《初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題突破專(zhuān)題十講：2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題突破專(zhuān)題四：特殊三角形存在性問(wèn)題

1、難題突破專(zhuān)題四特殊三角形存在性問(wèn)題特殊三角形存在性問(wèn)題主要是指尋找符合條件的點(diǎn)使之構(gòu)成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)胤诸?lèi)討論，避免漏解類(lèi)型1等腰三角形存在性問(wèn)題例題（2017貴州安順）如圖甲，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使以C，P，M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)0x3時(shí)，在拋物線上求一點(diǎn)E，使CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫(huà)

2、圖探究）【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題【分析】（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸，可設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，表示出MC、MP和PC的長(zhǎng)，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)E作EFx軸，交直線BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，可設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出EF的長(zhǎng)，進(jìn)一步可表示出CBE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】解：（1）直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，B（3，0），C（0，3），把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得

3、，解得，拋物線解析式為y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=2，P（2，1），設(shè)M（2，t），且C（0，3），MC=，MP=|t+1|，PC=2，CPM為等腰三角形，有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，當(dāng)MC=MP時(shí)，則有=|t+1|，解得t=，此時(shí)M（2，）；當(dāng)MC=PC時(shí)，則有=2，解得t=1（與P點(diǎn)重合，舍去）或t=7，此時(shí)M（2，7）；當(dāng)MP=PC時(shí)，則有|t+1|=2，解得t=1+2或t=12，此時(shí)M（2，1+2）或（2，12）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）如圖，過(guò)E作EF

4、x軸，交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，設(shè)E（x，x24x+3），則F（x，x+3），0x3，EF=x+3（x24x+3）=x2+3x，SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+EFBD=EFOB=×3（x2+3x）=（x）2+，當(dāng)x=時(shí)，CBE的面積最大，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時(shí)，CBE的面積最大同步訓(xùn)練：（2017畢節(jié)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（1，0），B（4，0），C（0，4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點(diǎn)P，使POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

5、理由；（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和PBC的最大面積【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題【分析】（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由題意可知點(diǎn)P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）過(guò)P作PEx軸，交x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，用P點(diǎn)坐標(biāo)可表示出PF的長(zhǎng)，則可表示出PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得PBC面積的最大值及P點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，拋物線解析式為y=x23x4；（2）作OC的垂直平分線DP，交O

6、C于點(diǎn)D，交BC下方拋物線于點(diǎn)P，如圖1，PO=PD，此時(shí)P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，C（0，4），D（0，2），P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入拋物線解析式可得x23x4=2，解得x=（小于0，舍去）或x=，存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，2）；（3）點(diǎn)P在拋物線上，可設(shè)P（t，t23t4），過(guò)P作PEx軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖2，B（4，0），C（0，4），直線BC解析式為y=x4，F(xiàn)（t，t4），PF=（t4）（t23t4）=t2+4t，SPBC=SPFC+SPFB=PFOE+PFBE=PF（OE+BE）=PFOB=（t2+4t）×4=2（t2）2+8，當(dāng)t=2時(shí)，SPBC最大值為8，此

7、時(shí)t23t4=6，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）時(shí)，PBC的最大面積為8 解題方法點(diǎn)析 對(duì)于等腰三角形的分類(lèi)應(yīng)分三種情況可以設(shè)一個(gè)未知數(shù)，然后用這個(gè)未知數(shù)分別表示出三角形的三邊，再根據(jù)兩邊相等，得到三個(gè)方程，即三種情況特別注意求出的值需檢驗(yàn)?zāi)芊駱?gòu)成三角形類(lèi)型2全等三角形存在性問(wèn)題例題如圖Z42，已知直線ykx6與拋物線yax2bxc相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A(1，4)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式(2)在(1)中二次函數(shù)的第二象限的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使POB與POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐

8、標(biāo)【分析】 (1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)可確定直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，那么可以將拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式設(shè)為_(kāi)式，再代入_的坐標(biāo)，依據(jù)_法可解(2)ABQ為直角三角形，直角頂點(diǎn)沒(méi)確定，故分別以_為直角頂點(diǎn)，進(jìn)行分類(lèi)討論，找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解或者利用勾股定理列方程求解【解答】：(1)頂點(diǎn)點(diǎn)B待定系數(shù)(2)點(diǎn)A，B，Q解：(1)把(1，4)代入ykx6，得k2，直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y2x6.令y0，解得x3，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3，0)點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為ya(x1)24，把(3，0)代入，得4a40，解得a1

