2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(福建卷)文

1、福建數(shù)學試題(文史類)第卷(選擇題共60分)一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2013福建,文1)復(fù)數(shù)z=-1-2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(). a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案:c解析:在復(fù)平面內(nèi),z=-1-2i對應(yīng)點的坐標為(-1,-2),故選c.2.(2013福建,文2)設(shè)點p(x,y),則“x=2且y=-1”是“點p在直線l:x+y-1=0上”的().a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件答案:a解析:點(2,-1)在直線l:x+y-

2、1=0上,而直線l上的點的坐標不一定為(2,-1),故“x=2且y=-1”是“點p在直線l上”的充分而不必要條件.3.(2013福建,文3)若集合a=1,2,3,b=1,3,4,則ab的子集個數(shù)為().a.2b.3c.4d.16答案:c解析:由題知ab=1,3,故它的子集個數(shù)為22=4.4.(2013福建,文4)雙曲線x2-y2=1的頂點到其漸近線的距離等于().a.12b.22c.1d.2答案:b解析:x2-y2=1的漸近線方程為y=±x,頂點坐標為(±1,0),點(±1,0)到y(tǒng)=±x的距離為|±1|2=12=22.5.(2013福建,文5

3、)函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象大致是().答案:a解析:由f(0)=0可知函數(shù)圖象經(jīng)過原點.又f(-x)=f(x),所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,故選a.6.(2013福建,文6)若變量x,y滿足約束條件x+y2,x1,y0,則z=2x+y的最大值和最小值分別為().a.4和3b.4和2c.3和2d.2和0答案:b解析:畫出可行域如下圖陰影部分所示.畫出直線2x+y=0,并向可行域方向移動,當直線經(jīng)過點(1,0)時,z取最小值.當直線經(jīng)過點(2,0)時,z取最大值.故zmax=2×2+0=4,zmin=2×1+0=2.7.(2013福建,文7)若2x+2y=1,則x+y

4、的取值范圍是().a.0,2b.-2,0c.-2,+)d.(-,-2答案:d解析:2x+2y=122x+y,1222x+y,即2x+y2-2.x+y-2.8.(2013福建,文8)閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序.如果輸入某個正整數(shù)n后,輸出的s(10,20),那么n的值為().a.3b.4c.5d.6答案:b解析:若n=3,則輸出s=7;若n=4,則輸出s=15,符合題意.故選b.9.(2013福建,文9)將函數(shù)f(x)=sin(2x+)-2<<2的圖象向右平移(>0)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若f(x),g(x)的圖象都經(jīng)過點p0,32,則的值可以是().

5、a.53b.56c.2d.6答案:b解析:f(x)的圖象經(jīng)過點0,32,sin =32.又-2,2,=3.f(x)=sin2x+3.由題知g(x)=f(x-)=sin2(x-)+3,又圖象經(jīng)過點0,32,g(0)=sin-2+3=32.當=56時滿足g(0)=32,故選b.10.(2013福建,文10)在四邊形abcd中,ac=(1,2),bd=(-4,2),則該四邊形的面積為().a.5b.25c.5d.10答案:c解析:ac·bd=-4×1+2×2=0,acbd.s四邊形abcd=12|ac|bd|=12×1+22×(-4)2+22=5.1

6、1.(2013福建,文11)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表:x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y=bx+a.若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y=b'x+a',則以下結(jié)論正確的是().a.b>b',a>a'b.b>b',a<a'c.b<b',a>a'd.b<b',a<a'答案:c解析:x=1+2+3+4+5+66=72,y=0+2+1+3+3+46=136,b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-n

7、x2=57,a=y-bx=-13,b'=2-02-1=2>b,a'=-2<a.12.(2013福建,文12)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為r,x0(x00)是f(x)的極大值點,以下結(jié)論一定正確的是().a.xr,f(x)f(x0)b.-x0是f(-x)的極小值點c.-x0是-f(x)的極小值點d.-x0是-f(-x)的極小值點答案:d解析:由函數(shù)極大值的概念知a錯誤;因為函數(shù)f(x)的圖象與f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以-x0是f(-x)的極大值點.b選項錯誤;因為f(x)的圖象與-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱,所以x0是-f(x)的極小值點.故c選項錯誤;因為f(x

