小學(xué)奧數(shù)應(yīng)用題類型歸納整理(30類典型應(yīng)用題分析)

1、小學(xué)數(shù)學(xué) 30 類典型應(yīng)用題分析小學(xué)數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題用語(yǔ)言或文字?jǐn)⑹龀鰜?lái)，這樣所形成的題目叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件（簡(jiǎn)稱條件），第二部分是所求問(wèn)題（簡(jiǎn)稱問(wèn)題）。應(yīng)用題的條件和問(wèn)題，組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與典型應(yīng)用題。沒(méi)有特定的解答規(guī)律的兩步以上運(yùn)算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系，可以用特定的步驟和方法來(lái)解答的應(yīng)用題，叫做典型應(yīng)用題。小學(xué)數(shù)學(xué)主要有以下30 類典型應(yīng)用題：1、歸一問(wèn)題11、行船問(wèn)題21、方陣問(wèn)題2、歸總問(wèn)題12、列車問(wèn)題22、商品利潤(rùn)問(wèn)題3、和差問(wèn)題13、時(shí)鐘問(wèn)題23、存款利率問(wèn)題4、和倍問(wèn)題

2、14、盈虧問(wèn)題24、溶液濃度問(wèn)題5、差倍問(wèn)題15、工程問(wèn)題25、構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題6、倍比問(wèn)題16、正反比例問(wèn)題26、幻方問(wèn)題7、相遇問(wèn)題17、按比例分配27、抽屜原則問(wèn)題8、追及問(wèn)題18、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題28、公約公倍問(wèn)題9、植樹(shù)問(wèn)題19、“牛吃草 ”問(wèn)題29、最值問(wèn)題10、年齡問(wèn)題20、雞兔同籠問(wèn)題30、列方程問(wèn)題一、歸一問(wèn)題【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】總量 ÷份數(shù) 1 份數(shù)量1 份數(shù)量 ×所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量另一總量 ÷（總量 ÷份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路和方法】 先

3、求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例 1 買 5 支鉛筆要 0.6 元錢，買同樣的鉛筆 16 支，需要多少錢？解（ 1）買 1 支鉛筆多少錢？ 0.6 ÷50.12（元）（2）買 16 支鉛筆需要多少錢？ 0.12 ×161.92（元）列成綜合算式 0.6 ÷5×160.12 ×161.92（元）答：需要 1.92 元。例 2 3 臺(tái)拖拉機(jī) 3 天耕地 90 公頃，照這樣計(jì)算， 5 臺(tái)拖拉機(jī) 6 天耕地多少公頃？解（ 1）1 臺(tái)拖拉機(jī) 1 天耕地多少公頃？ 90÷3÷310（公頃）（2） 5 臺(tái)拖拉機(jī) 6 天耕地

4、多少公頃？ 10×5×6300（公頃）列成綜合算式 90÷3÷3×5×610×30300（公頃）答： 5 臺(tái)拖拉機(jī) 6 天耕地 300 公頃。例 35 輛汽車 4 次可以運(yùn)送 100 噸鋼材，如果用同樣的7 輛汽車運(yùn)送 105 噸鋼材，需要運(yùn)幾次？解 （1）1 輛汽車 1 次能運(yùn)多少噸鋼材？100÷5÷45（噸）（2）7 輛汽車 1 次能運(yùn)多少噸鋼材？5×735（噸）（3）105 噸鋼材 7 輛汽車需要運(yùn)幾次？105÷353（次）列成綜合算式105÷（100÷5&#

5、247;4×7） 3（次）答：需要運(yùn) 3 次。二、歸總問(wèn)題【含義】 解題時(shí)，常常先找出 “總數(shù)量 ”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，叫歸總問(wèn)題。所謂 “總數(shù)量 ”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等?！緮?shù)量關(guān)系】1 份數(shù)量 ×份數(shù)總量總量 ÷1 份數(shù)量份數(shù)總量 ÷另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例 1 服裝廠原來(lái)做一套衣服用布 3.2 米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原來(lái)做 791 套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解 （1）這批布總共有多少米？ 3.

