高中數(shù)學(xué)必修二第1課時余弦定理、正弦定理

1、1 / 24 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第 1 課時 余弦定理、正弦定理 基礎(chǔ)過關(guān)練 題組一 余弦定理 1.abc中,內(nèi)角 a,b,c所對的邊分別為 a,b,c.若 a=1,c=2,cos b=12,則b=( ) a.2 b.3 c.2 d.3 2.在abc中,| |=3,| |=5,| |=7,則 的值為( ) a.-32 b.32 c.-152 d.152 3.邊長為 5,7,8 的三角形的最大角與最小角的和是( ) a.150 b.90 c.135 d.120 4.在abc中,a,b,c分別是角 a,b,c的對邊,若(a-b-c)(a-b+c)+ab=0 且sin a=12,則 b

2、=( ) a.2 b.3 c.4 d.6 5.在abc中,角 a,b,c所對的邊分別為 a,b,c,若 a=10,b=15,a=30 ,則此三角形( ) 2 / 24 a.無解 b.有一個解 c.有兩個解 d.解的個數(shù)不確定 6.(2020 福建廈門雙十中學(xué)高三上期中)abc的內(nèi)角 a,b,c所對的邊分別為 a,b,c.已知 a=60 ,c=8,a=b+2,那么abc的周長等于( ) a.12 b.20 c.26 d.103 7.(2020 山東濟(jì)寧高一上期末)在abc中,b=4,bc邊上的高等于13bc,則 cosbac=( ) a.31010 b.1010 c.-1010 d.-31010

3、 8.(2019 山東菏澤一模)在abc中,內(nèi)角 a,b,c的對邊分別為 a,b,c.若a=2,c=2,cos a=-24,則 b的值為 . 9.在abc中,2+2+2(cos+cos+cos)= . 10.在abc中,已知 bc=7,ac=8,ab=9,則 ac邊上的中線長為 . 11.如圖,在abc中,已知點(diǎn) d 在邊 bc上,且dac=90 ,sinbac=223,ab=32,ad=3.求 bd 的長. 3 / 24 12.在abc中,內(nèi)角 a,b,c的對邊分別為 a,b,c,且 a=3,b=2,2cos2 +2-cos 2c=1. (1)求 c的大小; (2)求的值. 4 / 24 題

4、組二 正弦定理 13.在abc中,內(nèi)角 a,b,c所對的邊分別為 a,b,c.下列關(guān)系式中一定成立的是( ) a.absin a b.a=bsin a c.a,不合題意.故選 a. 5.c 由 a2=b2+c2-2bccos a,得 102=152+c2-2 15 ccos 30 ,c2-153c+125=0,解得c=153572(5,25), c有兩解,即abc 有兩個解,故選 c. 6.b 根據(jù) cos a=2+2-22及已知得12=2+64-(b+2)216,解得 b=5,所以 a=b+2=7,所以abc 的周長等于 7+5+8=20.故選 b. 7.c 設(shè) bc 邊上的高為 ad,則

5、bc=3ad,又知 b=4,所以 ad=bd,所以 dc=2ad,所以 ac=2+ d2=5ad,ab=2ad.在abc 中,由余弦定理的推論,知cosbac=2+a2-b22=22+5a2-9a222ad5ad=-1010,故選 c. 8.答案 1 13 / 24 解析 由余弦定理的推論可得 cos a=2+2-22=2+2-422b=-24,整理得 b2+b-2=0,解得b=1或 b=-2(舍去). 9.答案 12 解析 原式=2+2+2 cos+cos+cos= (2+2-22)+ac(2+2-22)+ab(2+2-22)2+2+2=2+2+22(2+2+2)=12. 10.答案 7 解

6、析 由余弦定理的推論及已知得 cos a=2+a2-b22=92+82-72298=23.設(shè) ac 邊上的中線長為 x,由余弦定理,得 x2=(2)2+ab2-22abcos a=42+92-2 4 923=49,所以x=7(負(fù)值舍去).所以 ac 邊上的中線長為 7. 11.解析 dac=90 , sinbac=sin(90 +bad)=cosbad, cosbad=223. 在abd中,由余弦定理,得 bd2=ab2+ad2-2abadcosbad,即 bd2=18+9-2 32 3223=3,bd=3. 12.解析 (1)在abc 中,2cos2+2-cos 2c=1,2sin2 2-c

7、os 2c=1, cos 2c+1-2sin2 2=cos 2c+cos c=0, 2cos2c+cos c-1=0,解得 cos c=12或 cos c=-1(舍去). 又0c,c=3. 14 / 24 (2)a=3,b=2, 在abc 中,由余弦定理,得 c=2+ 2-2abcos=9 + 4-6=7, =72. 13.d 由sin=sin,得 a=sinsin.在abc 中,0sin b1,1sin1,absin a. 14.d 設(shè)abc 的外接圓的半徑為 r, 則由正弦定理可得sin=2r, 即 2r=22sin135=2222=4,所以 r=2, 所以abc 的外接圓的面積 s=r2

