曲線積分及格林公式包括第一二類曲線積分圖文并茂自學(xué)必備PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1曲線積分及格林公式包括第一二類曲線曲線積分及格林公式包括第一二類曲線積分圖文并茂自學(xué)必備積分圖文并茂自學(xué)必備2問題的提出問題的提出對弧長的曲線積分的概念對弧長的曲線積分的概念幾何意義與物理意義幾何意義與物理意義對弧長的曲線積分的計算對弧長的曲線積分的計算小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第一節(jié)第一節(jié) 第一類曲線積分第一類曲線積分第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分第1頁/共73頁3實例實例sM 勻質(zhì)勻質(zhì)之質(zhì)量之質(zhì)量分割分割121, nMMM,),(iiis 取取iiiisM ),(求和求和 niiiisM1 ),(取極限取極限M取近似取近似曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量近

2、似值近似值精確值精確值對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 niiiis1 ),( 0lim Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM第2頁/共73頁4二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念1.1.定義定義設(shè)設(shè)L為為 xOy面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧,is 為為又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在L上有界上有界.),(yxf函數(shù)函數(shù)作乘積作乘積并作和并作和如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值,0時時 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分在在L上任意插入一點列上任意插入一點列把把L分成分成n個小段個小段.設(shè)第設(shè)

3、第i個小段的個小段的第第i個小段上任意取定的個小段上任意取定的長度為長度為一點一點,Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM121,nM MM第3頁/共73頁5曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 LsyxMd),( ,d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(這和的極限存在這和的極限存在,則稱此極限為則稱此極限為),(yxf函數(shù)函數(shù)在曲線弧在曲線弧 L對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分或或第一類曲線積分第一類曲線積分. . 積分和式積分和式被積函數(shù)被積函數(shù) 弧元素弧元素積分弧段積分弧段記作記作 niiiisf1),( niiiisf1),( 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分0l

4、im 注意: 被積表達式都定義在曲線上,即滿足曲線的方程.第4頁/共73頁62. 存在條件存在條件上上在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)Lyxf),(3. 推廣推廣上上在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf szyxfd),(.d),(存在存在 Lsyxf對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分連續(xù)連續(xù), ,對弧長的曲線積分為對弧長的曲線積分為iniiiisf 10),(lim對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第5頁/共73頁7注意注意,)()1(是是分分段段光光滑滑的的或或若若 L 21d),(LLsyxf在在函函數(shù)數(shù)),()2(yxf Lsyxfd),()(21LLL 1d),(Lsyxf 2d

5、),(Lsyxf閉曲線閉曲線L L上上對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分記作記作(對路徑具有可加性對路徑具有可加性)對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第6頁/共73頁84. 性質(zhì)性質(zhì) Lsyxgyxfd),(),( LLsyxfsyxkfd),(d),(1) LLsyxgsyxfd),(d),(2)( 為常數(shù)為常數(shù)kk(3)與積分路徑的方向無關(guān)與積分路徑的方向無關(guān),即即 Lsyxfd),( Lsyxfd),()(AB)(BA對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第7頁/共73頁9 在一條光滑在一條光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上上關(guān)于關(guān)于x 的奇函數(shù)的奇函數(shù) Lsyxfd),(是是L上關(guān)于上關(guān)于

6、x 的偶函數(shù)的偶函數(shù) ,d),(21 LsyxfL1是曲線是曲線L落在落在y 軸一側(cè)的部分軸一側(cè)的部分.在分析問題和算題時常用的在分析問題和算題時常用的L關(guān)于關(guān)于x=0 對稱對稱,補充補充對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)曲線曲線L上連續(xù)上連續(xù), ),(yxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)則則, 0當(dāng)當(dāng)),(yxf(或或y)(或或y)當(dāng)當(dāng)),(yxf(或或y=0)(或或x) 運用對稱性簡化對弧長的曲線積分計算時運用對稱性簡化對弧長的曲線積分計算時, 應(yīng)同時考慮被積函數(shù)應(yīng)同時考慮被積函數(shù) 與積分曲線與積分曲線L的對稱性的對稱性.),(yxf對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 第8頁/共73頁10例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圓