6、2 ×7912531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.2 ÷2.8904（套）列成綜合算式 3.2 ×791÷2.8904（套）答：現(xiàn)在可以做 904 套。例 2 小華每天讀 24 頁(yè)書(shū)， 12 天讀完了紅巖一書(shū)。小明每天讀36 頁(yè)書(shū)，幾天可以讀完紅巖？解 （1）紅巖這本書(shū)總共多少頁(yè)？24×12288（頁(yè)）（ 2）小明幾天可以讀完紅巖？ 288÷368（天）列成綜合算式 24×12÷368（天）答：小明 8 天可以讀完紅巖。例 3 食堂運(yùn)來(lái)一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃 50 千克， 30 天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜

7、。后來(lái)根據(jù)大家的意見(jiàn)，每天比原計(jì)劃多吃 10 千克，這批蔬菜可以吃多少天？解 （1）這批蔬菜共有多少千克？ 50×301500（千克）（ 2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（5010） 25（天）列成綜合算式 50×30÷（5010）1500÷6025（天）答：這批蔬菜可以吃 25 天。三、和差問(wèn)題【含義】 已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】大數(shù)（和差） ÷2小數(shù)（和差） ÷2【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例 1 甲乙兩班共有學(xué)生 9

8、8 人，甲班比乙班多 6 人，求兩班各有多少人？解 甲班人數(shù)（ 986）÷252（人）乙班人數(shù)（ 986）÷246（人）答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。例 2 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為 18 厘米，長(zhǎng)比寬多 2 厘米，求長(zhǎng)方形的面積。解 長(zhǎng)（ 182）÷210（厘米）寬（ 182）÷28（厘米）長(zhǎng)方形的面積 10×880（平方厘米）答：長(zhǎng)方形的面積為 80 平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重 32 千克，乙丙兩袋共重 30 千克，甲丙兩袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比

9、丙多（3230）2 千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量（ 222）÷212（千克）丙袋化肥重量（ 222）÷210（千克）乙袋化肥重量 321220（千克）答：甲袋化肥重12 千克，乙袋化肥重20 千克，丙袋化肥重10 千克。例 4 甲乙兩車原來(lái)共裝蘋果 97 筐，從甲車取下 14 筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多 3 筐，兩車原來(lái)各裝蘋果多少筐？解 “從甲車取下 14 筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多 3 筐”，這說(shuō)明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（ 14×23），甲與乙的和是 97，因此甲車筐數(shù)（ 9714×23）÷26

10、4（筐）乙車筐數(shù) 976433（筐）答：甲車原來(lái)裝蘋果 64 筐，乙車原來(lái)裝蘋果 33 筐。四、和倍問(wèn)題【含義】 已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾） ，要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】 總和 ÷（幾倍 1）較小的數(shù)總和 較小的數(shù) 較大的數(shù)較小的數(shù) ×幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例 1 果園里有杏樹(shù)和桃樹(shù)共 248 棵，桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的 3 倍，求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？解 （1）杏樹(shù)有多少棵？ 248÷（31） 62（棵）（ 2）桃樹(shù)有多少棵？ 62×3

11、186（棵）答：杏樹(shù)有 62 棵，桃樹(shù)有 186 棵。例 2 東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480 噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4 倍，求兩庫(kù)各存糧多少噸？解 （1）西庫(kù)存糧數(shù) 480÷（1.41） 200（噸）（ 2）東庫(kù)存糧數(shù) 480200280（噸）答：東庫(kù)存糧 280 噸，西庫(kù)存糧 200 噸。例 3 甲站原有車 52 輛，乙站原有車 32 輛，若每天從甲站開(kāi)往乙站 28 輛，從乙站開(kāi)往甲站 24 輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的 2 倍？解 每天從甲站開(kāi)往乙站 28 輛，從乙站開(kāi)往甲站 24 輛，相當(dāng)于每天從甲站開(kāi)往乙站（ 2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作 1 倍量，這時(shí)乙站的

