在常數(shù)c 使得y2 x=c y1 x 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明： 設(shè)y1 x ,y2 x為方程的兩個(gè)解,就它們?cè)凇?上有定義,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其朗斯基行列式為w xy1 xy1 xy2 xy2 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由已知條件,得w x0

20、y1 x0 y1 x0 y2 x0 y2 x0 0y1 x0 00y2 x0 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故這兩個(gè)解為線性相關(guān)的；由線性相關(guān)定義,存在不全為零的常數(shù)1, 2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載使得1 y1 x2 y2 x0 , x、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 y1 x0 ,可知20 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

21、載否就,如20 ,就有1 y1 x0 ,而y1 x0 ,就10 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這與 y1 x ,y2 x線性相關(guān)沖突故y2 xy1 x12cy1 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4.（ 12 分）表達(dá)一階微分方程的解的存在唯獨(dú)性定理的內(nèi)容,并給出唯獨(dú)性的證明；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理： 設(shè) r :| xx0 |a、|y y0 |b .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）f x、y 在 r 上連續(xù),精品學(xué)習(xí)資料精

22、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）f x、y 在 r 上關(guān)于 y 滿意利普希茨條件：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載l0、x、 y1 、 x、 y2 dyf x、 yr ,總有| f x、 y1 f x、y2 |l | y1y2 | .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就初值問(wèn)題dxy x0 存在唯獨(dú)的解yy0 x,定義于區(qū)間| xx0 |h 上,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載連續(xù)且滿意初值條件 x y ,這里

23、 hmin a、 b 、 mmax |f x、 y | .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載00m x、 y r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載唯獨(dú)性：設(shè) x 為積分方程在區(qū)間 x0h、 x0h 上的解,就 x x .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明： xy0xf 、d,x0n xy0xf 、x0n 1 d, n1、2、.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載第一估量xx0 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

24、- - 歡迎下載x|0 x x |x0f 、 | dm xx0 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x|1 x x |x0f 、0 f 、 | d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xxl| | dlmx dml xx 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x00ml nx002.0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) | xx |xxn 1 成立,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n0n1.xxn 1ml精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

25、迎下載|x x | f 、f 、 | d| | dxx n 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xn 1n0nx0n02.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ml nn 1ml nn 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這就證明白對(duì)任意的n ,總成立估量式：|n x x |xx0 h.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 n1. n1.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因此, n x一樣收斂于 x ,由極限的唯獨(dú)性,必有x x、 x x0h、 x0h .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

26、 - - - 歡迎下載5.（ 10 分）求解方程組dxx dtdyxdty1的奇點(diǎn),并判定奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)固性；y5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xy10x2解： 令,得,即奇點(diǎn)為（2, -3 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xy50x x2y3dxxy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令,代入原方程組得dt,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y y3dyxydt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11由于21110 ,又由11220 ,1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

27、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得12 ,22 為兩個(gè)相異的實(shí)根,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以奇點(diǎn)為不穩(wěn)固鞍點(diǎn),零解不穩(wěn)固；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6.（ 12 分）求方程組dx3 xy dt1滿意初始條件01的解 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dy3y1dt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： 方程組的特點(diǎn)方程為31320 ,03精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以特點(diǎn)根為3（二重）,3 t對(duì)應(yīng)齊次方程組的基解矩陣exp ate i a3ete3t1t,01精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

28、- - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載滿意初始條件的特解t3t1t13t1tt3 s1s1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載t exp atexp atexpas f sdseeeds精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0011010010精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載t11t11 e 3tte3t2 e3t1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載e3te3t3333精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1010e3t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7.（ 10 分）假設(shè)m 不為矩陣a 的特點(diǎn)值,試證非

29、齊線性方程組x'axcemt有一解形如tpemt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中 c , p 為常數(shù)向量；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明： 設(shè)方程有形如t pemt 的解,就p 為可以確定出來(lái)的；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品資料歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載事實(shí)上,將pemt 代入方程得mpemtapemtcemt ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 emt0 ,所以 mpapec ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資

30、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 meapc（1）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 m 不為矩陣a 的特點(diǎn)值,det mea0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 mea 1 存在,于為由（1）得 pmea 1 c 存在；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故方程有一解t mea 1 cemtpemt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8.（ 12 分）試求方

31、程組x'21ax 的一個(gè)基解矩陣,并運(yùn)算exp at ,其中 a12.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： pdetea0、 13、23 ,均為單根,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)1 對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量為v1 ,就由 1 eav10 ,得v123,0 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載取 v111,同理可得1 對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量為v2,2323精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就te 3t v 、t

32、e 3t v ,均為方程組的解,1122精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令t 1t、2 t ,又11w0det030 ,2323精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載t 即為所求基解矩陣e 3te3t.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載23 e 3t23 e3t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9（.12 分）試證明：對(duì)任意x0 及滿意條件 0y01 的dyy0 ,方程dxy y1x212 的滿意條件yy x0 y0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

33、下載的解 yy x 在 、 上存在精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y y12 y11x 2y2 y y12 y精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明： f x、 y1x2y 2 , f y x、 y1x2y2 2在全平面上連續(xù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 原方程在全平面上滿意解的存在唯獨(dú)性定理及解的延展定理?xiàng)l件精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又明顯 y0、 y1 為方程的兩個(gè)特解精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載現(xiàn)任取 x0、 , y

34、00、 1 ,記 yy x 為過(guò)x0 、y0 的解,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載那么這個(gè)解可以唯獨(dú)地向平面的邊界無(wú)限延展,又上不能穿越y(tǒng)1 ,下不能穿越y(tǒng)0 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品資料歡迎下載因此它的存在區(qū)間必為、 10.（ 10 分）求平面上過(guò)原點(diǎn)的曲線方程,該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn)1、0 的連線相互垂直.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： 設(shè)曲線方程為yyx ,切點(diǎn)為 x、 y ,切點(diǎn)到點(diǎn)1、0 的連線的斜率為y,x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資

35、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就由題意可得如下初值問(wèn)題：y'y1x1y00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分別變量,積分并整理后可得y2 x12c ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載代入初始條件可得因此得所求曲線為c1, x12y21 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dy11.（ 12 分） 在方程dxf y y 中,已知f y , x 在 、 上連續(xù), 且10 求證：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì)任意x0 和 y01,滿意初值條件y x0 y0 的解y x 的存在區(qū)間必為、 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明： 由已知條件可知,該方程在整個(gè)xoy 平面上滿意解的存在惟一及延展定理?xiàng)l件,又存在常數(shù)解精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載yk、k0、1、2、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn) x0 、y0 ,如 y0k,就過(guò)該點(diǎn)的解為yk,明顯為在 、 上有定義精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 y0k、 就 y0k、 k1