8、)的圖象與-f(-x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,所以-x0是-f(-x)的極小值點.故d正確.第卷(非選擇題共90分)二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.(2013福建,文13)已知函數(shù)f(x)=2x3,x<0,-tanx,0x<2,則ff4=. 答案:-2解析:f4=-tan4=-1,ff4=f(-1)=2×(-1)3=-2.14.(2013福建,文14)利用計算機產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù)a,則事件“3a-1<0”發(fā)生的概率為. 答案:13解析:由3a-1<0,得a<13.0a1,0a

9、<13.根據(jù)幾何概型知所求概率為131=13.15.(2013福建,文15)橢圓:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為f1,f2,焦距為2c.若直線y=3(x+c)與橢圓的一個交點m滿足mf1f2=2mf2f1,則該橢圓的離心率等于. 答案:3-1解析:由y=3(x+c)知直線的傾斜角為60°,mf1f2=60°,mf2f1=30°.f1mf2=90°.mf1=c,mf2=3c.又mf1+mf2=2a,c+3c=2a,即e=23+1=3-1.16.(2013福建,文16)設(shè)s,t是r的兩個非空子集,如果存在一

10、個從s到t的函數(shù)y=f(x)滿足:()t=f(x)|xs;()對任意x1,x2s,當x1<x2時,恒有f(x1)<f(x2),那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”.現(xiàn)給出以下3對集合:a=n,b=n*;a=x|-1x3,b=x|-8x10;a=x|0<x<1,b=r.其中,“保序同構(gòu)”的集合對的序號是.(寫出所有“保序同構(gòu)”的集合對的序號) 答案:解析:若y=x+1是從a到b的一個函數(shù),且xa,則滿足()b=f(x)|xa.又f(x)=x+1是單調(diào)遞增的,所以也滿足();若f(x)=92x-72時,滿足()b=f(x)|xa,又f(x)=92x-72是單調(diào)遞增的,所以

11、也滿足();若y=tanx-12(0<x<1)時,滿足()b=f(x)|xa.又f(x)=tanx-12在(0,1)上是單調(diào)遞增的,所以也滿足().故填.三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(2013福建,文17)(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列an的公差d=1,前n項和為sn.(1)若1,a1,a3成等比數(shù)列,求a1;(2)若s5>a1a9,求a1的取值范圍.解:(1)因為數(shù)列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比數(shù)列,所以a12=1×(a1+2),即a12-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因為數(shù)列a

12、n的公差d=1,且s5>a1a9,所以5a1+10>a12+8a1,即a12+3a1-10<0,解得-5<a1<2.18.(2013福建,文18)(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐p-abcd中,pd平面abcd,abdc,abad,bc=5,dc=3,ad=4,pad=60°.(1)當正視方向與向量ad的方向相同時,畫出四棱錐p-abcd的正視圖(要求標出尺寸,并寫出演算過程);(2)若m為pa的中點,求證:dm平面pbc;(3)求三棱錐d-pbc的體積.解法一:(1)在梯形abcd中,過點c作ceab,垂足為e,由已知得,四邊形adce為矩形,ae=

13、cd=3,在rtbec中,由bc=5,ce=4,依勾股定理得be=3,從而ab=6.又由pd平面abcd得,pdad,從而在rtpda中,由ad=4,pad=60°,得pd=43.正視圖如圖所示:正視圖(2)取pb中點n,連結(jié)mn,cn.在pab中,m是pa中點,mnab,mn=12ab=3.又cdab,cd=3,mncd,mn=cd.四邊形mncd為平行四邊形.dmcn.又dm平面pbc,cn平面pbc,dm平面pbc.(3)vd-pbc=vp-dbc=13sdbc·pd,又sdbc=6,pd=43,所以vd-pbc=83.解法二:(1)同解法一.(2)取ab的中點e,連

14、結(jié)me,de.在梯形abcd中,becd,且be=cd,四邊形bcde為平行四邊形.debc.又de平面pbc,bc平面pbc,de平面pbc.又在pab中,mepb,me平面pbc,pb平面pbc,me平面pbc.又deme=e,平面dme平面pbc.又dm平面dme,dm平面pbc.(3)同解法一.19.(2013福建,文19)(本小題滿分12分)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“2

