函數(shù)單調性判定與極值問題實用教案

1、解.分析(fnx)：第1頁/共27頁第一頁，共28頁。第2頁/共27頁第二頁，共28頁。解.第3頁/共27頁第三頁，共28頁。解.第4頁/共27頁第四頁，共28頁。4.3-4.4函數(shù)函數(shù)(hnsh)的單調性的單調性與極值與極值第5頁/共27頁第五頁，共28頁。極限的基本性質(xngzh)復習簡證：類似地可以證明 的情形0a 第6頁/共27頁第六頁，共28頁。證：（反證法）與已知條件(tiojin)矛盾。第7頁/共27頁第七頁，共28頁。Oxyab1x2x12xx 當 時，12xx 當 時，一、利用導數(shù)一、利用導數(shù)(do sh)(do sh)的符號判斷單調性的符號判斷單調性第8頁/共27頁第八頁

2、，共28頁。v 定理(dngl)1(函數(shù)單調性的判定法)v 設函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內可導 v (1)如果在(a b)內f (x)0 則f(x)在a b上單調增加 v (2)如果在(a b)內f (x)0 則f(x)在a b上單調減少 此定理不論(bln)對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確.注由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f ()(x2x1) (x10 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f ()(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 這就證明了函數(shù)f(x)在a b上單調增加 證明 只證(1) 在a b上任取兩點x1 x2 (x1x2) LagrangeL

3、agrange定理定理第9頁/共27頁第九頁，共28頁。xf (x)f (x)例1 確定函數(shù) f(x)2x39x212x3 的單調(dndio)區(qū)間 解 這個(zh ge)函數(shù)的定義域為( ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 導數(shù)為零的點為x11, x22 列表分析 函數(shù) f(x) 在區(qū)間( 1和2 )上單調增加(zngji) 在區(qū)間1 2上單調減少 ( 1) (1 2) (2 ) y 2x3 9x2 12x 3 第10頁/共27頁第十頁，共28頁。解.導數(shù)(do sh)為零的點為x10 導數(shù)(do sh)不存在的點為x21, x3-1. 第11頁/共27頁第十一頁，共28頁。證

4、.類似地證明：21ln(1)2xxx第12頁/共27頁第十二頁，共28頁。 (1) 確定函數(shù)的定義域 (2) 求出導數(shù) f (x) (3) 求出 f (x)全部(qunb)零點和不可導點 (4) 判斷或列表判斷 (5) 綜合結論 確定(qudng)函數(shù)單調區(qū)間的步驟第13頁/共27頁第十三頁，共28頁。二、極值二、極值(j zh)(j zh)點與極值點與極值(j zh)(j zh)oxyoxy0 x1x“峰”和“谷”極值(j zh)定義 設函數(shù)(hnsh)y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義. (1)若對該鄰域內任意一點xx0,恒有f(x)f(x0), , 則稱f(x0)為f(x)的極小值極小

5、值,點x0為f(x)的極小值點極小值點；第14頁/共27頁第十四頁，共28頁。函數(shù)(hnsh)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)(hnsh)的極值.極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.極值是函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性概念局部性概念，與最值不同；，與最值不同；極大值可能小于極小值極大值可能小于極小值, ,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值. .注注第15頁/共27頁第十五頁，共28頁。oxyoxy0 x1xoxy第16頁/共27頁第十六頁，共28頁。定理（極值定理（極值(j zh)(j zh)點的必點的必要條件）要條件）設函數(shù) f(x)在點x0的某鄰域(ln y)U內有定義，點x0是f(x) 極值點的必

6、要條件是：或證.第17頁/共27頁第十七頁，共28頁。證完第18頁/共27頁第十八頁，共28頁。問題問題(wnt(wnt)（定理(dngl)）設函數(shù) f(x)在點x0的某鄰域U內有定義，點x0是f(x) 極值點的必要條件是：或這是不一定這是不一定(ydng)(ydng)的！的！例如， 在 點3yx 0 x 第19頁/共27頁第十九頁，共28頁。定理定理(dngl)(dngl)（極值點的充分（極值點的充分條件）條件）充分條件充分條件(chn fn tio jin) I(chn fn tio jin) I第20頁/共27頁第二十頁，共28頁。 求極值求極值(j zh)(j zh)的步的步驟驟: :

7、第21頁/共27頁第二十一頁，共28頁。例例4 4.593)(23的的極極值值求求函函數(shù)數(shù) xxxxf解解列表列表(li (li bio)bio)討論討論極大值極大值極小值極小值第22頁/共27頁第二十二頁，共28頁。例例5 5解解第23頁/共27頁第二十三頁，共28頁。充分條件充分條件(chn fn tio jin) II(chn fn tio jin) II證.由二階導數(shù)以及駐點的定義(dngy)，可知以下(yxi)步驟 略第24頁/共27頁第二十四頁，共28頁。例例6 6解解( )0,fx 令令Mm第25頁/共27頁第二十五頁，共28頁。作業(yè)(zuy)習題(xt)四A組1415（2）16（4）17（3）第26頁/共27頁第二十六頁，共28頁。感謝您的觀看感謝您的觀看(gunkn)(gunkn)！第27頁/共27頁第二十七頁，共28頁。NoImage內容(nirng)總結解.。此定理不論對于開、閉、有限或無窮(wqing)區(qū)間都正確.。解 這個函數(shù)的定義域為( )。導數(shù)為零的點為x11, x22。y2x39x212x3。導數(shù)為零的點為x10。(1) 確