9、，拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y(x1)24x22x3.(2)存在OBOC3，OPOP，當(dāng)POBPOC時(shí)，POBPOC，此時(shí)OP平分第二象限，即直線PO對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為yx.設(shè)P(m，m)，則mm22m3，解得m，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(3)如圖，當(dāng)Q1AB90°時(shí)，DAQ1DOB，即，DQ1，OQ1，即點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為；當(dāng)Q2BA90°時(shí)，BOQ2DOB，即，OQ2，即點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為；當(dāng)AQ3B90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AEy軸于點(diǎn)E，則BOQ3Q3EA，即，OQ324OQ330，OQ31或3，即點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為(0，1)或(0，3)綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或(0，1)或(0，3) 解題

10、方法點(diǎn)析 本題為綜合題，考查了平面直角坐標(biāo)系中，利用待定系數(shù)法求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，利用方程、分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合等思想解題類(lèi)型3直角三角形存在性問(wèn)題例題（2017廣西）如圖，拋物線y=a（x1）（x3）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D（1）寫(xiě)出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；（2）設(shè)SBCD：SABD=k，求k的值；（3）當(dāng)BCD是直角三角形時(shí)，求對(duì)應(yīng)拋物線的解析式【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題【分析】（1）令x=0可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，化為頂點(diǎn)式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）令y=0可求得A、B的坐標(biāo)，結(jié)合D點(diǎn)坐標(biāo)可求得ABD的面積，設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，由C、D坐標(biāo)，利

11、用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式，則可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出BCD的面積，可求得k的值；（3）由B、C、D的坐標(biāo)，可表示出BC2、BD2和CD2，分CBD=90°和CDB=90°兩種情況，分別利用勾股定理可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值，則可求得拋物線的解析式【解答】解：（1）在y=a（x1）（x3），令x=0可得y=3a，C（0，3a），y=a（x1）（x3）=a（x24x+3）=a（x2）2a，D（2，a）；（2）在y=a（x1）（x3）中，令y=0可解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），AB=31=2，SABD=×2×a=a，如圖，

12、設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，把C、D的坐標(biāo)代入可得，解得，直線CD解析式為y=2ax+3a，令y=0可解得x=，E（，0），BE=3=SBCD=SBEC+SBED=××（3a+a）=3a，SBCD：SABD=（3a）：a=3，k=3；（3）B（3，0），C（0，3a），D（2，a），BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（a3a）2=4+16a2，BD2=（32）2+a2=1+a2，BCDBCO90°，BCD為直角三角形時(shí)，只能有CBD=90°或CDB=90°兩種情況，當(dāng)CBD=90°時(shí)，則有

13、BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=1（舍去）或a=1，此時(shí)拋物線解析式為y=x24x+3；當(dāng)CDB=90°時(shí)，則有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=（舍去）或a=，此時(shí)拋物線解析式為y=x22x+；綜上可知當(dāng)BCD是直角三角形時(shí)，拋物線的解析式為y=x24x+3或y=x22x+同步訓(xùn)練：（2017江蘇徐州）如圖，已知二次函數(shù)y=x24的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，C的半徑為，P為C上一動(dòng)點(diǎn)（1）點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為B（3，0），C（0，4）；（2）是否存在點(diǎn)P，使得PBC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)

14、P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）連接PB，若E為PB的中點(diǎn)，連接OE，則OE的最大值=【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題【分析】（1）在拋物線解析式中令y=0可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)PB與相切時(shí)，PBC為直角三角形，如圖1，連接BC，根據(jù)勾股定理得到BC=5，BP2=2，過(guò)P2作P2Ex軸于E，P2Fy軸于F，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=2，設(shè)OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3x，CF=2x4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，），過(guò)P1作P1Gx軸于G，P1Hy軸于H，同理求得P1（1，2），當(dāng)BCPC時(shí)，PBC為直角三角形，根據(jù)相似三角形的判定和

