高中數(shù)學必修一第三章 3.4(一) (2)

1、1 / 18 34 函數(shù)的應用函數(shù)的應用(一一) 學習目標 初步體會一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型的廣泛應用，能運用函數(shù)思想處理現(xiàn)實生活中的簡單應用問題 知識點一 一次函數(shù)模型 形如 ykxb的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中 k0. 知識點二 二次函數(shù)模型 1一般式：yax2bxc(a0) 2頂點式：ya(xh)2k(a0) 3兩點式：ya(xm)(xn)(a0) 知識點三 冪函數(shù)模型 1解析式：yaxb(a，b，為常數(shù)，a0) 2單調(diào)性：其增長情況由 x中的 的取值而定 預習小測 自我檢驗 1小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛與以上事件吻

2、合得最好的圖象是( ) 2 / 18 答案 c 解析 由題意，先勻速行駛，位移時間圖象應是直線，停留一段時間，應該是平行于 x 軸的一段線段，之后加速，應該是上凸的曲線 2隨著海拔高度的升高，大氣壓強下降，空氣中的含氧量也隨之下降，且含氧量 y(g/m3)與大氣壓強 x(kpa)成正比例函數(shù)關系當 x36 kpa 時，y108 g/m3，則 y 與 x 的函數(shù)關系式為( ) ay3x(x0) by3x cy13x(x0) dy13x 答案 a 一、一次函數(shù)模型的應用實例 例 1 某報刊亭從報社買進報紙的價格是每份 0.24 元，賣出的價格是每份 0.40 元，賣不掉的報紙可以以每份 0.08

3、元的價格退回報社在一個月(以 30 天計算)里，有 20 天每天可賣出400 份，其余 10 天每天只能賣出 250 份，但每天從報社買進的報紙份數(shù)必須相同，試問報刊亭攤主應該每天從報社買進多少份報紙，才能使每月所獲利潤最大 解 設每天從報社買進 x份(250 x400)報紙； 每月所獲利潤是 y元，則每月售出報紙共(20 x10250)份； 每月退回報社報紙共 10(x250)份 依題意得，y(0.400.24)(20 x10250)(0.240.08)10(x250) 即 y0.16(20 x2 500)0.16(10 x2 500)， 化簡得 y1.6x800，其中 250 x400，

4、3 / 18 因為此一次函數(shù)(ykxb，k0)的 k1.60， 所以 y 是一個單調(diào)增函數(shù)，再由 250 x400 知， 當 x400時，y取得最大值， 此時 y1.64008001 440(元) 所以買進 400份所獲利潤最大，獲利 1 440元 反思感悟 一次函數(shù)模型的特點和求解方法 (1)一次函數(shù)模型的突出特點是其圖象是一條直線 (2)解一次函數(shù)模型時，注意待定系數(shù)法的應用，主要步驟是：設元、列式、求解 跟蹤訓練 1 某長途汽車客運公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定質(zhì)量的行李若超過規(guī)定的質(zhì)量，則需購買行李票，行李費用 y(元)是行李質(zhì)量 x(kg)的一次函數(shù)，其圖象如圖所示 (1)根據(jù)圖象數(shù)據(jù)，

5、求 y 與 x 之間的函數(shù)關系式 (2)問旅客最多可免費攜帶行李的質(zhì)量是多少？ 解 (1)設 y與 x之間的函數(shù)關系式為 ykxb. 由圖象可知，當 x60時，y6； 當 x80時，y10. 所以 60kb6 ，80kb10.解得 k15，b6. 所以 y 與 x 之間的函數(shù)關系式為 y 15x6，x30，0，x30. (2)根據(jù)題意，當 y0時，x30. 所以旅客最多可免費攜帶行李的質(zhì)量為 30 kg. 4 / 18 二、二次函數(shù)模型的應用實例 例 2 牧場中羊群的最大蓄養(yǎng)量為 m只，為保證羊群的生長空間，實際蓄養(yǎng)量不能達到最大蓄養(yǎng)量，必須留出適當?shù)目臻e率已知羊群的年增長量 y 只和實際蓄養(yǎng)

6、量 x 只與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為 k(k0)(空閑率指空閑量與最大蓄養(yǎng)量的比值) (1)寫出 y 關于 x的函數(shù)關系式，并指出這個函數(shù)的定義域； (2)求羊群年增長量的最大值； (3)當羊群的年增長量達到最大值時，求 k 的取值范圍 解 (1)根據(jù)題意，由于最大蓄養(yǎng)量為 m 只，實際蓄養(yǎng)量為 x只， 則蓄養(yǎng)率為xm，故空閑率為 1xm， 由此可得 ykx1xm(0 xm) (2)對原二次函數(shù)配方，得 ykm(x2mx) kmxm22km4. 即當 xm2時，y取得最大值km4. (3)由題意知為給羊群留有一定的生長空間， 則有實際蓄養(yǎng)量與年增長量的和小于最大蓄養(yǎng)量， 即 0 xym.