15、5周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.25周歲以上組25周歲以下組(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率;(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?附:2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2p(2k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8

16、416.63510.828注:此公式也可以寫成k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解:(1)由已知得,樣本中有25周歲以上組工人60名,25周歲以下組工人40名.所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60×0.05=3(人),記為a1,a2,a3;25周歲以下組工人有40×0.05=2(人),記為b1,b2.從中隨機抽取2名工人,所有的可能結(jié)果共有10種,它們是:(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)

17、.其中,至少有1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種,它們是:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2).故所求的概率p=710.(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手60×0.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手40×0.375=15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下:生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計3070100所以得k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100

18、×(15×25-15×45)260×40×30×70=25141.79.因為1.79<2.706,所以沒有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”.20.(2013福建,文20)(本小題滿分12分)如圖,拋物線e:y2=4x的焦點為f,準線l與x軸的交點為a.點c在拋物線e上,以c為圓心,|co|為半徑作圓,設(shè)圓c與準線l交于不同的兩點m,n.(1)若點c的縱坐標為2,求|mn|;(2)若|af|2=|am|·|an|,求圓c的半徑.解:(1)拋物線y2=4x的準線l的方程為x=-1.由點c的縱坐標為2,得點

19、c的坐標為(1,2),所以點c到準線l的距離d=2,又|co|=5,所以|mn|=2|co|2-d2=25-4=2.(2)設(shè)cy024,y0,則圓c的方程為x-y0242+(y-y0)2=y0416+y02,即x2-y022x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+y022=0,設(shè)m(-1,y1),n(-1,y2),則=4y02-41+y022=2y02-4>0,y1y2=y022+1.由|af|2=|am|·|an|,得|y1y2|=4,所以y022+1=4,解得y0=±6,此時>0.所以圓心c的坐標為32,6或32,-6.從而|co|2=33

20、4,|co|=332,即圓c的半徑為332.21.(2013福建,文21)(本小題滿分12分)如圖,在等腰直角opq中,poq=90°,op=22,點m在線段pq上.(1)若om=5,求pm的長;(2)若點n在線段mq上,且mon=30°,問:當pom取何值時,omn的面積最小?并求出面積的最小值.解:(1)在omp中,opm=45°,om=5,op=22,由余弦定理得,om2=op2+mp2-2×op×mp×cos 45°,得mp2-4mp+3=0,解得mp=1或mp=3.(2)設(shè)pom=,0°60°,

21、在omp中,由正弦定理,得omsinopm=opsinomp,所以om=opsin45°sin(45°+).同理on=opsin45°sin(75°+).故somn=12×om×on×sinmon=14×op2sin245°sin(45°+)sin(75°+)=1sin(45°+)sin(45°+30°)=1sin(45°+)32sin(45°+)+12cos(45°+)=132sin2(45°+)+12sin(45

22、°+)cos(45°+)=1341-cos(90°+2)+14sin(90°+2)=134+34sin2+14cos2=134+12sin(2+30°).因為0°60°,30°2+30°150°,所以當=30°時,sin(2+30°)的最大值為1,此時omn的面積取到最小值,即pom=30°時,omn的面積的最小值為8-43.22.(2013福建,文22)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=x-1+aex(ar,e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若曲線y=f(x)在點(

23、1,f(1)處的切線平行于x軸,求a的值;(2)求函數(shù)f(x)的極值;(3)當a=1時,若直線l:y=kx-1與曲線y=f(x)沒有公共點,求k的最大值.解法一:(1)由f(x)=x-1+aex,得f'(x)=1-aex,又曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線平行于x軸,得f'(1)=0,即1-ae=0,解得a=e.(2)f'(x)=1-aex,當a0時,f'(x)>0,f(x)為(-,+)上的增函數(shù),所以函數(shù)f(x)無極值.當a>0時,令f'(x)=0,得ex=a,x=ln a.x(-,ln a),f'(x)<0;x(ln a,+),f'(x)>0,所以f(x)在(-,ln a)