12、車輛數(shù)就是 2 倍量，兩站的車輛總數(shù)（ 5232）就相當(dāng)于（ 21）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（ 5232）÷（21） 28（輛）所求天數(shù)為（5228）÷（2824） 6（天）答： 6 天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2 倍。例 4 甲乙丙三數(shù)之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三數(shù)各是多少？解 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1 倍量。因?yàn)橐冶燃椎?2 倍少 4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2 倍；又因?yàn)楸燃椎?3 倍多 6，所以丙數(shù)減去 6 就變?yōu)榧讛?shù)的 3 倍；這時(shí)（ 17046）就相當(dāng)于（ 123）倍。那么，甲數(shù)（ 1

13、7046）÷（123） 28乙數(shù) 28×2452丙數(shù) 28×3690答：甲數(shù)是 28，乙數(shù)是 52，丙數(shù)是 90。五、差倍問(wèn)題【含義】 已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾） ，要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】 兩個(gè)數(shù)的差 ÷（幾倍 1）較小的數(shù)較小的數(shù) ×幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例 1 果園里桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的 3 倍，而且桃樹(shù)比杏樹(shù)多 124 棵。求杏樹(shù)、桃樹(shù)各多少棵？解 （1）杏樹(shù)有多少棵？ 124÷（31） 62（棵）（2）桃

14、樹(shù)有多少棵？ 62×3186（棵）答：果園里杏樹(shù)是 62 棵，桃樹(shù)是 186 棵。例 2 爸爸比兒子大 27 歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的 4 倍，求父子二人今年各是多少歲？解 （1）兒子年齡 27÷（41） 9（歲）（2）爸爸年齡 9×436（歲）答：父子二人今年的年齡分別是36歲和 9歲。例 3 商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后， 本月盈利比上月盈利的 2 倍還多 12 萬(wàn)元，又知本月盈利比上月盈利多 30 萬(wàn)元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬(wàn)元？解 如果把上月盈利作為 1 倍量，則（3012）萬(wàn)元就相當(dāng)于上月盈利的 （21）倍，因此上月盈利（ 3012）÷（2

15、1） 18（萬(wàn)元）本月盈利 183048（萬(wàn)元）答：上月盈利是18 萬(wàn)元，本月盈利是48 萬(wàn)元。例 4 糧庫(kù)有 94 噸小麥和 138 噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是天后剩下的玉米是小麥的3 倍？9 噸，問(wèn)幾解 由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來(lái)的數(shù)量差（ 13894）。把幾天后剩下的小麥看作 1 倍量，則幾天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（13894）就相當(dāng)于（ 31）倍，因此剩下的小麥數(shù)量（ 13894）÷（31） 22（噸）運(yùn)出的小麥數(shù)量 942272（噸）運(yùn)糧的天數(shù) 72÷98（天）答： 8 天以后剩下的玉米是小麥的3 倍。六、倍比

16、問(wèn)題【含義】 有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】 總量 ÷一個(gè)數(shù)量倍數(shù)另一個(gè)數(shù)量 ×倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例 1 100千克油菜籽可以榨油 40 千克，現(xiàn)在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？ 3700÷10037（倍）（2）可以榨油多少千克？ 40×371480（千克）列成綜合算式40×（3700÷100） 1480（千克）答：可以榨

17、油 1480 千克。例 2 今年植樹(shù)節(jié)這天，某小學(xué) 300 名師生共植樹(shù) 400 棵，照這樣計(jì)算，全縣 48000 名師生共植樹(shù)多少棵？解 （1）48000 名是 300 名的多少倍？48000÷300160（倍）（ 2）共植樹(shù)多少棵？ 400×16064000（棵）列成綜合算式 400×（48000÷300） 64000（棵）答：全縣 48000 名師生共植樹(shù) 64000 棵。例 3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家 4 畝果園收入 11111 元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng) 800 畝果園共收入多少元？全縣 16000 畝果園共收入多少元？解 （1）800

