小波分解函數(shù)和重構(gòu)函數(shù)的應(yīng)用和區(qū)別

1、小波分解函數(shù)和重構(gòu)函數(shù)的應(yīng)用和區(qū)別今天把有關(guān)一維小波基本函數(shù)整理了一下，也不知道在理解上是否有偏差。小波分析基本函數(shù)可分為分解和重構(gòu)兩類(lèi)，下面以一維小波分析為例說(shuō)明小波函數(shù)的應(yīng)用和相關(guān)函數(shù)的區(qū)別。1、 一維小波分解函數(shù)和系數(shù)提取函數(shù)對(duì)常用的 dwt、wavedec、appcoef 函數(shù)的常用格式進(jìn)行舉例說(shuō)明。格式：ca, cd=dwt(x, wname ) %單尺度一維離散小波分解c, l=wavedec(x,n, wname ) %多尺度一維小波分解（多分辨分析函數(shù)）ca=appcoef(c,l, wname ,n) %提取一維小波變換低頻系數(shù)說(shuō)明：（1）小波分解函數(shù)和系數(shù)提取函數(shù)的結(jié)果都是

2、分解系數(shù)；（2）如何理解小波系數(shù)：小波系數(shù)是信號(hào)在做小波分解時(shí)所選擇的小波函數(shù)空間的投影。我們知道，一個(gè)信號(hào)可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)，即一組三角函數(shù)之和，而傅里葉變換對(duì)應(yīng)于傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)；同樣， 一個(gè)信號(hào)可以表示為一組小波基函數(shù)之和，小波變換系數(shù)就對(duì)應(yīng)于這組小波基函數(shù)的系數(shù)。（3）多尺度分解是按照多分辨分析理論，分解尺度越大，分解系數(shù)的長(zhǎng)度越?。ㄊ巧弦粋€(gè)尺度的二分之一） 。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)分解得到的小波低頻系數(shù)的變化規(guī)律和原始信號(hào)相似，但要注意低頻系數(shù)的數(shù)值和長(zhǎng)度與原始信號(hào)以及后面重構(gòu)得到的各層信號(hào)是不一樣的。舉例： （為直觀，把運(yùn)行結(jié)果放在相應(yīng)程序段后面）%載入原始信號(hào)load leleccum;

3、s=leleccum(1:3920); ls=length(s); %單尺度一維離散小波分解函數(shù)dwt 的應(yīng)用ca1,cd1=dwt(s,db1); %用小波函數(shù)db1 對(duì)信號(hào) s 進(jìn)行單尺度分解figure(1); subplot(411); plot(s); ylabel(s); title( 原始信號(hào)s及單尺度分解的低頻系數(shù)ca1和高頻系數(shù)cd1); subplot(423); plot(ca1); ylabel(ca1); subplot(424); plot(cd1); ylabel(cd1); （注意 : figure(1) 中的 ca1 和 cd1 的長(zhǎng)度都是1960，是原始信號(hào)

4、s 長(zhǎng)度 3920 的一半。）%多尺度一維小波分解函數(shù)wavedec 的應(yīng)用c,l=wavedec(s,3,db1); %用小波函數(shù)db1 對(duì)信號(hào) s 進(jìn)行 3 尺度分解figure(2); subplot(411); plot(s); title(原始信號(hào) ); ylabel(s); subplot(412); plot(c); title( 信號(hào) s 的 3 尺度分解結(jié)構(gòu)：尺度3 的低頻系數(shù)和尺度3、2、 1 的高頻系數(shù) ); （注意： wavedec 所做的多尺度小波分解后的系數(shù)c 的存儲(chǔ)方式是按caj, cdj,cdj-1, ,cd1方式存放的，各層系數(shù)的長(zhǎng)度在數(shù)組l 中標(biāo)示。figu

5、re(2) 中第二行將系數(shù)c 顯示出來(lái)， 1490段是尺度3 的低頻系數(shù)ca3 （長(zhǎng)度 490） ， 491980 段是尺度3 的高頻系數(shù)cd3 （長(zhǎng)度是490） ，9811960 段是尺度2 的高頻系數(shù)cd2（長(zhǎng)度是 980） ，19613920 段是尺度1 的高頻系數(shù)cd1（長(zhǎng)度是1960） 。 運(yùn)行后最好觀察一下數(shù)組變量c 和 l 的值。 ）%提取一維小波變換低頻系數(shù)函數(shù)appcoef 的應(yīng)用ca1=appcoef(c,l,db1,1); %從前面小波3 尺度分解結(jié)構(gòu) c,l 中提取尺度1 的低頻系數(shù)ca2=appcoef(c,l,db1,2); %從前面小波3 尺度分解結(jié)構(gòu) c,l 中