7、 因為當 xm2時，ymaxkm4， 所以 0m2km4m， 解得2k0，所以 0k0，則 0 x13. y(52040 x)x20040 x2520 x200 40(x6.5)21 490,0 x13. 易知，當 x6.5 時，y有最大值 所以只需將銷售單價定為 11.5 元，就可獲得最大利潤 三、冪函數(shù)與分段函數(shù)模型 例 3 (1)某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入 x(萬元)與藥品利潤 y(萬元)存在的關系為 yx( 為常數(shù))，其中 x 不超過 5 萬元，已知去年投入廣告費用為 3 萬元時，藥品利潤為 27萬元，若今年廣告費用投入 5 萬元，預計今年藥品利潤為_萬元 答案 1

8、25 解析 由已知投入廣告費用為 3 萬元時，藥品利潤為 27 萬元，代入 yx中，即 327，解得 3，故函數(shù)解析式為 yx3，所以當 x5 時，y125. (2)手機上網(wǎng)每月使用量在 500 分鐘以下(包括 500 分鐘)、60 分鐘以上(不包括 60 分鐘)按 306 / 18 元計費，超過 500 分鐘的部分按 0.15 元/分鐘計費，假如上網(wǎng)時間過短，使用量在 1 分鐘以下不計費，在 1 分鐘以上(包括 1 分鐘)按 0.5 元/分鐘計費，手機上網(wǎng)不收通話費和漫游費 12月份小王手機上網(wǎng)使用量 20小時，要付多少錢？ 小舟 10 月份付了 90 元的手機上網(wǎng)費，那么他上網(wǎng)時間是多少？

9、 電腦上網(wǎng)費包月 60元/月，根據(jù)時間長短，你會選擇哪種方式上網(wǎng)呢？ 解 設上網(wǎng)時間為 x 分鐘，由已知條件知所付費用 y 關于 x 的函數(shù)解析式為 y 0，0 x1，0.5x，1x60，30，60500. 當 x20601 200，即 x500 時，應付 y300.15(1 200500)135(元) 90 元已超過 30 元，所以上網(wǎng)時間超過 500 分鐘，由 300.15(x500)90 可得，上網(wǎng)時間為 900分鐘 令 60300.15(x500)， 解得 x700. 故當一個月經(jīng)常上網(wǎng)(一個月使用量超過 700 分鐘)時選擇電腦上網(wǎng)，而當短時間上網(wǎng)(一個月使用量不超過 700分鐘)時

10、選擇手機上網(wǎng) 反思感悟 (1)處理冪函數(shù)模型的步驟 閱讀理解、認真審題 用數(shù)學符號表示相關量，列出函數(shù)解析式 根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)推導運算，求得結果 轉(zhuǎn)化成具體問題，給出解答 (2)應用分段函數(shù)時的三個注意點 分段函數(shù)的“段”一定要分合理，不重不漏 分段函數(shù)的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集 7 / 18 分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結論 跟蹤訓練 3 經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在過去 50 天的銷售量和價格均為銷售時間 t(天)的函數(shù)，且銷售量近似地滿足 f(t)2t200(1t50，tn)，前 30 天價格為 g(t)12t30(1t30，tn)，后 20 天價格為

11、g(t)45(31t50，tn) (1)寫出該種商品的日銷售額 s與時間 t的函數(shù)關系； (2)求日銷售額 s的最大值 解 (1)根據(jù)題意得 s (2t200)12t30 ，1t30，tn，45(2t200)，31t50，tn， 即 s t240t6 000，1t30，tn，90t9 000，31t50，tn. (2)當 1t30，tn 時，s(t20)26 400， 當 t20 時，s的最大值為 6 400. 當 31t50，tn 時，s90t9 000 為減函數(shù)， 當 t31 時，s的最大值是 6 210. 因為 6 2106 400， 所以當 t20 時，日銷售額 s有最大值 6 400