18、 畝是 4 畝的幾倍？ 800÷4200（倍）（ 2）800 畝收入多少元？ 11111×2002222200（元）（ 3）16000 畝是 800 畝的幾倍？ 16000÷80020（倍）（ 4）16000 畝收入多少元？ 2222200×2044444000（元）答：全鄉(xiāng) 800 畝果園共收入 2222200 元，全縣 16000 畝果園共收入 44444000元。七、相遇問(wèn)題【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間總路程 ÷（甲速乙速）總路程（甲速乙速）×相遇時(shí)間【解

19、題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路長(zhǎng) 392 千米，同時(shí)從兩港各開(kāi)出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開(kāi)出的船每小時(shí)行 28 千米，從上海開(kāi)出的船每小時(shí)行 21 千米，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩船相遇？解 392÷（2821） 8（小時(shí)）答：經(jīng)過(guò) 8 小時(shí)兩船相遇。例 2 小李和小劉在周長(zhǎng)為400 米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5 米，小劉每秒鐘跑3 米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長(zhǎng)時(shí)間？解 “第二次相遇 ”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為 400×2相遇時(shí)間（ 400×2）÷

20、;（53） 100（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100 秒時(shí)間。例 3 甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行 15 千米，乙每小時(shí)行13 千米，兩人在距中點(diǎn)3 千米處相遇，求兩地的距離。解 “兩人在距中點(diǎn) 3 千米處相遇 ”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過(guò)了中點(diǎn)3 千米，乙距中點(diǎn)3 千米，就是說(shuō)甲比乙多走的路程是（ 3×2）千米，因此，相遇時(shí)間（ 3×2）÷（1513） 3（小時(shí)）兩地距離（ 1513）×384（千米）答：兩地距離是84 千米。八、追及問(wèn)題【含義】 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā) （或者在同一地點(diǎn)

21、而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】追及時(shí)間追及路程 ÷（快速慢速）追及路程（快速慢速）×追及時(shí)間【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例 1 好馬每天走 120 千米，劣馬每天走 75 千米，劣馬先走 12 天，好馬幾天能追上劣馬？解 （1）劣馬先走 12 天能走多少千米？ 75×12900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？ 900÷（12075） 20（天）列成綜合算式 75

22、×12÷（12075） 900÷4520（天）答：好馬 20 天能追上劣馬。例 2 小明和小亮在 200 米環(huán)形跑道上跑步， 小明跑一圈用 40 秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了（ 500200）米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500 米所用的時(shí)間。又知小明跑 200 米用 40 秒，則跑 500 米用 40×（500÷200）秒，所以小亮的速度是（ 500200）÷40×（500&#

23、247;200）300÷1003（米）答：小亮的速度是每秒3 米。例 3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午 16 點(diǎn)開(kāi)始從甲地以每小時(shí)10 千米的速度逃跑，解放軍在晚上 22 點(diǎn)接到命令，以每小時(shí) 30 千米的速度開(kāi)始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距 60 千米，問(wèn)解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人？解 敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是（ 2216）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是 10×（226）千米，甲乙兩地相距 60 千米。由此推知追及時(shí)間 10×（226） 60÷（3010） 220÷2011（小時(shí)）答：解放軍在 11 小時(shí)后可以追上敵

24、人。例 4 一輛客車從甲站開(kāi)往乙站， 每小時(shí)行 48 千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開(kāi)往甲站，每小時(shí)行 40 千米，兩車在距兩站中點(diǎn) 16 千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解 這道題可以由相遇問(wèn)題轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說(shuō)的相遇時(shí)間，這個(gè)時(shí)間為 16×2÷（4840） 4（小時(shí)）所以兩站間的距離為 （4840）×4352（千米）列成綜合算式 （4840）×16×2÷（4840）88×4352（千米）答：甲乙兩站的距離是352 千米。例 5 兄妹二人同時(shí)由家