7、周是圓周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx對對因因積分曲線積分曲線L關(guān)于關(guān)于被積函數(shù)被積函數(shù)x是是L上上0d Lsx Lsy,d3對對被積函數(shù)被積函數(shù)0d3 Lsy因因積分曲線積分曲線L關(guān)于關(guān)于3y222Ryx 對稱性對稱性, ,計算計算得得0 是是L上上 x=0對稱對稱,關(guān)于關(guān)于x的奇函數(shù)的奇函數(shù) y=0對稱對稱,關(guān)于關(guān)于y的奇函數(shù)的奇函數(shù)對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分xyO第9頁/共73頁11定理定理),()()( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上上在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè)Lyxf),(上上在在,)(),( tt其中其中且且 f),(t )(t )(

8、 有定義且連續(xù)有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), Lsyxfd),( 解法解法化為參變量的化為參變量的定積分定積分計算計算對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分注意注意對弧長的曲線積分要求對弧長的曲線積分要求0d s(1)化為定積分的下限化為定積分的下限一定要小于上限一定要小于上限 22( )( )dttt(2) 積分值與曲線方向無關(guān)積分值與曲線方向無關(guān).第10頁/共73頁12特殊情形特殊情形bxaxyL ),(: Lsyxfd),()(ba xxsd)(1d2 baxf,(1)xx d)(12 )(x 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分),()()( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程

9、為dycyxL ),(: Lsyxfd),()(dc (2) dcyyf),( yysd)(1d2 yy d)(12 f),(t )(t )( Lsyxfd),( 22( )( )dttt第11頁/共73頁13 Lsyxfd),( d)()(sin)(,cos)( 22f),(: L (3)對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分),()()( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為特殊情形特殊情形)()(),(),(: ttztytx推廣推廣 szyxfd),(tttttttfd)()()()(),(),(222 )( f),(t )(t )( Lsyxfd),( 22( )( )dttt第12頁/共

10、73頁14 ),(),(yxgzyxfz 0),(0),(21zyxzyx 或或此時需把它化為此時需把它化為參數(shù)方程參數(shù)方程中中某某一一個個選選擇擇zyx,(再按上述方法計算再按上述方法計算.對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分為參數(shù)為參數(shù)),L如果積分路徑 是兩個曲面的交線第13頁/共73頁15例例1解解例例2)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzI解解 kaI 202sincos22221kaka .)2 , 2(2,d2的的一一段段上上自自原原點點到到為為其其中中求求xyLsyIL 20yI)155(31 xy22 )20( y22yx d22ka y

11、y d12 對對x積分積分?)2 , 2( 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分xy22 xyO第14頁/共73頁16例例3).0(222 xRyxABCL解解xysd1d2 xyyxd222 xyRd| Lsy d|xyRyRd|0 xyRyRd|0 22R 的的如如圖圖半半圓圓周周由由曲曲線線)(ABCL ABsy d| BCsy d|對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分得得xyO|d ,LysL計算其中 是右半圓周 即222,xyR方程第15頁/共73頁17即即是右半圓周是右半圓周其中其中計算計算,d|LsyL ).0(222 xRyx解此題時也可用解此題時也可用,軸軸對對稱稱關(guān)關(guān)于于xL故故

12、Lsy d|2xyRd22R sydAB,|的偶函數(shù)的偶函數(shù)為為yy Ry02對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)ABCLxyO第16頁/共73頁18例例4 . 0,d22222zyxazyxsxI為圓周為圓周其中其中求求 解解由于由于 szsysxddd222 I sad32323a ),d2(球面大圓周長球面大圓周長 sa有有 szyxd)(22231對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 的方程中的的方程中的x, y, z的地位完全的地位完全對稱對稱, 第17頁/共73頁19例例5 曲線曲線是中心在是中心在( ,0),R半徑為R的上半圓周的上半圓周.求求22()xyds對弧長的曲線

13、積分對弧長的曲線積分提示提示:用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)第18頁/共73頁20,1),(時時當(dāng)當(dāng) yxf( , )f x yL當(dāng)表示位于 上的 SsL),(yxfz 幾何意義幾何意義 Lsd(1)(2),),(處的高時處的高時柱面在點柱面在點yx對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分四、幾何四、幾何意義意義與與物理物理意意義義 Lsyxfd),(柱面面積柱面面積弧長弧長 L第19頁/共73頁21則則為下半圓周為下半圓周設(shè)平面曲線設(shè)平面曲線,12xyL ).(d)(22 syxL曲線積分曲線積分 解解設(shè)下半圓周的參數(shù)方程設(shè)下半圓周的參數(shù)方程 sin,cos yx則則syxLd)(22 )sin(cos22 d)