12、. 1某廠日產(chǎn)手套總成本 y(元)與手套日產(chǎn)量 x(副)的函數(shù)解析式為 y5x4 000，而手套出廠價格為每副 10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為( ) a200副 b400副 c600副 d800副 答案 d 8 / 18 解析 每天的利潤 w(x)10 xy 10 x(5x4 000) 5x4 000. 令 w(x)0，5x4 0000，解得 x800. 所以為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為 800副 2一輛汽車在某段路程中的行駛速度 v 與時間 t 的關系圖象如圖所示，則當 t2 時，汽車已行駛的路程為( ) a100 km b125 km c150 km d225 km 答案 c 解析

13、 t2時，汽車行駛的路為 s500.57511000.5257550 150(km) 3按復利計算利率的儲蓄，存入銀行 5 萬元，年息為 6%，利息稅為 20%,4 年后支取，可得利息稅為人民幣( ) a5(10.06)4萬元 b(50.06)4萬元 c(10.06)41萬元 d(10.06)31萬元 答案 c 解析 由已知 4 年利息和為 5(16%)45，扣除 20%的利息稅， 9 / 18 即得利息稅為人民幣 5(16%)4120%(16%)41(10.06)41. 4用長度為 24 m的材料圍成一矩形場地，并且中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為_ m. 答案 3 解析

14、設隔墻的長為 x m，矩形面積為 s m2， 則 sx244x2x(122x)2x212x 2(x3)218,0 x6， 所以當 x3 時，s 有最大值為 18. 5某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本 y(萬元)與年產(chǎn)量 x(噸)之間的函數(shù)關系式可以近似地表示為 yx2548x8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為 210噸若每噸產(chǎn)品平均出廠價為 40 萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 解 設可獲得總利潤為 r(x)萬元， 則 r(x)40 xy40 xx2548x8 000 x2588x8 000 15(x220)21 680,0 x21

15、0. r(x)在0,210上是增函數(shù)， 當 x210 時， r(x)max15(210220)21 6801 660(萬元) 年產(chǎn)量為 210 噸時，可獲得最大利潤 1 660 萬元 10 / 18 1知識清單：實際問題中四種函數(shù)模型：一次函數(shù)模型，二次函數(shù)模型，冪函數(shù)模型，分段函數(shù)模型 2方法歸納： 解函數(shù)應用題的基本步驟：審題，建模，求模，還原 3常見誤區(qū)：函數(shù)的實際應用問題易忽視函數(shù)的定義域 1據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為 2 000 輛次，其中變速車存車費是每輛一次 0.8元，普通車存車費是每輛一次 0.5元，若普通車存車數(shù)為 x輛次，存車費總收入為 y元，則 y關于 x

16、 的函數(shù)關系式是( ) ay0.3x800(0 x2 000，xn*) by0.3x1 600(0 x2 000，xn*) cy0.3x800(0 x2 000，xn*) dy0.3x1 600(0 x2 000，xn*) 答案 d 解析 由題意知，變速車存車數(shù)為(2 000 x)輛次， 則總收入 y0.5x(2 000 x)0.8 0.5x1 6000.8x 0.3x1 600(0 x2 000，xn*) 2一種新型電子產(chǎn)品計劃投產(chǎn)兩年后，使成本降 36%，那么平均每年應降低成本( ) a18% b20% c24% d36% 答案 b 11 / 18 解析 設平均每年降低成本 x， 則(1x

17、)20.64，得 x0.220%. 3某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量的收入是( ) a310元 b300元 c290元 d280元 答案 b 解析 設 ykxb(k0)，代入(1,800)和(2,1 300)， 則 kb800，2kb1 300，得 k500，b300. 所以 y500 x300，當 x0時，y300. 4 某 公 司 招 聘 員 工 ， 面 試 人 數(shù) 按 擬 錄 用 人 數(shù) 分 段 計 算 ， 計 算 公 式 為y 4x，1x10，xn*，2x10，10 x10，不合題意； 若 2x10

18、60，則 x25，滿足題意； 若 1.5x60， 12 / 18 則 x40100，不合題意， 故擬錄用人數(shù)為 25. 5某商場以每件 30 元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量 m(件)與售價 x(元)滿足一次函數(shù)：m1623x，若要每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價應定為( ) a30元 b42元 c54元 d越高越好 答案 b 解析 設當每件商品的售價為 x 元時，每天獲得的銷售利潤為 y元 由題意得，ym(x30)(x30)(1623x) 上式配方得 y3(x42)2432. 所以當 x42時，利潤最大 6生產(chǎn)某機器的總成本 y(萬元)與產(chǎn)量 x(臺)之間的函數(shù)關系