25、上學(xué)，哥哥每分鐘走90 米，妹妹每分鐘走60 米。哥哥到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180 米處和妹妹相遇。問(wèn)他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？解 要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧撸?9060）米，那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為180×2÷（9060） 12（分鐘）家離學(xué)校的距離為90×12180900（米）答：家離學(xué)校有900 米遠(yuǎn)。例 6 孫亮打算上課前 5 分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí) 4 千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了 1

26、千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了 10 分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來(lái)算了一下，如果孫亮從家一開(kāi)始就跑步，可比原來(lái)步行早 9 分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解 手表慢了 10 分鐘，就等于晚出發(fā) 10 分鐘，如果按原速走下去， 就要遲到（105）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說(shuō)明后段路程跑比走少用了（ 105）分鐘。如果從家一開(kāi)始就跑步，可比步行少 9 分鐘，由此可知，行 1 千米，跑步比步行少用 9（ 105）分鐘。所以步行 1 千米所用時(shí)間為1÷9（ 10 5）0.25（小時(shí)）15（分鐘）跑步 1 千米所用時(shí)間為15 9（ 105） 11（分鐘）跑步速度為每小時(shí)1

27、7;11605.5（千米）答：孫亮跑步速度為每小時(shí)5.5 千米。九、 植樹(shù)問(wèn)題【含義】 按相等的距離植樹(shù)，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹(shù)問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】 線形植樹(shù) 棵數(shù)距離 ÷棵距 1 環(huán)形植樹(shù) 棵數(shù)距離 ÷棵距方形植樹(shù)棵數(shù)距離 ÷棵距 4三角形植樹(shù)棵數(shù)距離 ÷棵距 3面積植樹(shù)棵數(shù)面積 ÷（棵距 ×行距）【解題思路和方法】先弄清楚植樹(shù)問(wèn)題的類型，然后可以利用公式。例 1 一條河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 136÷2168169

28、（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為 400 米，在岸邊每隔 4 米栽一棵白楊樹(shù)，一共能栽多少棵白楊樹(shù)？解 400÷4100（棵）答：一共能栽 100 棵白楊樹(shù)。例 3 一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng) 220 米，每隔 8 米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？解 220×4÷841104106（個(gè)）答：一共可以安裝 106 個(gè)照明燈。例 4 給一個(gè)面積為 96 平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長(zhǎng)和寬分別是60 厘米和 40 厘米，問(wèn)至少需要多少塊地板磚？解 96÷（0.6 ×0.4） 96÷0.2440

29、0（塊）答：至少需要 400 塊地板磚。例 5 一座大橋長(zhǎng) 500 米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈， 若每隔 50 米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝 2 盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解 （1）橋的一邊有多少個(gè)電桿？ 500÷50111（個(gè)）（2）橋的兩邊有多少個(gè)電桿？ 11×222（個(gè)）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 22×244（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝 44 盞路燈。十、 年齡問(wèn)題【含義】 這類問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。【數(shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著

30、密切聯(lián)系，尤其與差倍問(wèn)題的解題思路是一致的，要緊緊抓住 “年齡差不變 ”這個(gè)特點(diǎn)。【解題思路和方法】 可以利用 “差倍問(wèn)題 ”的解題思路和方法。例 1 爸爸今年 35 歲，亮亮今年 5 歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解 35÷57（倍）（35+1）÷（5+1） 6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年齡是亮亮的 6 倍。例 2 母親今年 37 歲，女兒今年 7 歲，幾年后母親的年齡是女兒的 4 倍？解 （1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37730（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的 4 倍？ 30÷（41） 73（年）列成綜合算式 （37

31、7）÷（41） 73（年）答： 3 年后母親的年齡是女兒的 4 倍。例 3 3 年前父子的年齡和是49 歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4 倍，父子今年各多少歲？解 今年父子的年齡和應(yīng)該比3 年前增加（ 3×2）歲，今年二人的年齡和為493×255（歲）把今年兒子年齡作為1 倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（41）倍，因此，今年兒子年齡為55÷（41）11（歲）今年父親年齡為11×444（歲）答：今年父親年齡是44 歲，兒子年齡是 11 歲。例 4 甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)， 你才 4 歲”。乙對(duì)甲說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)將來(lái)是你現(xiàn)在的歲數(shù)