14、(cos)sin(22 2對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分通過幾何直觀通過幾何直觀,還有更簡單的方法嗎還有更簡單的方法嗎?第20頁/共73頁22例例6 求橢圓柱面求橢圓柱面22221, (0,0)xyxyab介于介于xoy平面與空間曲面平面與空間曲面xyzc之間部分的面積之間部分的面積.提示提示:2222:1LxyxyAdsLcab第21頁/共73頁23軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量軸及軸及曲線弧對曲線弧對yx)2(,d2 LxsyI 曲曲線線弧弧的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標(biāo)標(biāo))3(,dd LLssxx 的線密度時的線密度時表示表示當(dāng)當(dāng)Lyx),()( 1 LsyxMd),( 物理意義物理意義 LysxId2

15、 LLssyydd 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第22頁/共73頁24例例6 已知螺旋形彈簧一圈已知螺旋形彈簧一圈的方程的方程:cossin ,02xatyattzbt 彈簧上各點處的線密度等于該點到原點距離的平方彈簧上各點處的線密度等于該點到原點距離的平方,求求(1) 它的質(zhì)量它的質(zhì)量;(2) 它的重心它的重心;(3) 它關(guān)于它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量.對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第23頁/共73頁25對弧長曲線積分的概念對弧長曲線積分的概念 對弧長曲線積分的計算公式對弧長曲線積分的計算公式對弧長曲線積分的應(yīng)用對弧長曲線積分的應(yīng)用對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分五、小結(jié)五、小結(jié)

16、(四步四步:分割、取近似、求和、取極限）分割、取近似、求和、取極限）(弧長曲線給出幾種不同形式方程的計算公式弧長曲線給出幾種不同形式方程的計算公式)(曲線的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量曲線的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、引力)第24頁/共73頁26思考題思考題 是非題是非題 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分,當(dāng)利用參數(shù)方程化為當(dāng)利用參數(shù)方程化為定積分計算時定積分計算時,不管起點還是終點不管起點還是終點,其下限為較其下限為較小端點的參數(shù)值小端點的參數(shù)值,上限為較大端點的參數(shù)值上限為較大端點的參數(shù)值.是是對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第25頁/共73頁27作作 業(yè)業(yè)習(xí)題習(xí)題9.1 (1709.1 (170

17、頁頁) )(A)2.(4) 4. (B)1. 2. 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第26頁/共73頁28第二節(jié)第二節(jié) 第二類曲線積分第二類曲線積分-向量值函數(shù)向量值函數(shù)在在定向曲線上定向曲線上的積分的積分一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第27頁/共73頁29oxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實例實例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,11111

18、10BMyxMyxMMAnnnn .)()(11jyixMMMMiiiiii 弧弧.ABFW 第28頁/共73頁30求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 第29頁/共73頁31,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時時長度的最

19、大值長度的最大值如果當(dāng)各小弧段如果當(dāng)各小弧段上任意取定的點上任意取定的點為為點點設(shè)設(shè)個有向小弧段個有向小弧段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向光滑曲線弧的一條有的一條有到點到點面內(nèi)從點面內(nèi)從點為為設(shè)設(shè) iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.1.定義定義第30頁/共73頁32.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）曲線積分曲線積分的的上對坐標(biāo)上對坐標(biāo)在有向曲線弧在有向曲線弧則稱此極限

20、為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L第31頁/共73頁332.2.存在條件：存在條件：.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng)LyxQyxP3.3.組合形式組合形式 LLdyyxQdxyxP),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其中其中. LdsF LdyyxQdxyxP),(),(為簡便起見為簡便起見或者向量形式或者向量形式第32頁/共73頁344.4.推廣推廣 空間有向曲

21、線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 第33頁/共73頁355.5.性質(zhì)性質(zhì). ,)2(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成分成如果把如果把則則方方向向相相反反的的有有向向曲曲線線弧弧是是與與是是有有向向曲曲線線弧弧設(shè)設(shè), ,)3(LLL 即即對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān)與曲線的方向有關(guān). . LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(1) (1) 線性

22、性質(zhì)線性性質(zhì)第34頁/共73頁36,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存存在在則則曲曲線線積積分分且且續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)一一階階連連為為端端點點的的閉閉區(qū)區(qū)間間上上具具有有及及在在以以運運動動到到終終點點沿沿的的起起點點從從點點時時到到變變單單調(diào)調(diào)地地由由當(dāng)當(dāng)參參數(shù)數(shù)的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為續(xù)續(xù)上上有有定定義義且且連連在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè) LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理第35頁/共73頁37dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且證明證明: 下面先證下面先證