15、性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖2，當(dāng)PB與C相切時(shí)，OE的值最大，過(guò)E作EMy軸于M，過(guò)P作PFy軸于F，根據(jù)平行線等分線段定理得到ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【解答】解：（1）在y=x24中，令y=0，則x=±3，令x=0，則y=4，B（3，0），C（0，4）；故答案為：3，0；0，4；（2）存在點(diǎn)P，使得PBC為直角三角形，當(dāng)PB與相切時(shí)，PBC為直角三角形，如圖（2）a，連接BC，OB=3OC=4，BC=5，CP2BP2，CP2=，BP2=2，過(guò)P2作P2Ex軸于E，P2Fy軸于F，則CP2FBP2E，四邊形OCP2B是矩形，=2，設(shè)OC=

16、P2E=2x，CP2=OE=x，BE=3x，CF=2x4，=2，x=，2x=，F(xiàn)P2=，EP2=，P2（，），過(guò)P1作P1Gx軸于G，P1Hy軸于H，同理求得P1（1，2），當(dāng)BCPC時(shí)，PBC為直角三角形，過(guò)P4作P4Hy軸于H，則BOCCHP4，=，CH=，P4H=，P4（，4）；同理P3（，4）；綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，2）或（，）或（，4）或（，4）；（3）如圖（3），當(dāng)PB與C相切時(shí)，PB與y 軸的距離最大，OE的值最大，過(guò)E作EMy軸于M，過(guò)P作PFy軸于F，OBEMPF，E為PB的中點(diǎn)，ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，OE=故答案為： 解題方法點(diǎn)析 本題為綜合題

17、，考查了平面直角坐標(biāo)系中，利用待定系數(shù)法求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，利用方程、分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合等思想解題專(zhuān) 題 訓(xùn) 練1. （2017烏魯木齊）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）與直線y=x+1相交于A（1，0），B（4，m）兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（5，0）（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作直線PDx軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E當(dāng)PE=2ED時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；是否存在點(diǎn)P使BEC為等腰三角形？若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題【分析】（1）由直線解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定

18、系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E、D的坐標(biāo)，從而可表示出PE和ED的長(zhǎng)，由條件可知到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；由E、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可表示出BE、CE和BC的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于E點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)【解答】解：（1）點(diǎn)B（4，m）在直線y=x+1上，m=4+1=5，B（4，5），把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，拋物線解析式為y=x2+4x+5；（2）設(shè)P（x，x2+4x+5），則E（x，x+1），D（x，0），則PE=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，DE=|x+1|，PE=2ED，|

19、x2+3x+4|=2|x+1|，當(dāng)x2+3x+4=2（x+1）時(shí)，解得x=1或x=2，但當(dāng)x=1時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，P（2，9）；當(dāng)x2+3x+4=2（x+1）時(shí)，解得x=1或x=6，但當(dāng)x=1時(shí)，P與A重合不合題意，舍去，P（6，7）；綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，7）；設(shè)P（x，x2+4x+5），則E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），BE=|x4|，CE=，BC=，當(dāng)BEC為等腰三角形時(shí)，則有BE=CE、BE=BC或CE=BC三種情況，當(dāng)BE=CE時(shí)，則|x4|=，解得x=，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；當(dāng)BE=BC時(shí)，則|x4|=，解得x=4+或x=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為

20、（4+，48）或（4，48）；當(dāng)CE=BC時(shí)，則=，解得x=0或x=4，當(dāng)x=4時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不合題意，舍去，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（，）或（4+，48）或（4，48）或（0，5）2. （2017四川南充）如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a0）的圖象過(guò)點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（4，0），函數(shù)圖象最低點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，直線l的解析式為y=x（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）直線l沿x軸向右平移，得直線l，l與線段OA相交于點(diǎn)B，與x軸下方的拋物線相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CEx軸于點(diǎn)E，把BCE沿直線l折疊，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上點(diǎn)E時(shí)（

21、圖2），求直線l的解析式；（3）在（2）的條件下，l與y軸交于點(diǎn)N，把BON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到BON，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PBN為等腰三角形時(shí)，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題【分析】（1）由題意拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2，把（0，0）代入得到a=，即可解決問(wèn)題；（2）如圖1中，設(shè)E（m，0），則C（m， m2m），B（m2+m，0），由E、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可得=2，由此即可解決問(wèn)題；（3）分兩種情形求解即可當(dāng)P1與N重合時(shí)，P1BN是等腰三角形，此時(shí)P1（0，3）當(dāng)N=NB時(shí)，設(shè)P（m，m3），列出方程解方程即可；【解