19、式是 yx275x，若每臺機器售價為 25 萬元，則該廠獲利潤最大時應生產(chǎn)機器_臺 答案 50 解析 設安排生產(chǎn) x 臺，則獲得利潤 f(x)25xyx2100 x (x50)22 500. 故當 x50 臺時，獲利潤最大 7甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是 2 km.如圖表示甲同學從家出發(fā)到乙同學家經(jīng)過的路程 y(km)與時間 x(min)的關系，其中甲在公園休息的時間是 10 min，那么 yf(x)的解析式為_ 13 / 18 答案 yf(x) 115x，0 x30，2，30 x40，110 x2，40 x60 解析 由題圖知所求函數(shù)是一個

20、分段函數(shù)，且各段均是直線，可用待定系數(shù)法求得 yf(x) 115x，0 x30，2，30 x1 000得，x7003， 故每天至少需要賣出 234張門票 10某電腦公司在甲、乙兩地各有一個分公司，甲分公司有電腦 6臺，乙分公司現(xiàn)有同一型號的電腦 12 臺現(xiàn) a 地某單位向該公司購買該型號的電腦 10 臺，b 地某單位向該公司購買該型號的電腦 8 臺已知從甲地運往 a，b 兩地每臺電腦的運費分別是 40 元和 30 元，從乙地運往 a，b 兩地每臺電腦的運費分別是 80元和 50元 (1)設甲地調(diào)運 x 臺至 b 地，該公司運往 a，b 兩地的總運費為 y 元，求 y 關于 x 的函數(shù)解析式；

21、(2)若總運費不超過 1 000元，問能有幾種調(diào)運方案？ 解 (1)甲地調(diào)運 x 臺到 b地， 則剩下(6x)臺電腦調(diào)運到 a 地； 乙地應調(diào)運(8x)臺電腦至 b 地，運往 a 地 12(8x)(x4)臺電腦(0 x6，xn)， 則總運費 y30 x40(6x)50(8x)80(x4)20 x960， 15 / 18 所以 y20 x960(xn，且 0 x6) (2)若使 y1 000， 即 20 x9601 000，得 x2. 又 0 x6，xn， 所以 0 x2，xn. 所以 x0,1,2，即有 3種調(diào)運方案 11一水池有兩個進水口，一個出水口，每個水口的進、出水速度如圖甲、乙所示某天

22、 0時到 6 時，該水池的蓄水量如圖丙所示 給出以下 3 個論斷： 0點到 3點只進水不出水； 3點到 4點不進水只出水； 4點到 6點不進水不出水 則一定正確的是( ) a b c d 答案 a 解析 由甲乙兩圖知，出水的速度是進水的 2 倍，所以 0 點到 3 點只進水不出水，3 點到 4點水量減少，則一個進水口進水，另一個關閉，出水口出水；4 點到 6 點水量不變，可能是不進水不出水或兩個進水口進水，一個出水口出水，所以只有正確，故選 a. 12某種電熱水器的水箱盛滿水是 200 升，加熱到一定溫度可浴用浴用時，已知每分鐘放16 / 18 水 34 升，在放水的同時注水，t 分鐘注水 2

23、t2升，當水箱內(nèi)水量達到最小值時，放水自動停止現(xiàn)假定每人洗浴用水 65 升，則該熱水器一次至多可供幾人洗澡？( ) a3 人 b4 人 c5 人 d6 人 答案 b 解析 水箱內(nèi)水量 y2002t234t， 當 t172時，y有最小值， 此時共放水 34172289(升)，289654.4， 故至多可供 4人洗澡 13.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖所示，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形的兩邊長 x，y 應分別為_ 答案 15,12 解析 由題干圖知 x，y滿足關系式x2024y16， 即 y2445x， 矩形

24、的面積 sxyx2445x 45(x15)2180， 故 x15，y12 時，s 取最大值 14某市出租車收費標準如下：起步價為 8 元，起步里程為 3 千米(不超過 3 千米按起步價17 / 18 付費)；超過 3 千米但不超過 8 千米時，超過部分按每千米 2.15 元收費；超過 8 千米時，超過部分按每千米 2.85 元收費，另每次乘坐需付燃油附加費 1 元若某人乘坐出租車行駛了5.6 千米，則需付車費_元，若某人乘坐一次出租車付費 22.6 元，則此出租車行駛了_千米 答案 14.59 9 解析 設出租車行駛 x千米時，付費 y元， 則 y 9，0 x3，82.15(x3)1，38， 當 x5.6時，y82.152.6114.59(元) 由 y22.6，知 x8， 由 82.1552.85(x8)122.6， 解得 x9. 15某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品 x 噸所需費用為 p 元，而賣出 x 噸的價格為每噸