32、時(shí)，你將 61 歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解這里涉及到三個(gè)年份：過(guò)去某一年、今年、將來(lái)某一年。列表分析：過(guò)去某一年今 年將來(lái)某一年甲歲歲61 歲乙4 歲歲歲表中兩個(gè) “”表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè) “”表示同一個(gè)數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等： 4 61，也就是 4， 61 成等差數(shù)列，所以， 61 應(yīng)該比 4 大 3 個(gè)年齡差，因此二人年齡差為 （614）÷319（歲）甲今年的歲數(shù)為 611942（歲）乙今年的歲數(shù)為421923（歲）答：甲今年的歲數(shù)是42 歲，乙今年的歲數(shù)是23 歲。十一、行船問(wèn)題【含義】 行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。 解答這類問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是船只本身

33、航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2船速（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2水速順?biāo)俅?×2逆水速逆水速水速 ×2 逆水速船速 ×2順?biāo)夙標(biāo)偎?×2【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例 1 一只船順?biāo)?320 千米需用 8 小時(shí)，水流速度為每小時(shí) 15 千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？解 由條件知，順?biāo)俅偎?320÷8，而水速為每小時(shí) 15 千米，所以，船速為每

34、小時(shí) 320÷81525（千米）船的逆水速為 251510（千米）船逆水行這段路程的時(shí)間為 320÷1032（小時(shí)）答：這只船逆水行這段路程需用 32 小時(shí)。例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小時(shí)，返回原地需 10 小時(shí)；乙船逆水行同樣一段距離需 15 小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間？解由題意得 甲船速水速 360÷1036甲船速水速 360÷1820可見(jiàn) （3620）相當(dāng)于水速的2 倍，所以，水速為每小時(shí)（3620）÷28（千米）又因?yàn)?，乙船速水?360÷15，所以，乙船速為360÷15832（千米）乙船順?biāo)贋?28

35、40（千米）所以，乙船順?biāo)叫?360 千米需要360÷409（小時(shí)）答：乙船返回原地需要9 小時(shí)。例 3 一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí)576 千米，風(fēng)速為每小時(shí) 24 千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3 小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)？解 這道題可以按照流水問(wèn)題來(lái)解答。（ 1）兩城相距多少千米？（ 57624）×31656（千米）（ 2）順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？1656÷（57624） 2.76（小時(shí)）列成綜合算式（57624）×3÷（57624） 2.76（小時(shí)）答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要 2.76 小時(shí)。十二、 列車問(wèn)題【含義】這是與列車行駛有

36、關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度?！緮?shù)量關(guān)系】火車過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間（車長(zhǎng)橋長(zhǎng)）÷車速火車追及：追及時(shí)間（甲車長(zhǎng)乙車長(zhǎng)距離）÷（甲車速乙車速）火車相遇：相遇時(shí)間（甲車長(zhǎng)乙車長(zhǎng)距離）÷（甲車速乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例 1 一座大橋長(zhǎng) 2400 米，一列火車以每分鐘 900 米的速度通過(guò)大橋， 從車頭開(kāi)上橋到車尾離開(kāi)橋共需要 3 分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？解 火車 3 分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。（1）火車 3 分鐘行多少米？ 900×32700（米）（2）這列火車長(zhǎng)多少米？ 27002400300

37、（米）列成綜合算式 900×32400300（米）答：這列火車長(zhǎng) 300 米。例 2 一列長(zhǎng) 200 米的火車以每秒8 米的速度通過(guò)一座大橋，用了2 分 5 秒鐘時(shí)間，求大橋的長(zhǎng)度是多少米？解 火車過(guò)橋所用的時(shí)間是 2 分 5 秒 125 秒，所走的路程是（ 8×125）米，這段路程就是（ 200 米橋長(zhǎng)），所以，橋長(zhǎng)為8×125200800（米）答：大橋的長(zhǎng)度是800 米。例 3 一列長(zhǎng) 225 米的慢車以每秒17 米的速度行駛，一列長(zhǎng) 140 米的快車以每秒22 米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過(guò)慢車需要多長(zhǎng)時(shí)間？解 從追上到追過(guò)，快車比慢車要多行（225

