高中數(shù)學(xué)選修一雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用

1、- 1 - / 8 雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用 （4545 分鐘分鐘 100100 分）分） 一、選擇題一、選擇題( (每小題每小題 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.(2012湖南高考)已知雙曲線 c:-=1 的焦距為 10,點(diǎn) p(2,1)在 c 的漸近線上,則 c 的方程為( ) a.-=1 b.-=1 c.-=1 d.-=1 2.(2013昆明高二檢測(cè))過雙曲線 x2-=1 的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于 a,b兩點(diǎn),若|ab|=16,這樣的直線有( ) a.一條 b.兩條 c.三條 d.四條 3.(2013大理高二檢測(cè))若點(diǎn) o 和點(diǎn) f1(-2,0)分

2、別是雙曲線-y2=1(a0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn) p 為雙曲線右支上的一點(diǎn),并且 p 點(diǎn)與右焦點(diǎn) f2的連線垂直 x 軸,則線段 op 的長(zhǎng)為( ) a. b. c. d. 4.(2013聊城高二檢測(cè))雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別是 f1,f2,過 f1作傾斜角為 30的直線交雙曲線右支于 m 點(diǎn),若 mf2垂直于 x 軸,則雙曲線的離心率為( ) - 2 - / 8 a. b. c. d. 5.已知點(diǎn) m(1,4),雙曲線-y2=1 的左頂點(diǎn)為 a,若雙曲線一條漸近線與直線 am平行,則實(shí)數(shù) a 等于( ) a. b. c. d. 二、填空題二、填空題( (每小題每小題 8 8

3、分分, ,共共 2424 分分) ) 6.已知雙曲線 an-1y2-anx2=an-1an的焦點(diǎn)在 y 軸上,一條漸近線方程為 y=x,其中an是以 4 為首項(xiàng)的正項(xiàng)數(shù)列,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 . 7.雙曲線-=1 上一點(diǎn) p 到右焦點(diǎn)的距離是實(shí)軸兩端點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的等差中項(xiàng),則 p 點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為 . 8.(2013吉林高二檢測(cè))已知雙曲線-=1(a0,b0)的兩條漸近線方程為 y=x,若頂點(diǎn)到漸近線的距離為 1,則雙曲線方程為 . 三、解答題三、解答題(9(9 題題,10,10 題題 1414 分分,11,11 題題 1818 分分) ) 9.(2013洛陽高二檢測(cè))直線 l:y=k

4、x+1 與雙曲線 c:2x2-y2=1 的右支交于不同的兩點(diǎn) a,b,求實(shí)數(shù) k 的取值范圍. 10.已知雙曲線 c1:x2-=1. (1)求與雙曲線 c1有相同的焦點(diǎn),且過點(diǎn) p(4,)的雙曲線 c2的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)直線 l:y=x+m 分別交雙曲線 c1的兩條漸近線于 a,b 兩點(diǎn).當(dāng)=3 時(shí),求實(shí)數(shù) m 的值. - 3 - / 8 11.(能力挑戰(zhàn)題)已知雙曲線 c:-=1(a0,b0)的漸近線方程為 y=x,o為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn) m(,)在雙曲線上. (1)求雙曲線 c 的方程. (2)若直線 l 與雙曲線交于 p,q 兩點(diǎn),且=0,求|op|2+|oq|2的最小值. 答案解析答案解析

5、 1.【解題指南】根據(jù)雙曲線的性質(zhì),由焦距為 10 可以求出 c=5,再將 p(2,1)代入漸近線求出方程中的參數(shù). 【解析】選 a.由焦距為 10,知 2c=10,c=5.將 p(2,1)代入 y= x 得 a=2b.a2+b2=c2, 5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程為-=1. 2.【解析】選 c.過右焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為=2 =16,|ab|=16,當(dāng)l 與雙曲線的兩交點(diǎn)都在右支上時(shí)只有一條.又實(shí)軸長(zhǎng)為 2,162,當(dāng) l 與雙曲線的兩交點(diǎn)在左、右兩支上時(shí)應(yīng)該有兩條,共三條. - 4 - / 8 3.【解析】選 b.由條件知 a2+1=4,a0,a=,又 pf2x