6、提取尺度2 的低頻系數(shù)ca3=appcoef(c,l,db1,3); %從前面小波3 尺度分解結(jié)構(gòu) c,l 中提取尺度3 的低頻系數(shù)figure(3); subplot(411); plot(s); title(原始信號(hào) ); ylabel(s); subplot(412); plot(ca1); title( 從小波 3 尺度分解結(jié)構(gòu)c,l 中提取尺度1、2、3 的低頻系數(shù) ); ylabel(ca1); subplot(413); plot(ca2); ylabel(ca2); subplot(414); plot(ca3); ylabel(ca3); （注意：figure(3) 中隨尺度

7、增加，低頻系數(shù)長(zhǎng)度減半，可見(jiàn)各層低頻系數(shù)的變化規(guī)律和原始信號(hào)類(lèi)似， 這正好說(shuō)明低頻系數(shù)反映了信號(hào)的輪廓或基本信息。注意觀察各層系數(shù)值和原始信號(hào)值是有很大差距的。）2、 一維小波重構(gòu)函數(shù)對(duì)常用的 idwt 、waverec、 wrcoef 函數(shù)進(jìn)行舉例說(shuō)明。格式：x=idwt(ca,cd, wmane ) %單尺度一維小波逆變換x=waverec(c,l, wname ) %多尺度一維小波重構(gòu)x=wrcoef( type ,c,l, wname ,n) %對(duì)一維小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)說(shuō)明：（1）小波重構(gòu)函數(shù)的結(jié)果都是信號(hào)；（2）不管是用哪個(gè)重構(gòu)函數(shù)對(duì)系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)后，結(jié)果的長(zhǎng)度和原始信號(hào)的長(zhǎng)度是相同

8、的；如果重構(gòu)的是低頻部分，那么觀察得到的結(jié)果x，其數(shù)值大小和原始信號(hào)是差不多的。舉例： （在上面程序的基礎(chǔ)上繼續(xù)）%單尺度一維小波逆變換函數(shù)idwt 的應(yīng)用si1=idwt(ca1,cd1,db1); %基于系數(shù) ca1,cd1，用 idwt 函數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)erros1=s-si1; %求原始信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)si1 的誤差figure(4); subplot(411); plot(s); title(原始信號(hào) ); ylabel(s); subplot(412); plot(si1); title(用 idwt 函數(shù)重構(gòu)信號(hào)); ylabel(si1); subplot(413); plot(

9、erros1); title(小波重構(gòu)誤差); ylabel(erros1); （注意： figure(4) 中重構(gòu)信號(hào)和原始信號(hào)的長(zhǎng)度是一樣的，數(shù)值大小也基本一樣，誤差數(shù)量級(jí)非常低。）% 單尺度一維小波重構(gòu)函數(shù)waverec 的應(yīng)用si2=waverec(c,l,db1); %基于c,l ，用 waverec 函數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)erros2=s-si2; %求原始信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)si2 的誤差figure(5); subplot(411); plot(s); title(原始信號(hào) ); ylabel(s); subplot(412); plot(si2); title(用 waverec 函數(shù)重

10、構(gòu)信號(hào)); ylabel(si2); subplot(413); plot(erros2); title(小波重構(gòu)誤差); ylabel(erros2); （注意：figure(5) 中重構(gòu)信號(hào)和原始信號(hào)的長(zhǎng)度也是一樣的，數(shù)值大小也基本一樣，誤差數(shù)量級(jí)非常低。 ）%對(duì)一維小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)函數(shù)wrcoef 的應(yīng)用a3=wrcoef(a,c,l,db1,3); %基于 c,l ，用 wrcoef 函數(shù)重構(gòu)第3層低頻信號(hào)a2=wrcoef(a,c,l,db1,2); %基于 c,l ，用 wrcoef 函數(shù)重構(gòu)第2層低頻信號(hào)a1=wrcoef(a,c,l,db1,1); %基于 c,l ，用 w

11、rcoef 函數(shù)重構(gòu)第1層低頻信號(hào)d1=wrcoef(d,c,l,db1,1); %基于 c,l ，用 wrcoef 函數(shù)重構(gòu)第1 層高頻信號(hào)si3=a1+d1; %將第 1 層低、高頻重構(gòu)信號(hào)疊加重構(gòu)原始信號(hào)maxe=max(abs(s-si3) erros3=s-si3; %求原始信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)si3 的誤差figure(6); subplot(711); plot(s); title(原始信號(hào) ); ylabel(s); subplot(712); plot(a3); title( 用 wrcoef 函數(shù)重構(gòu)的第3 層低頻信號(hào) ); ylabel(a3); subplot(713); p

12、lot(a2); title( 用 wrcoef 函數(shù)重構(gòu)的第2 層低頻信號(hào) ); ylabel(a2); subplot(714); plot(a1); title( 用 wrcoef 函數(shù)重構(gòu)的第1 層低頻信號(hào) ); ylabel(a1); subplot(715); plot(d1); title(用 wrcoef 函數(shù)重構(gòu)的第1 層高頻信號(hào) ); ylabel(d1); subplot(716); plot(si3); title(a1+d1 重構(gòu)的原始信號(hào)); ylabel(a1+d1); subplot(717); plot(erros3); title(小波重構(gòu)誤差); ylabel