8、=4.故選 d. 15.b 由sin=sin,得 sin a=sin=232222=32, 0 a135 ,a=60 或a=120 . 16.d a=6,a=60 ,b=75 , c=180 -60 -75 =45 , 由sin=sin,得 c=sinsin=6sin45sin60=26.故選 d. 17.bc 選項(xiàng) a:因?yàn)?a=45 ,c=70 ,所以 b=65 ,三角形的三個角是確定的值,故只有一解.選項(xiàng) b:因?yàn)?sin c=sin=8315b,所以角 c 有兩解.選項(xiàng) c:因?yàn)?sin b=sin=427a,所以角 b 有兩解.選項(xiàng) d:因?yàn)?sin b=sin1,且 ba,所以角b

9、 僅有一解.故選 bc. 18.c 由 3bcos c=c(1-3cos b)及正弦定理可得 3sin bcos c=sin c(1-3cos b),化簡可得 sin c=3sin(b+c).又 a+b+c=, sin c=3sin a,ca=sin csin a=31.故選 c. 19.答案 63 15 / 24 解析 a=3,b=26,b=2a, 由正弦定理可得sin=sin=2sincos, cos a=2=2623=63. 20.答案 23-2 解析 a=60 ,c=45 ,b=75 ,最小邊長為 c.由正弦定理,得2sin75=sin45.又 sin 75 =sin(45 +30 )

10、=sin 45 cos 30 +cos 45 sin 30 =6+24,c=2sin45sin75=2226+24=23-2. 21.解析 (1)cos b=45,0b, sin b=1-cos2b=1-(45)2=35. 由正弦定理,得sin=sin, ab=sinsin=62235=52. (2)在abc 中,a+b+c=, a=-(b+c), cos a=-cos(b+c)=-cos( +4) =-cos bcos 4+sin bsin 4. 又 cos b=45,sin b=35, cos a=-4522+3522=-210. 0a,sin a=1-cos2a=7210. 16 / 2

11、4 cos(-6)=cos acos 6+sin asin 6 =-21032+721012=72-620. 22.解析 由 tan +2+tan 2=4, 得 tan -2+tan 2=4, 即sin -2cos -2+sin 2cos 2=4, 整理得cos2 2+sin2 2sin 2cos 2=4, 又sin c=2sin 2cos 2,2sin=4, sin c=12. 又 c(0,),c=6或 c=56. 又 sin bsin c=cos2 2=1+cos2=1-cos(+)2,即 2sin bsin c=1-cos(b+c)=1-cos bcos b+sin bsin c, co

12、s bcos c+sin bsin c=1, cos(b-c)=1, b(0,),b-c=0, b=c=6,故 a=23. 由正弦定理得sin=sin=sin=23sin 23=4, 所以 b=c=4sin 6=2.故 b=c=2,a=23,b=6. 17 / 24 23.c 解法一:由余弦定理,得 cos c=2+2-22=2,整理得 b2=c2,即 b=c,故該三角形一定為等腰三角形. 無法判斷其是不是直角三角形.故選 c. 解法二:a=2bcos c, 由正弦定理得 sin a=2sin bcos c. 又a+b+c=, sin a=sin-(b+c) =sin(b+c)=sin bco

13、s c+cos bsin c. 2sin bcos c=sin bcos c+cos bsin c. sin bcos c-cos bsin c=0, 即 sin(b-c)=0. 0b 且 0c,-b-c. b-c=0,即 b=c. abc 為等腰三角形.無法判斷其是不是直角三角形.故選 c. 24.b 解法一:由 bcos c+ccos b=asin a及正弦定理得 sin bcos c+sin ccos b=sin2a,即 sin(b+c)=sin2a,即 sin a=sin2a.易知 0a,sin a0,所以 sin a=1,即a=2,所以abc 為直角三角形.故選 b. 解法二:由余弦

14、定理的推論及已知得 b2+2-22+c2+2-22=asin a,整理得2a2=2a2sin a,易知 a20,所以 sin a=1,又 0a0),則(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x20,所以新三角形中最大邊所對的角是銳角,所以新三角形是銳角三角形. 27.ab 解法一:acos a=bcos b, 由余弦定理的推論得,a2+2-22=b2+2-22, 整理得 a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), a2c2-a4-b2c2+b4=0, c2(a2-b2)+(b2+a2)(b2-a2)=0,