6、 軸,把 x=2 代入-y2=1 得 y2= . |op|=. 【舉一反三】若本題條件不變時(shí),點(diǎn) p 是右支上任意一點(diǎn),求的取值范圍. 【解析】設(shè) p(x0,y0),由題目可知-=1, 且 x0,又 f1(-2,0),=(x0,y0)(x0+2,y0) =+2x0+=+2x0+-1=+2x0-1 = (x0+ )2- . x0,x0=時(shí),最小,其值為 3+2. 即3+2,+). 4.【解析】選 b.由題意可知mf1f2為直角三角形且mf1f2=30, tan30=,整理得e2-2e-=0,解得 e=. 5.【解析】選 a.雙曲線-y2=1 的左頂點(diǎn) a 為(-,0),得直線 am 的斜率為-

7、5 - / 8 k=,漸近線方程為 y=x,所以有=a= . 6.【解析】雙曲線方程可轉(zhuǎn)化為-=1, an是以 4 為首項(xiàng)的正項(xiàng)數(shù)列,一條漸近線方程為 y=x, =,=2, 數(shù)列an是以 4 為首項(xiàng),以 2 為公比的等比數(shù)列, an=42n-1=2n+1. 答案:an=2n+1 7.【解析】由 a=4,b=3,得 c=5,設(shè)左焦點(diǎn)為 f1,右焦點(diǎn)為 f2, 則|pf2|= (a+c+c-a)=c=5, 由雙曲線的定義得|pf1|=2a+|pf2|=8+5=13. 答案:13 8.【解析】由條件可知 =即 b=a,由頂點(diǎn)(a,0)到 y=x 的距離等于 1 得1=,解得 a=2,b=,即 a2=

8、4,b2= ,雙曲線方程為-=1. 答案:-=1 9.【解析】將直線 l 的方程 y=kx+1 代入雙曲線 c 的方程 2x2-y2=1 后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0. 依題意,直線 l與雙曲線 c 的右支交于不同的兩點(diǎn), - 6 - / 8 故 解得 k 的取值范圍是k|-2k0,b0), 則解得 雙曲線 c2的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1. (2)雙曲線 c1的漸近線方程為 y=2x,y=-2x. 設(shè) a(x1,2x1),b(x2,-2x2). 由消去 y 化簡(jiǎn)得 3x2-2mx-m2=0, 由=(-2m)2-43(-m2)=16m20,得 m0. x1x2=-, =x1x2+(2x

9、1)(-2x2)=-3x1x2, m2=3,即 m=. 【拓展提升】平面幾何與平面向量的結(jié)合 - 7 - / 8 平面解析幾何與平面向量在高考中是重要的交匯點(diǎn),當(dāng)這種題目出現(xiàn)時(shí),要注意以下幾點(diǎn): (1)合理使用平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算. (2)合理使用平面幾何中的結(jié)論、關(guān)系等. (3)把幾何運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,利用代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果解釋平面幾何問題. 11.【解析】(1)雙曲線 c 的漸近線方程為 y=x, b2=3a2,雙曲線的方程可設(shè)為 3x2-y2=3a2. 點(diǎn) m(,)在雙曲線上,可解得 a2=4, 雙曲線 c 的方程為-=1. (2)設(shè)直線 pq 的方程為 y=kx+m,點(diǎn) p(x1,y1),q(x2,y2), 將直線 pq 的方程代入雙曲線 c 的方程,可化為(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0, x1+x2=,x1x2=. 由=0 x1x2+y1y2=0 即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0, (1+k2)+km+m2=0 化簡(jiǎn)得 m2=6k2+6, |op|2+|oq|