23、LxyxPd),(tttPd )(),( )(t 根據(jù)定義根據(jù)定義 LxyxPd),( niiiixP10),(lim 對應(yīng)參數(shù)對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點設(shè)分點ix,it),(ii 點點,i 由于由于1 iiixxx)()(1 iitt iit )( 對應(yīng)參數(shù)對應(yīng)參數(shù)第36頁/共73頁38LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(t連續(xù)所以)(t因為因為L 為光滑弧為光滑弧 ,同理可證同理可證LyyxQd),(tttQd )(),()(t第37頁/共73頁39特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終點為，終點為起

24、點為起點為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終點為，終點為起點為起點為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則第38頁/共73頁40.,)()()(:)3( 終點終點起點起點推廣推廣ttztytx dtttttRttttQttttPdzyxRdyyxQdxyxP)()(),(),( )()(),(),( )()(),(),(),(),(),( 第39頁/共73頁41例例1:1:.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算BAxyLxydxL 解解: :的定

25、積分，的定積分，化為對，化為對方法方法x1.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B第40頁/共73頁42的定積分，的定積分，化為對，化為對方法方法y2,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B第41頁/共73頁43.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑為為為其中其中計算計

26、算aBxaAaLdxyL 例例2:2:解解: :,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 03a)(cos)cos1(2 d .343a 32022234)(2)(adxxadxxaaaa 或或第42頁/共73頁44)0 ,(aA)0 ,( aB , 0:)2( yL，變變到到從從aax aadx0原式原式. 0 本題結(jié)論：本題結(jié)論：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，被積函數(shù)相同，起點和終點也相同， 但路徑不同積分結(jié)果不同但路徑不同積分結(jié)果不同. .第43頁/共73頁45例例3:3:).1 , 1(),0 , 1(

27、 )0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解: :.)1(的積分的積分化為對化為對 x, 10,:2變到變到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 第44頁/共73頁46) 0 , 1 (A)1,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對化為對 y,10,:2變到變到從

28、從yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式第45頁/共73頁47,上上在在 OA,10, 0變到變到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變到變到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1,1(B本題結(jié)論本題結(jié)論：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，被積函數(shù)相同，起點和終點也相同， 但路徑不同而積分結(jié)果相同但路徑不同而積分結(jié)果相同.第46頁/共73頁48三、三、

29、 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設(shè)有向平面曲線弧為設(shè)有向平面曲線弧為,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點上點yxL LLdsQPQdyPdx)coscos( 則則其中其中22( )cos,( )( )ttt 22( )cos,( )( )ttt 當(dāng)當(dāng)L的方向是的方向是t增加的方增加的方向時取正號，是向時取正號，是 t減少減少的方向時取負(fù)號。的方向時取負(fù)號。第47頁/共73頁49zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(costsA dsA dst

30、Ad記 A 在 t 上的投影為第48頁/共73頁50將積分將積分yyxQxyxPLd),(d),( 化為對弧長的積化為對弧長的積分分,0222 xyx).0 , 2()0 , 0(BO到到從從解：解：oyxB,22xxy xxxxyd21d2 sdxyd12 xxxd212 sxddcos ,22xx syddcos x 1 yyxQxyxPLd),(d),( syxQyxPLd),(),( 22xx )1 (x 其中其中L 沿上半圓周沿上半圓周第49頁/共73頁51(2,0)(0,0).BO到若改成從若改成從( , )d( , )d =LP x yxQ x yy syxQyxPLd),(),

31、( 22-xx（）(1)-x（）第50頁/共73頁521、對坐標(biāo)曲線積分的概念、對坐標(biāo)曲線積分的概念2、對坐標(biāo)曲線積分的計算、對坐標(biāo)曲線積分的計算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系、兩類曲線積分之間的聯(lián)系第51頁/共73頁53思考題思考題答：答：曲線方向由參數(shù)的變化方向而定曲線方向由參數(shù)的變化方向而定. .例如例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中第52頁/共73頁54一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第53頁/共73頁55v單連通與復(fù)連通區(qū)域 v區(qū)域的邊界曲線的方向 當(dāng)觀察者沿區(qū)域D的邊界曲線L行走時 如果左手在區(qū)域D內(nèi)