38、140）米，而快車比慢車每秒多行（ 2217）米，因此，所求的時(shí)間為（ 225140）÷（2217） 73（秒）答：需要 73 秒。例 4 一列長(zhǎng) 150 米的列車以每秒 22 米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走來(lái)，那么，火車從工人身旁駛過(guò)需要多少時(shí)間？解 如果把人看作一列長(zhǎng)度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問(wèn)題。150÷（223） 6（秒）答：火車從工人身旁駛過(guò)需要6 秒鐘。例 5 一列火車穿越一條長(zhǎng) 2000 米的隧道用了 88 秒，以同樣的速度通過(guò)一條長(zhǎng) 1250 米的大橋用了 58 秒。求這列火車的車速和車身長(zhǎng)度各是多少？解 車速和車長(zhǎng)都沒(méi)有變，

39、但通過(guò)隧道和大橋所用的時(shí)間不同，是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L(zhǎng)。可知火車在（ 88 58）秒的時(shí)間內(nèi)行駛了（ 20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（ 20001250）÷（8858） 25（米）進(jìn)而可知，車長(zhǎng)和橋長(zhǎng)的和為（ 25×58）米，因此，車長(zhǎng)為 25×581250200（米）答：這列火車的車速是每秒 25 米，車身長(zhǎng) 200 米。十三、時(shí)鐘問(wèn)題【含義】就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60 度等。時(shí)鐘問(wèn)題可與追及問(wèn)題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】分針的速度是時(shí)針的12 倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問(wèn)題來(lái)對(duì)待

40、，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算?！窘忸}思路和方法】變通為 “追及問(wèn)題 ”后可以直接利用公式。例 1 從時(shí)針指向 4 點(diǎn)開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？解 鐘面的一周分為 60 格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60 格；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走 5/601/12 格。每分鐘分針比時(shí)針多走（11/12）11/12 格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20 格。所以分針追上時(shí)針的時(shí)間為20÷（11/12） 22（分）答：再經(jīng)過(guò) 22 分鐘時(shí)針正好與分針重合。例 2 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？解 鐘面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而兩針成直角的時(shí)候相差

41、15 格（包括分針在時(shí)針的前或后15 格兩種情況）。四點(diǎn)整的時(shí)候， 分針在時(shí)針后（5×4）格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5×415）格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5×415）格。再根據(jù)1 分鐘分針比時(shí)針多走（ 11/12）格就可以求出二針成直角的時(shí)間。（ 5×415）÷（11/12） 6（分）（ 5×415）÷（11/12） 38（分）答： 4 點(diǎn) 06 分及 4 點(diǎn) 38 分時(shí)兩針成直角。例 3 六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？解 六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（ 5&

42、#215;6）格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問(wèn)題。（ 5×6）÷（11/12） 33（分）答： 6 點(diǎn) 33 分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。十四、 盈虧問(wèn)題【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈） ÷分配差參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧） ÷分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以

43、直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例 1 給幼兒園小朋友分蘋果， 若每人分 3 個(gè)就余 11 個(gè)；若每人分 4 個(gè)就少 1 個(gè)。問(wèn)有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？解 按照 “參加分配的總?cè)藬?shù)（盈虧） ÷分配差 ”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？（ 111）÷（43）12（人）（2）有多少個(gè)蘋果？ 3×121147（個(gè)）答：有小朋友 12 人，有 47 個(gè)蘋果。例 2 修一條公路，如果每天修 260 米，修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng) 8 天；如果每天修 300米，修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng)4 天。這條路全長(zhǎng)多少米？解 題中原定完成任務(wù)的天數(shù)， 就相當(dāng)于 “參加分配的總?cè)藬?shù) ”，按照 “參加分配的總?cè)?/p>