22、答】解：（1）由題意拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2）2，把（0，0）代入得到a=，拋物線的解析式為y=（x2）2，即y=x2x（2）如圖1中，設(shè)E（m，0），則C（m， m2m），B（m2+m，0），E在拋物線上，E、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，=2，解得m=1或6（舍棄），B（3，0），C（1，2），直線l的解析式為y=x3（3）如圖2中，當(dāng)P1與N重合時(shí)，P1BN是等腰三角形，此時(shí)P1（0，3）當(dāng)N=NB時(shí)，設(shè)P（m，m3），則有（m）2+（m3）2=（3）2，解得m=或，P2（，），P3（，）綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，3）或（，）或（，）3. （2017張家界

23、）已知拋物線c1的頂點(diǎn)為A（1，4），與y軸的交點(diǎn)為D（0，3）（1）求c1的解析式；（2）若直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，求m的值；（3）若拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線記作c2，平行于x軸的直線記作l2：y=n試結(jié)合圖形回答：當(dāng)n為何值時(shí)，l2與c1和c2共有：兩個(gè)交點(diǎn)；三個(gè)交點(diǎn)；四個(gè)交點(diǎn)；（4）若c2與x軸正半軸交點(diǎn)記作B，試在x軸上求點(diǎn)P，使PAB為等腰三角形【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題【分析】（1）設(shè)拋物線c1的解析式為y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到結(jié)論；（2）解方程組得到x2+3x+m3=0，由于直線l1：y=x+m與c1僅有唯

24、一的交點(diǎn)，于是得到=94m+12=0，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到拋物線c2的解析式為：y=x2+2x+3，根據(jù)圖象即可剛剛結(jié)論；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根據(jù)勾股定理得到AB=4，當(dāng)AP=AB，當(dāng)AB=BP=4時(shí)，當(dāng)AP=PB時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，于是得到結(jié)論【解答】解：（1）拋物線c1的頂點(diǎn)為A（1，4），設(shè)拋物線c1的解析式為y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，a=1，拋物線c1的解析式為：y=（x+1）2+4，即y=x22x+3；（2）解得x2+3x+m3=0，直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，=94m+

25、12=0，m=；（3）拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線記作c2，拋物線c2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），與y軸的交點(diǎn)為（0，3），拋物線c2的解析式為：y=x2+2x+3，當(dāng)直線l2過(guò)拋物線c1的頂點(diǎn)（1，4）和拋物線記作c2的頂點(diǎn)（1，4）時(shí)，即n=4時(shí)，l2與c1和c2共有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線l2過(guò)D（0，3）時(shí)，即n=3時(shí)，l2與c1和c2共有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)3n4或n3時(shí)，l2與c1和c2共有四個(gè)交點(diǎn)；（4）如圖，若c2與x軸正半軸交于B，B（3，0），OB=3，AB=4，當(dāng)AP=AB=4時(shí)，PB=8，P1（5，0），當(dāng)AB=BP=4時(shí)，P2（34，0）或P3（3+4，0），當(dāng)AP=PB時(shí)，點(diǎn)P在AB

26、的垂直平分線上，PA=PB=4，P4（1，0），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或（34，0）或（3+4，0）或（1，0）時(shí)，PAB為等腰三角形4. （2017張家界）已知拋物線c1的頂點(diǎn)為A（1，4），與y軸的交點(diǎn)為D（0，3）（1）求c1的解析式；（2）若直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，求m的值；（3）若拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線記作c2，平行于x軸的直線記作l2：y=n試結(jié)合圖形回答：當(dāng)n為何值時(shí)，l2與c1和c2共有：兩個(gè)交點(diǎn)；三個(gè)交點(diǎn)；四個(gè)交點(diǎn)；（4）若c2與x軸正半軸交點(diǎn)記作B，試在x軸上求點(diǎn)P，使PAB為等腰三角形【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題【分析】（1）設(shè)拋物線c

27、1的解析式為y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到結(jié)論；（2）解方程組得到x2+3x+m3=0，由于直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，于是得到=94m+12=0，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到拋物線c2的解析式為：y=x2+2x+3，根據(jù)圖象即可剛剛結(jié)論；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根據(jù)勾股定理得到AB=4，當(dāng)AP=AB，當(dāng)AB=BP=4時(shí)，當(dāng)AP=PB時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，于是得到結(jié)論【解答】解：（1）拋物線c1的頂點(diǎn)為A（1，4），設(shè)拋物線c1的解析式為y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3