32、則行走方向是L的正向 單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域下頁 設(shè)D為平面區(qū)域 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D 則稱D為平面單連通區(qū)域 否則稱為復(fù)連通區(qū)域 第54頁/共73頁56LDQdyPdxdxdyyPxQ)( v定理1 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則有 其中L是D的取正向的邊界曲線 格林公式 定理證明應(yīng)注意的問題: 對復(fù)連通區(qū)域D 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向 下頁第55頁/共73頁57提示: 格林公式: v用格林公式計算區(qū)域的面積 下頁LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 設(shè)區(qū)域D的

33、邊界曲線為L 則DLdxdyxdyydx2 或在格林公式中 令Py Qx 則有 LydxxdyA21 或LDydxxdydxdyA21 第56頁/共73頁58格林公式: v用格林公式計算區(qū)域的面積 例1 求橢圓xacos ybsin 所圍成圖形的面積A LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L 則LydxxdyA21 解 設(shè)L是由橢圓曲線 則 LydxxdyA212022)cossin(21dabababdab2021LydxxdyA212022)cossin(21dabab abdab2021 下頁第57頁/共73頁59提示:因此 由格林公式有 下頁LDQdyPdxdxd

34、yyPxQ)( 格林公式: v用格林公式計算二重積分 例 2 計算Dydxdye2 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為頂點的三角形閉區(qū)域 解 要使2yeyPxQ 只需 P0 2yxeQ 令 P0 2yxeQ 則2yeyPxQ 第58頁/共73頁60因此 由格林公式有 下頁LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: v用格林公式計算二重積分 例 2 計算Dydxdye2 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為頂點的三角形閉區(qū)域 解 BOABOAyDydyxedxdye22)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022e

35、dxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy BOABOAyDydyxedxdye22 令 P0 2yxeQ 則2yeyPxQ 第59頁/共73頁61v用格林公式求閉曲線積分 令P2xy Qx2 則 證 因此 由格林公式有 下頁LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 格林公式: 例3 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線 證明 Ldyxxydx022 022xxyPxQ 0022dxdydyxxydxDL0022dxdydyxxydxDL 第60頁/共73頁62提示: 解 yPyxxyxQ22222)( 022Lyxydxxdy 下頁 例 4 計算Lyxydxxdy22 其

36、中 L 為一條無重點、分段光滑且 不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線 L的方向為逆時針方向 當(dāng)(0 0)D時 由格林公式得 記L所圍成的閉區(qū)域為D 這里22yxyP 22yxxQ 當(dāng)x2y20時 有 第61頁/共73頁63在D內(nèi)取一圓周l: x2y2r2(r0) 例 4 計算Lyxydxxdy22 其中 L 為一條無重點、分段光滑且 不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線 L的方向為逆時針方向 當(dāng)(0 0)D時 解 記L所圍成的閉區(qū)域為D 記L及l(fā)所圍成的復(fù)連通區(qū)域為D1 應(yīng)用格林公式得0)(122 dxdyyPxQyxydxxdyDlL 其中l(wèi)的方向取順時針方向 于是 lLyxydxxdyyxydxxdy2222202

37、2222sincosdrrrlLyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrr2 第62頁/共73頁64v曲線積分與路徑無關(guān) 下頁 設(shè)G是一個開區(qū)域 P(x y)、Q(x y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 21LLQdyPdxQdyPdx與路徑無關(guān) 否則說與路徑有關(guān) 如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點A、B以及G內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L1、L2 等式恒成立 就說曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi) 第63頁/共73頁65二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件v曲線積分與路徑無關(guān) 這是因為 設(shè)L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點A到點B的曲線 則L1(L2)是G內(nèi)一條任意的閉曲線 而

38、且有021LLQdyPdxQdyPdx 0)(21 LLQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx 意閉曲線 C 的曲線積分LQdyPdx等于零曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G 內(nèi)任下頁第64頁/共73頁66在 G 內(nèi)恒成立xQyP閉曲線的曲線積分為零)的充分必要條件是等式數(shù) 則曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)(或沿 G 內(nèi)任意設(shè)函數(shù)P(x y)及Q(x y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件v曲線積分與路徑無關(guān) v定理2 (曲線積分與路徑無關(guān)的判斷方法) 下頁定理證明 意閉曲線 C 的曲線積分LQdyPdx等于零曲線積分LQdyPdx在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G 內(nèi)任第65頁/共73頁67v應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問題 (1)區(qū)域G是單連通區(qū)域 2函數(shù)P(x y)及Q(x y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 如果這兩個條件之一不能滿足 那么定理的結(jié)論不能保