44、數(shù)（大虧小虧） ÷分配差 ”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為（ 260×8300×4）÷（300260） 22（天）這條路全長(zhǎng)為 300×（224） 7800（米）答：這條路全長(zhǎng) 7800 米。例 3 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐 40 人，就余下 30 人；如果每輛車坐 45 人，就剛好坐完。問(wèn)有多少車？多少人？解 本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù) ”，于是就有（ 1）有多少車？（ 300）÷（4540） 6（輛）（ 2）有多少人？ 40×630270（人）答：有 6 輛車，有 270 人。十五、工程問(wèn)題【含

45、義】工程問(wèn)題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出 “一項(xiàng)工程 ”、“一塊土地 ”、“一條水渠 ”、“一件工作 ”等，在解題時(shí)， 常常用單位 “1表”示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】 解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作 “1，”這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾） ，進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量工作效率 ×工作時(shí)間工作時(shí)間工作量 ÷工作效率工作時(shí)間總工作量 ÷（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系

46、的公式。例 1 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要 10 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要 15 天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解 題中的 “一項(xiàng)工程 ”是工作總量，由于沒(méi)有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位 “1。”由于甲隊(duì)獨(dú)做需 10 天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15 天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（ 1/101/15）。由此可以列出算式：1÷（1/101/15） 1÷1/66（天）答：兩隊(duì)合做需要6 天完成。例 2 一批零件，甲獨(dú)做 6 小時(shí)完成，乙獨(dú)做 8 小時(shí)完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做 2

47、4 個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？解 設(shè)總工作量為 1，則甲每小時(shí)完成 1/6，乙每小時(shí)完成 1/8，甲比乙每小時(shí)多完成（ 1/61/8），二人合做時(shí)每小時(shí)完成（ 1/61/8）。因?yàn)槎撕献鲂枰?1÷（1/61/8）小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24 個(gè)零件，所以（1）每小時(shí)甲比乙多做多少零件？24÷1÷（1/61/8） 7（個(gè)）（2）這批零件共有多少個(gè)？7÷（1/61/8） 168（個(gè)）答：這批零件共有168 個(gè)。解二 上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的43 / 43 1

48、/7所以，這批零件共有24÷1/7168（個(gè)）例 3 一件工作，甲獨(dú)做 12 小時(shí)完成，乙獨(dú)做 10 小時(shí)完成，丙獨(dú)做 15 小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲先做 2 小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？解 必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來(lái)方便，因此，我們?cè)O(shè)總工作量為 12、10、和 15 的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù) 60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60÷125 60 ÷106 60 ÷154因此余下的工作量由乙丙合做還需要（605×2）÷（64） 5（小時(shí)）答：還需要 5 小時(shí)才能完成。例 4

49、一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開(kāi) 4 個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要 5 小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開(kāi) 2 個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要 15 小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在要用 2 小時(shí)將水池注滿，至少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管？解 注（排）水問(wèn)題是一類特殊的工程問(wèn)題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。要 2 小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使 2 小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水） 。只要設(shè)某一個(gè)量為單位 1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則 4 個(gè)進(jìn)

50、水管5 小時(shí)注水量為（ 1×4×5），2 個(gè)進(jìn)水管 15 小時(shí)注水量為（ 1×2×15），從而可知每小時(shí)的排水量為 （1×2×151×4×5）÷（155） 1即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 1×4×51×515又因?yàn)樵?2 小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為1×2，所以， 2 小時(shí)內(nèi)注滿一池水至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？（151×2）÷（1×2） 8.5 9（個(gè)）答：至少需要 9 個(gè)進(jìn)水管。十六、正反比例問(wèn)題【含

51、義】?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定） ，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。【數(shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問(wèn)題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問(wèn)題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問(wèn)題與前面講過(guò)的倍比問(wèn)題基本類似。例 1 修一條公路， 已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的變成未修的 1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？解 由條件知，公路總長(zhǎng)不變。原已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度 1（ 13） 14312現(xiàn)已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（ 12） 13412比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作 12 份，則 300 米相當(dāng)于（ 43