15、(b2-a2)(a2+b2-c2)=0, b2=a2或 a2+b2-c2=0, b=a或c=90 , abc 為等腰三角形或直角三角形. 故選 ab. 解法二:由正弦定理及已知,得 sin acos a=sin bcos b,即 sin 2a=sin 2b. 因?yàn)?2a,2b(0,2), 所以 2a=2b 或 2a+2b=, 19 / 24 即 a=b 或 a+b=2,所以abc 為等腰三角形或直角三角形,故選 ab. 易錯警示 注意區(qū)分等腰直角三角形和等腰或直角三角形,等腰直角三角形是等腰且直角三角形,理解“或”和“且”的區(qū)別. 能力提升練 1.a 由sin=sin,得 sin b=sin=

16、2sin6023=12, ba,ba,b=30 ,故選 a. 易錯警示 本題易錯選 c.要注意題中的隱含條件“ba,即 b0. 由余弦定理的推論得 cos b=2+2-22=92+362-252236=59, 則 sin b=1-cos2b=2149. 3.答案 12 解析 因?yàn)?sin(a-c)=sin b-34, 所以 sin(a-c)=sin(a+c)-34, 所以 2cos asin c=34. 因?yàn)?=sincos,所以 2sin acos c=sin2b, 所以 2(sin acos c+cos asin c)=sin2b+34, 整理得 sin2b-2sin b+34=0,解得

17、sin b=12或 sin b=32(舍去).故答案為12. 20 / 24 4.解析 設(shè)正方形的邊長為 x(1x3),abp=,則cbp=90 -. 在abp 中,cosabp=2+22-124=2+34,在cbp 中,coscbp=2+22-324=2-54,又cos2abp+cos2cbp=1,(2+34)2+(2-54)2=1,即 x4-10 x2+17=0,x2=5+22或x2=5-22.如果 x2=5-22,那么 ac=10-423,點(diǎn) p 到點(diǎn) c 的距離不可能為 3,x2=5-22舍去,x=5 + 22,即正方形的邊長為5 + 22. 主編點(diǎn)評 當(dāng)已知條件中邊的關(guān)系較多時,可考

18、慮用余弦定理,同時方程思想的運(yùn)用在本題中得到了充分的體現(xiàn). 5.b 因?yàn)闈M足條件的三角形有兩個,所以 asin cca,所以22a2a,所以2a2. 6.a 由題意得 a2+c2-b2=3ac, 由余弦定理的推論得 cos b=3ac2=32. 又 b 為銳角三角形 abc 的內(nèi)角,b=6. cos a+sin c=cos a+sin(56-a)=32sin a+32cos a=3sin( +3). abc 為銳角三角形, 0 2,0 56-a 2, 3a2. 23a+356,12sin( +3)32, 323sin( +3)32. 故 cos a+sin c 的取值范圍為(32,32). 2

19、1 / 24 7.d 根據(jù)余弦定理的推論得+=cos b+cos c=2+2-22+2+2-22,整理得2b2c+2bc2=a2b+bc2-b3+a2c+b2c-c3,即 b2c+bc2=a2b+a2c-(b3+c3),所以(b+c)(b2+c2-a2)=0,所以 b2+c2=a2,所以 a=90 ,sin a=1,則 bc=8,所以a+b+c=2+ 2+(b+c)2+2=4+42,當(dāng)且僅當(dāng) b=c=22時取等號,所以abc 的周長的最小值為 4+42.故選 d. 8.答案 4;(22,23) 解析 因?yàn)?c=2a,所以 sin c=2sin acos a,由正弦定理得 c=2acos a,所

20、以cos=2a=4.因?yàn)閍bc 是銳角三角形,所以 c=2a(0,2),b=-a-c=-3a(0,2),所以 a(6,4),所以 cos a(22,32),所以 c=4cos a(22,23). 9.答案 3;(1+3,4+23) 解析 由正弦定理,可得 asin c=csin a=2sin 3=3. 由sin=sin=sin,可得 a=sinsin=3sin,b=sinsin=2sin(23-c)sin, 所以 a+b=3sin+3cos+sinsin =1+3(1+cos)sin=1+23cos2 22sin 2cos 2 =1+3tan 2. 由abc 是銳角三角形,可得 0c2,023

21、-c2,所以6c2, 所以1224,所以 2-3tan 21. 所以 11tan22+3, 所以 1+31+3tan 24+23, 22 / 24 即 1+3a+b4+23. 10.a 因?yàn)?c2sin a=4sin c, 所以 c2a=4c,即 ac=4. 由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos b=a2+c2-4,所以 a2+c2-b2=4. 所以 sabc=1422-(2+2-22)2=1442-(42)2=3.故選 a. 11.a 向量 m=(,cos2),n=(,cos2)共線, acos2=bcos2. 由正弦定理得 sin acos2=sin bcos2. 2sin2cos2cos2=2sin2cos2cos2. cos2