28、=a+4，a=1，拋物線c1的解析式為：y=（x+1）2+4，即y=x22x+3；（2）解得x2+3x+m3=0，直線l1：y=x+m與c1僅有唯一的交點(diǎn)，=94m+12=0，m=；（3）拋物線c1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線記作c2，拋物線c2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），與y軸的交點(diǎn)為（0，3），拋物線c2的解析式為：y=x2+2x+3，當(dāng)直線l2過(guò)拋物線c1的頂點(diǎn)（1，4）和拋物線記作c2的頂點(diǎn)（1，4）時(shí)，即n=4時(shí)，l2與c1和c2共有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線l2過(guò)D（0，3）時(shí)，即n=3時(shí)，l2與c1和c2共有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)3n4或n3時(shí)，l2與c1和c2共有四個(gè)交點(diǎn)；（4）如圖，若c2與x軸正半軸交于B

29、，B（3，0），OB=3，AB=4，當(dāng)AP=AB=4時(shí)，PB=8，P1（5，0），當(dāng)AB=BP=4時(shí)，P2（34，0）或P3（3+4，0），當(dāng)AP=PB時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，PA=PB=4，P4（1，0），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或（34，0）或（3+4，0）或（1，0）時(shí)，PAB為等腰三角形5. （2016·吉林·10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OB的長(zhǎng)度為2m，以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，A，B三點(diǎn)（1）當(dāng)m=2時(shí)，a=，當(dāng)m=3時(shí)，a=；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，猜想a與m的關(guān)系，并

30、證明你的結(jié)論；（3）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點(diǎn)，PQ的長(zhǎng)度為2n，當(dāng)APQ為等腰直角三角形時(shí)，a和n的關(guān)系式為 a=；（4）利用（2）（3）中的結(jié)論，求AOB與APQ的面積比【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）由AOB為等邊三角形，AB=2m，得出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再由點(diǎn)A，B，O在拋物線上建立方程組，得出結(jié)論，最后代m=2，m=3，求值即可；（2）同（1）的方法得出結(jié)論（3）由APQ為等腰直角三角形，PQ的長(zhǎng)度為2n，設(shè)A（e，d+n），P（en，d），Q（e+n，d），建立方程組求解即可；（4）由（2）（3）的結(jié)論得到m=n，再根據(jù)面積公式列出式子，代入化簡(jiǎn)即

31、可【解答】解：（1）如圖1，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OB的長(zhǎng)度為2m，B（2m，0），以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，AM=m，OM=m，A（m， m），拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，A，B三點(diǎn)，當(dāng)m=2時(shí)，a=，當(dāng)m=3時(shí)，a=，故答案為：，；（2）a=理由：如圖1，點(diǎn)B在x軸正半軸上，OB的長(zhǎng)度為2m，B（2m，0），以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，AM=m，OM=m，A（m， m），拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，A，B三點(diǎn)，a=，（3）如圖2，APQ為等腰直角三角形，PQ的長(zhǎng)度為2n，設(shè)A（e，d+n），P（en，d），Q（e+n，d），P，Q，A，O在拋物線l：y=

32、ax2+bx+c上，化簡(jiǎn)得，2aean+b=1，化簡(jiǎn)得，2aeanb=1，化簡(jiǎn)得，an=1，a=故答案為a=，（4）OB的長(zhǎng)度為2m，AM=m，SAOB=OB×AM=2m×m=m2，由（3）有，AN=nPQ的長(zhǎng)度為2n，SAPQ=PQ×AN=×2m×n=n2，由（2）（3）有，a=，a=，=，m=n，=，AOB與APQ的面積比為3：16. （2016海南）如圖1，拋物線y=ax26x+c與x軸交于點(diǎn)A（5，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5），點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，PC與x軸交于點(diǎn)D（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），請(qǐng)求出此時(shí)APC的面積；（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)H，交直線AC于點(diǎn)E，如圖2若APE=CPE，求證：；APE能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題【專(zhuān)題】綜合題【分析】（1）設(shè)交點(diǎn)式為y=a（x+5）（x+1），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x5，作PQy軸交AC于Q，如圖1，由P點(diǎn)坐標(biāo)得到Q（2，3），則PQ=6，然后根據(jù)